|
Изолированные особые точки, их классификация.Основные понятия и определения: Нулем аналитической функции f(z) называется точка “a”, для которой f(a)=0. Нулем порядка “n” функции f(z) называется точка «а», если Особая точка «a» называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой нет особых точек, кроме «a». Изолированные особые точки бывают трех типов:. 1 устранимые особые точки; 2 полюсы; 3 существенно особые точки. Тип особой точки может быть определен исходя из поведения данной функции в найденной особой точке, а также из вида ряда Лорана, полученного для функции в окрестности найденной особой точки. Определение типа особой точки по поведению функции в ней. 1.Устранимые особые точки. Изолированная особая точка a функции f(z) называется устранимой, если существует конечный предел 2.Полюсы. Изолированная особая точка a функции f(z) называется полюсом, если 3.Существенно особые точки. Изолированная особая точка a функции f(z) называется существенно особой точкой, если не существует ни конечный, ни бесконечный Между нулями и полюсами функции имеет место следующая связь. Для того, чтобы точка a была полюсом порядка n функции f(Z), необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем порядка n для функции Если n=1 полюс называется простым.
Определение: Изолированная особая точка однозначного характера называется: а) устранимой, если главная часть разложения отсутствует; б) полюсом, если главная часть содержит конечное число членов; в) существенно особой точкой, если главная часть содержит бесконечное число членов.
а) Таким образом, в окрестности устранимой особой точки разложение имеет вид:
оно выражает функцию во всех точках круга |z-a| <R, кроме центра z=a. В центре z=a равенство неверно, т.к. функция при z=a имеет разрыв, а правая часть непрерывна. Если в центре значение функции изменить, приняв его равным значению правой части, то разрыв будет устранен- отсюда и название – устранимый. б) В окрестности полюса порядка m разложение в ряд Лорана имеет вид:
в) В окрестности простого полюса
, Вычеты и формулы для их вычисления. Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой точке z0 называется комплексное число, равное значению интеграла Обозначается вычет функции f(z) в изолированной особой точке z0 символом Res f(z0) или Res (f(z); z0). Таким образом,
Res f(z0)= Если в формуле (22.15.1) положить n=-1, то получим: C-1= или Res f(z0)= C-1, т.е. вычет функции f(z) относительно особой точки z0 равен коэффициенту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функции f(z) в ряд Лорана. Вычисление вычетов. Правильные или устранимые особые точки. Очевидно, если z=z0 есть правильная или устранимая особая точка функции f(z), то Res f(z0)=0 (в разложении Лорана в этих случаях отсутствует главная часть, поэтому c-1=0). Полюс. Пусть точка z0 является простым полюсом функции f(z). Тогда ряд Лорана для функции f(z) в окрестности точки z0 имеет вид: Отсюда Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при z --z0, получаем
Res f(z0)= (22.15.5) Существенно особая точка. Если точка z0 - существенно особая точка функции f(z), то для вычисления вычета функции в этой точке обычно непосредственно определяют коэффициент c-1 в разложении функции в ряд Лорана. Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление. События делятся на: 1. Случайные 2. Достоверные 3. Невозможные Достоверное – это такое событие, которое наступает обязательно в данных условиях (за ночью следует утро). Случайное – это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти (сдача экзамена). Невозможное – это такое событие, которое в данных условиях не наступит (достать зеленый карандаш из коробки только с красными). ![]() ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|