Элементы специальной теории относительности

1. Длина тела l и длительность события

в различных системах отсчета

где l – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело движется; l₀ – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело покоится; b = v/c – скорость тела, выраженная в долях скорости света в вакууме (с);

t – длительность события, измеренная в системе отсчета, относительно которой тело движется;

t ₀– длительность события, измеренная по часам, движущимся вместе с телом.

где

– энергия покоя частицы; m ₀ – масса покоя частицы; E – полная энергия частицы;

– кинетическая энергия свободной частицы.

5. Связь между энергией и импульсом свободной частицы

Определить, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его скорость составила 90 % скорости света.

Приравняв правые части выражений (1) и (2), получим:

Проведём вычисления, подставляя в формулу (3) числовые значения

101. Материальная точка движется под действием силы согласно уравнению Х = А + Вt+ Ct ² + Dt ³, где С = 1 м/с²; D = – 0,2 м/с³. Определить, в какой момент времени сила равна нулю.

102. Движение материальной точки задано уравнением Х = At+ Bt², где A = 4м/с; B = – 0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент.

103. Прямолинейное движение материальной точки описывается уравнением X = At + Bt ³,где A = 2,0 м/с; B = 0,04 м/с³. Определить величину средней скорости и среднего ускорения за первые 4 с движения.

104. Зависимость скорости тела от времени при прямолинейном движении дана уравнением v = 0,3 t ². Найти величину ускорения тела в момент времени 2 с и путь, пройденный телом за интервал времени от 0 до 2 с.

105. Прямолинейное движение двух материальных точек описывается уравнениями X ₁ = A ₁ + B ₁ t + C ₁ t ² и X ₂ = A ₂ + B ₂ t + C ₂ t ², где A ₁ = 20 м; B ₁ = –2 м/с; C ₁ = 4м/с²; A ₂ = 2 м; B ₂ = 2 м/с; C ₂ = 0,5 м/с². В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения в этот момент времени?

106. Точка движется по окружности согласно уравнению j = A + Bt + Ct ³, где A = 2 рад; B = 3 рад/с; C = 1 рад/с³. Определить угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение точки в момент времени 1 с.

107. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/с².Через 0,5 с после начала движения полное ускорение точек на ободе колеса стало равным 0,136 м/с². Найти радиус колеса.

108. Колесо автомобиля вращается равнозамедленно. За 2 минуты оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин^-1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

109. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

110. По дуге окружности радиусом 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно 4,9 м/с², вектор полного ускорения составляет в этот момент угол 60^о с вектором нормального ускорения. Определить мгновенную скорость и тангенциальное ускорение точки в этот момент.

111. Автомобиль массой 1,5 т мчится по шоссе со скоростью 150 км/ч. Если отпустить педаль газа, то в течение 5 секунд его скорость снизится до 120 км/ч. Чему равна средняя сила сопротивления? Какую часть она составляет от веса автомобиля?

112. К нити подвешена гиря. Если поднимать эту гирю с ускорением 2 м/с², то натяжение нити будет вдвое меньше того натяжения, при котором нить разрывается. С каким ускорением надо поднимать эту гирю, чтобы нить не разорвалась?

113. Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно согласно уравнению Х = А + Вt+ Ct ² + Dt ³, где С = 5 м/с²; D = 1 м/с³. Найти величину силы, действующей на тело в конце первой секунды движения.

114. Масса автомобиля 2 т. Во время движения на автомобиль действует сила трения, равная 0,1 его веса. Определить силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если он движется в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

115. Решить предыдущую задачу при условии, что автомобиль движется под гору с тем же ускорением.

116. Масса поезда равна 3000 т. Коэффициент трения равен 0,02. Какова должна быть сила тяги локомотива, чтобы поезд набрал скорость 60 км/ч через 2 минуты после начала движения?

117. Два груза массами 0,5 кг и 0,7 кг связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К первому грузу массой 0,5 кг приложена горизонтально направленная сила в 6 Н. Пренебрегая трением, определить: 1) ускорение грузов; 2) силу натяжения нити.

118. Вагон массой 11 т движется со скоростью 18 км/ч. Какова должна быть сила торможения, чтобы остановить вагон на расстоянии 250 м?

119. К нити подвешен груз массой 0,5 кг. Определить силу натяжения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с²; 2) опускать с ускорением 2 м/с².

120. Тело массой 0,5 кг движется так, что зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением S = A sinw t, где А = 5·10^-2 м,w = p рад/с. Найти силу, действующую на тело через 1/6 секунды после начала движения.

121. Какую работу совершает двигатель автомобиля массой 1,3 т, трогаясь с места, на первых 75 м пути, если это расстояние автомобиль проходит за 10 с? Коэффициент трения шин о дорогу равен 0,05.

122. Автомобиль массой 2 т движется в гору, уклон которой составляет 2 м на каждые 100 м. Определить: 1) работу, совершенную двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолён за 5 минут.

123. На горизонтальном участке пути длиной 3 км скорость автомобиля увеличилась от 36 км/ч до 72 км/ч. Масса автомобиля 3 т, коэффициент трения 0,01. Чему равна работа, совершаемая двигателем автомобиля?

124. В пружинном ружье пружина сжата на 10 см. При взводе её сжали до 20 см. С какой скоростью вылетит из ружья стрела массой 30 г, если жесткость пружины 144 Н/м?

125. Две пружины жесткостью

Н/м и

Н/м соединены последовательно. Определить работу по растяжению обеих пружин, если вторая пружина растянута на 3 см.

126. Пружина жесткостью 10⁴ Н/м сжата силой

Н. Определить работу внешней силы, дополнительно сжимающей эту пружину ещё на 1 см.

127. Две пружины жесткостью 0,5 кН/м и 1 кН/м скреплены последовательно. Определить потенциальную энергию данной системы при действии внешней силы 10 Н.

128. Определить работу, которую совершат силы гравитационного поля Земли, если тело массой 1 кг упадет на поверхность Земли с высоты, равной радиусу Земли.

129. Найти значение второй космической скорости для Луны, то есть скорости, которую нужно сообщить телу, чтобы удалить его с поверхности Луны за пределы гравитационного поля Луны (масса Луны

кг, радиус Луны

м).

130. Какова будет скорость ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета запущена с Земли с начальной скоростью 10 км/с? Сопротивление воздуха не учитывать.

131. Какую скорость приобретает ракета массой 0,6 кг, если продукты горения массой

кг вылетают из ее сопла со скоростью 800 м/с?

132. Мальчик стоит на абсолютно гладком льду и бросает мяч массой 0,5кг. С какой скоростью после броска начнет скользить мальчик, если горизонтальная составляющая скорости мяча равна 5 м/с, а масса мальчика 20 кг?

133. Вагон массой 3 т, движущийся по горизонтальному пути со скоростью 1,5 м/с, автоматически на ходу сцепляется с неподвижным вагоном массой 2 т. С какой скоростью движутся вагоны после сцепки?

134. Человек и тележка движутся навстречу друг другу. Масса тележки 32 кг, масса человека 64 кг. Скорость тележки 1,8 км/ч, скорость человека 5,4 км/ч. Человек прыгает на тележку. С какой скоростью и в каком направлении будет двигаться тележка с человеком?

135. Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т, движущуюся со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду, и застревает в песке. Определить скорость, которую получит платформа.

136. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью 3 м/с, в сторону, противоположную ее движению, прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной 4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки 210 кг, масса человека 70 кг.

137. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние переместится лодка длиной 3 м, если масса человека 60 кг, масса лодки 120 кг? Сопротивление воды не учитывать.

138. При горизонтальном полете со скоростью 300 м/с снаряд массой 9 кг разорвался на две части. Большая часть массой 7 кг получила скорость 450 м/с в направлении полёта снаряда. Определить величину и направление скорости меньшей части снаряда.

139. С судна массой 750 т произведён выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению, под углом 60^о к горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если снаряд массой 30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?

140. Ракета, масса которой вместе с зарядом равна 250 г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Определить скорость истечения газов из ракеты, считая, что сгорание заряда происходит мгновенно. Масса заряда равна 50 г.

141. Теннисный мяч, летящий со скоростью 10 м/с, отброшен ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью 8 м/с. При этом его кинетическая энергия изменилась на 5 Дж. Найти изменение импульса мяча.

142. Движущийся шар массой 5 кг ударяется о неподвижный шар массой 0,5 кг. Кинетическая энергия обоих шаров непосредственно после удара равна 6 Дж. Определить кинетическую энергию первого шара до удара. Удар считать центральным, неупругим.

143. В деревянный шар массой 5 кг, подвешенный на нити, попадает горизонтально летящая пуля массой 5 г и застревает в нём. Найти скорость пули, если шар с застрявшей в нем пулей поднялся на высоту 10 см.

144. Два шара массами 2 кг и 3 кг, движущиеся по одной прямой навстречу друг другу со скоростями 8 м/с и 4 м/с, соответственно, неупруго сталкиваются и движутся после удара совместно. Определить работу деформации шаров после удара.

145. Шар массой 1,8 кг упруго сталкивается с покоящимся шаром большей массы. В результате прямого центрального упругого удара шар потерял 36 % своей кинетической энергии. Определить массу покоящегося шара.

146. Молотком, масса которого 1 кг, забивают в стену гвоздь массой 75 г. Определить КПД удара.

147. По небольшому куску металла, лежащему на наковальне, масса которой 300 кг, ударяет молот массой 8 кг. Определить КПД удара, считая удар неупругим. Полезной энергией считать энергию, затраченную на деформацию металла.

148. Из орудия массой 5 т вылетает снаряд массой 100 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете 7,5

Дж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?

149. Движущееся тело ударяется о неподвижное тело. Удар считать упругим и центральным. Чему должно равняться отношение масс тел, чтобы при ударе скорость первого тела уменьшилась в 1,5 раза?

150. Тело массой 990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массой 10 г и застревает в нем. Скорость пули направлена горизонтально и равна 700 м/с. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,05?

151. Два различных груза подвешены на невесомой нити, перекинутой через блок радиусом 0,4 м, момент инерции которого равен

м². Блок вращается с постоянным угловым ускорением 2,5 рад/с², причем момент сил трения равен 4 Н·м. Найти разность натяжений нити с обеих сторон блока.

152. Стержень массой 6 кг и длиной 40 см вращается вокруг оси, проходящей через его середину, перпендикулярно длине стержня. Угол поворота стержня изменяется во времени по закону j = 6 + 4 t – t ² + 3 t ³. Определить вращающий момент, действующий на стержень через 2 с после начала вращения.

153. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило за 1 минуту частоту вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса равен 2

. Найти: 1) угловое ускорение колеса; 2) тормозящий момент; 3) работу сил торможения; 4) число оборотов, сделанных колесом за эту минуту.

154. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили одинаковую угловую скорость 63 рад/с и предоставили их самим себе. Под действием сил трения один маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки 360 оборотов. У какого маховика тормозящий момент больше и во сколько раз?

155. На барабан диаметром 0,8 м намотан трос с закрепленным на конце грузом массой 3 кг. Вращаясь равноускоренно под действием силы натяжения троса, барабан за 4 секунды приобрел угловую скорость 16 рад/с. Определить момент инерции барабана.

156. К ободу диска радиусом 0,2 м приложена постоянная касательная сила 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения, равный 0,5

. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с постоянным угловым ускорением 100 рад/с².

157. Маховик в виде диска радиусом 40 см и массой 20 кг вращается с частотой 60 об/с. Определить угловое ускорение и частоту вращения маховика через 3,14 секунды после того, как к ободу маховика с силой 1 кН была прижата тормозная колодка, коэффициент трения которой о диск равен 0,4.

158. Шар массой 10 кг и радиусом 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Угол поворота изменяется во времени по закону j = А + Вt ²+ Сt ³,где А = 5 рад; B = 4 рад/c²; C = –1 рад/c³. Определить величину момента сил, приложенных к шару в момент времени 2 с.

159. Однородный диск массой 5 кг и радиусом 0,2 м вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени задана уравнением w = А + Вt, где В = 8 рад/c². Найти величину касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь.

160. Маховик массой 10 кг и радиусом 0,2 м соединен с мотором при помощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения, постоянно и равно 14,7 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать маховик через 10 секунд после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь.

161. Стержень длиной 1,2 м и массой 1 кг закреплен на вертикальной оси, проходящей через его центр перпендикулярно длине стрежня. В конец стержня попадает пуля массой 8 г, летящая горизонтально со скоростью 100 м/с, и застревает в стержне. С какой угловой скоростью начнет вращаться стержень?

162. На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых руках гантели массой 6 кг каждая. Длина руки человека 60 см. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 4 рад/c. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если он опустит руки с гантелями вниз вдоль оси вращения? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5

. Гантели считать материальными точками.

163. На краю горизонтальной платформы стоит человек массой 80 кг. Платформа представляет собой круглый однородный диск массой 160 кг, вращающийся вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр, с частотой 6 об/мин. Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек перейдет от края платформы к её центру? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

164. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 4 рад/с. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5

. Длина стержня 1,8 м, его масса 6 кг. Считать, что центр тяжести стержня с человеком находится на оси вращения скамьи.

165. Цилиндрический вал вращается вокруг оси, проходящей через центры оснований, с частотой 6 об/с. Диаметр вала 0,6 м, масса 200 кг. Определить, какое количество теплоты выделилось при трении, если из-за этого частота вращения уменьшилась в 2 раза.

166. К ободу диска массой 5 кг приложена постоянная касательная сила 2Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через 5 секунд после начала действия силы?

167. Маховик вращается по закону, который задан уравнением j = А + Вt + Сt ², где j – угол поворота, A = 2 рад, В = 32 рад/с, а С = – 4 рад/с². Найти среднюю мощность, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки. Момент инерции маховика 100

168. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 80 оборотов, остановился. Определить момент сил торможения.

169. С наклонной плоскости скатывается без скольжения диск. Высота наклонной плоскости 5 м. Найти скорость центра тяжести диска у основания наклонной плоскости, если его начальная скорость равна нулю.

170. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу 2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью 5 м/с. Во сколько раз кинетическая энергия обруча больше, чем у сплошного цилиндра?

171. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью v = 0,6 с (с – скорость света в вакууме). Во сколько раз замедляется течение времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

172. При какой относительной скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составляет 25 %?

173. Мюоны, рождаясь в верхних слоях атмосферы, при скорости 0,995 с (с – скорость света в вакууме) пролетают до распада путь в 6 км. Определить: 1) собственную длину пути, пройденную ими до распада; 2) время жизни мюона для наблюдателя на Земле; 3) собственное время жизни мюона.

174. Синхрофазотрон дает пучок протонов, кинетическая энергия которых равна 10⁴ МэВ. Какую долю скорости света составляет скорость протонов в этом пучке?

175. Найти скорость релятивистской частицы, если ее полная энергия в 10 раз больше энергии покоя.

176. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в 4 раза?

177. Протон влетает со скоростью v = 0,9 с (с – скорость света в вакууме) в тормозящее электрическое поле Какую разность потенциалов он сможет преодолеть?

178. На сколько процентов изменится продольный размер протона после прохождения им ускоряющей разности потенциалов 1 МВ?

179. Частица движется со скоростью v = 0,5 с (где с – скорость света в вакууме). Какую долю полной энергии составляет кинетическая энергия частицы?

180. Импульс релятивистской частицы равен m ₀ c (m ₀ – масса покоя частицы, с – скорость света в вакууме). Под действием внешних сил импульс частицы увеличился в 2 раза. Во сколько раз при этом увеличилась кинетическая энергия частицы?

“МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ”

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: