Двойные интегралы, определение, вычисление.

Двойным интегралом называют кратный интеграл с .

Здесь — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах:, где — элемент площади в прямоугольных координатах.

Выражение двойного интеграла через полярные координатыВ некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что

.

Здесь является элементом площади в полярных координатах.

[Пример перехода в произвольную систему координат

Посчитаем площадь области .Переход в полярную систему координат не сделает область проще:

.Множитель перед синусом «мешает». В этом случае переход можно немного скорректировать:

.Это преобразование переведет исходную область в следующую:

.Якобиан отображения:

.

Модуль Якобиана также равен 2r.Отсюда

.

Результат верный, так как область ограничена эллипсом, заданным каноническим уравнением. Площадь можно посчитать по формуле S = πab. Путем подстановки убеждаемся в верности вычисления интеграла

45.Замена переменных в двойном интеграле.Для вычисления двойного интеграла удобнее перейти в другую систему координат. Это обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается. Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение представляет собой якобиан преобразо вания(x,y)→ (u,v), а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки x=x(u,v), y=y(u,v) в определение области R. В приведенной выше формуле означает абсолютное значение соответствующего определителя. Преобразование координат (x,y)→ (u,v) является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом

при условии, что знаменатель нигде не равен 0. Найти образ S в новой системе координат(u,v) для исходной области интегрирования R;Вычислить якобиан преобразования(x,y)→ (u,v) и записать дифференциал в новых переменных ;Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки x=x(u,v) и y=y(u,v).

Тройные интегралы, определение, вычисление

функция f (x,y,z) , определенная в некоторой ограниченной связной области Т.

Область Т разбивается на n частичных областей T₁, T₂, K , T_n и в каждой из них выбирается произвольная точка M_i(e_i, n_i, g_i) Как и в случае двойного интеграла обозначим максимальный диаметр частичных областей буквой d и перейдем к пределу при d→0 в интегральной сумме. Если этот предел существует и конечен, то он называется тройным интегралом по области Т,а сама функция f(x,y,z) интегрируемой в этой области объем тела T_i. Ясно, что объем тела , а масса тела с плотностью μ. Теорема существования тройного интеграла (достаточное условие интегрируемости). Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, интегрируема в этой области. Вычисление тройных интегралов производится путем последовательного вычисления интегралов меньшей кратности.Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области: .

Доказательство.

Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на п правильных областей . Тогда из свойства 1 следует, что

,

где - трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области Δv.

предыдущее равенство можно переписать в виде: . Из условия непрерывности функции f(x,y,z) следует, что предел интегральной суммы, стоящей в правой части этого равенства, существует и равен тройному интегралу . Тогда, переходя к пределу при p→0, получим: IV = ,что и требовалось доказать.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: