Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Физика атома. Спектры атомов





1. Полная энергия электрона в состоянии, характеризуемом главным квантовым числом n

, (3)

где Ei = Rhc – энергия ионизации атома водорода; Z – порядковый номер элемента в таблице Менделеева; Еi = 13,5 эВ.

2. Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода или водородоподобным ионом

E = h ,

где n1 и n2 – главные квантовые числа, соответствующие энергетическим состояниям, между которыми совершается переход электрона.

3. Сериальная формула для определения длины волны спектра излучения атома водорода (или водородоподобного иона)

= RZ2 ,

где l – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга.

 

 

Примеры решения задач

 

Задача 1

Атом водорода перешел из возбужденного состояния, характеризуемого главным квантовым числом, равным трем, в основное. Определить возможные спектральные линии в спектре излучения водорода. Найти максимально возможную энергию фотона.

Дано: Решение:
n1 = 1 n2 = 3
n = 3   n = 2     n = 1

Рис. 1

- ? - ?

Из рисунка видно, что при переходе атома из состояния, характеризуемого главным квантовым числом n = 3, в основное (n = 1), возможно излучение трех спектральных линий.

Для определения длины волны воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов

,

где l – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n1 – главное квантовое число состояния, в которое перешел атом; n2 – главное квантовое число исходного состояния.

Найдем длину волны линии, излученной при переходе атома из состояния n2 = 3 в состояние n1 = 2, приняв постоянную Ридберга м-1:

, мкм.

Аналогично находим длину волны спектральной линии, излученной атомом при переходе из состояния n2 = 2 в состояние n1 = 1.



, мкм.

При переходе из состояния n2 = 3 в состояние n1 = 1 длина волны линии равна

, мкм.

Энергия фотона определяется из выражения

ф = hc/ ,

где h – постоянная Планка, h = 10-34 Дж , с – скорость света в вакууме, с = 108м/с.

Максимальная энергия фотона соответствует минимальной длине волны, следовательно

ф = hc/ .

Элементы квантовой механики

1. Длина волны де Бройля

,

где p – импульс частицы.

2. Если кинетическая энергия частицы много меньше энергии покоя (Еk << E0), то для определения импульса частиц можно пользоваться классическим выражением, т.е.

p = mv = ,

где кинетическая энергия частицы .

3. Если кинетическая энергия частицы Ek E0, то импульс частицы следует вычислять по формуле релятивистской механики, т.е.

,

где Ео – энергия покоя частицы; Ек – кинетическая энергия частицы, равная

Ек = m0c2 ,

где m0 – масса покоя частицы; v – скорость частицы.

4. Соотношения неопределенностей:

а) для координаты и импульса ∆pxxћ/2,

где – неопределенность проекции импульса на ось x;

– неопределенность координаты x;

б) для энергии и времени ∆Etћ/2,

где – неопределенность энергии; t – время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

 

Примеры решения задач

 

Задача 1

Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев: 1) U1 = 51 B; 2) U2 = 510 кВ.

Дано: Решение:
U1 = 51 B U2 = 510 кВ = 105 В Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой , (1) где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Ек. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше энергии ее покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы):

- в нерелятивистском случае

, (2)

- в релятивистском случае

, (3)

где – энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:

- в нерелятивистском случае

, (4)

- в релятивистском случае

. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и, в зависимости от этого, решим, которую из формул – (4) или – (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна

Eк = eU.

В первом случае

Ек = eU1 = 51 эВ = 10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона, равной МэВ.

Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Ек = 10-4 m0c2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде

.

Учитывая, что h/moc есть комптоновская длина волны , получим:

.

Так как = 2,43 пм, то

пм = 171 пм.

Во втором случае кинетическая энергия

Eк = eU2 = 510 кэВ = 0,51 МэВ,

т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что Ек = 0,51 МэВ = moc2, по формуле (5) найдем

,

или .

Подставив значение и произведя вычисления, получим:

пм = 1,40 пм.

 

Задача 2

Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные размеры атома.

 

Дано: Решение:
Ек = 10 эВ Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид ∆px∆x ≥ ħ/2, где ∆px – неопределенность импульса частицы (электрона); ∆x – неопределенность
lmin - ?

координаты частицы (в данном случае электрона); ħ = h/2p – приведенная постоянная Планка h.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

Δx = l / 2.

Cоотношение неопределенностей можно записать в этом случае в виде

,

откуда

Физически разумная неопределенность импульса Δp, во всяком случае, не должна превышать значение самого импульса p, т. е. Δp ≤ p.

Импульс р связан с кинетической энергией Ек соотношением

р = .

Заменим р значением (такая замена не увеличит l). Перейдем к равенству

.

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим:

lmin = м = 10-10 м = 116 пм.

Задача 3. Оценить относительную ширину испускаемой спектральной линии, длина волны которой составляет 0,6 мкм, при переходе атома из возбужденного в основное состояние. Время жизни атома в возбужденном состоянии оставляет приблизительно .

Дано: Решение:
t= Выразим ширину испускаемой спектральной линии через энергию фотона с помощью формулы Планка: , где – частота фотона; h – постоянная Планка; ε – энергия фотона, откуда .

Частота испускаемого фотона связана с длиной волны соотношением

,

где с – скорость света в вакууме.

Искомая величина равна .

 

Для нахождения Δε воспользуемся соотношением неопределенностей для энергии и времени ∆ε∆t ћ/2,

где – неопределенность энергии; t – время жизни атома в возбужденном энергетическом состоянии.

∆ε = ћ/2∆t.

Подставим ∆ε в искомую величину, получим:

.

Подставим числовые значения и находим

.

 

Физика твердого тела

1. Удельная электропроводность полупроводника

e(nun + pup),

где е – заряд электрона; n и p – концентрация носителей заряда (подвижных электронов и дырок); un и up – подвижности электронов и дырок.

В случае проводимости одного типа одним из слагаемых в выражении (1) можно пренебречь. Для чистого, беспримесного полупроводника проводимость называется собственной и в формуле для следует положить n = p.

2. Зависимость собственной удельной электропроводности полупроводника от температуры

,

где Е – ширина запрещенной зоны полупроводника; – константа, почти не зависящая от температуры; k – постоянная Больцмана.

3. Холловская разность потенциалов равна

Uн = Rн I,

где В – индукция магнитного поля; а – толщина образца; I – сила тока в образце; – постоянная Холла.

4. Для полупроводника с кристаллической решеткой типа алмаза (Ge, Si) с примесной проводимостью одного типа постоянная Холла равна

.

Примеры решения задач

Задача 1

До какой температуры нужно нагреть образец из арсенида галлия, находящегося при температуре 0 , чтобы его проводимость возросла в 4 раза?

Дано: Решение:
Т = 273К Удельная проводимость полупроводников связана с температурой соотношением ,
Т = ?

где постоянная; ширина запрещенной зоны; k – постоянная Больцмана.

Таким образом, .

Прологарифмируем выражение и получим:

,

откуда

.

Полагая для арсенида галлия DЕ = 1,43 эВ, произведем вычисления

.

 

Задача 2

Некоторый примесный полупроводник имеет решетку типа алмаза и обладает только дырочной проводимостью. Определить концентрацию носителей и их подвижность, если постоянная Холла равна м3/Кл. Удельная проводимость полупроводника 110 .

Дано: Решение:
м3/Кл = 110 Ом-1 Концентрация р дырок связана с постоянной Холла, которая для полупроводников с решеткой типа алмаза, обладающих носителями только одного знака, выражается формулой
np - ? up - ?

Rн = ,

где е – элементарный заряд.

Отсюда

. (1)

Запишем все величины в единицах СИ: е = 10-19 Кл; 10-4 м3/Кл.

Подставим числовые значения величин в формулу (1) и произведем вычисления

.

Удельная проводимость полупроводников выражается формулой

= e(nun + pup), (2)

где n и p – концентрации электронов и дырок; un и up – их подвижности.

При отсутствии электронной проводимости первое слагаемое в скобках равно нулю и формула (2) примет вид

= epup.

Отсюда искомая подвижность

up = . (3)

Подставим в (3) выражение р по формуле (1)

up = . (4)

Подставив в (4) значения и и произведя вычисления, получим:

.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.