Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Движение тела, брошенного под углом к горизонту





В зависимости от формы представления кинематических параметров существуют различные виды законов движения.

Закон движения – это одна из форм определения положения тела в пространстве, которая может быть выражена:

• аналитически, то есть с помощью формул. Эта разновидность закона движения задаётся с помощью уравнений движения: x = x(t), y = y(t), z = z(t);

• графически, то есть с помощью графиков изменения координат точки в зависимости от времени;

• таблично, то есть в виде вектора данных, когда в один столбец таблицы заносят числовые отсчёты времени, а в другой в сопоставлении с первым – координаты точки или точек тела.

 

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Введение в кинематику

 

Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с геометрической точки зрения незави­симо от приложенных сил.

Положение движущегося тела в пространстве всегда определяется по отношению к любому другому неизменяемому телу, называемому телом отсчета. Система координат, неизменно связанная с телом отсчета, называется системой отсчета. В механике Ньютона время считается абсолютным и не связанным с движущейся материей. В соответствии с этим оно протекает одинаково во всех системах отсчета независимо от их движения. Основной единицей измерения времени является секунда (с).

Если положение тела по от­ношению к выбранной системе отсчета с течением времени не изменяется, то говорят, что тело относительно данной системы отсчета находится в покое. Если же тело изменяет свое положение относительно выбранной системы от­счета, то говорят, что оно движется по отношению к этой системе. Тело может находиться в состоянии покоя по отношению к одной системе отсчета, но дви­гаться (и притом совершенно различным образом) по отношению к другим сис­темам отсчета. Например, пассажир, неподвижно сидящий на скамье движуще­гося поезда, покоится относительно системы отсчета, связанной с вагоном, но движется по отношению к системе отсчета, связанной с Землей. Точка, лежа­щая на поверхности катания колеса, движется по отношению к системе отсчета, связанной с вагоном, по окружности, а по отношению к системе отсчета, свя­занной с Землей, по циклоиде; та же точка покоится по отношению к систе­ме координат, связанной с колесной парой.

Таким образом, движение или покой тела могут рассматриваться лишь по от­ношению к какой-либо выбранной системе отсчета. Задать движение тела отно­сительно какой-либо системы отсчета -значит дать функциональные зависи­мости, с помощью которых можно определить положение тела в любой момент времени относительно этой системы. Различные точки одного и того же тела по отношению к выбранной системе отсчета движутся по-разному. Например, по отношению к системе, связанной с Землей, точка поверхности ката­ния колеса движется по циклоиде, а центр колеса - по прямой. Поэтому изучение кинема­тики начинают с кинематики точки.

 

§ 2. Способы задания движения точки

 

Движение точки может быть задано тремя способами: естественным, векторным и координатным.

При естественном способе задания движения дается траектория, т. е. линия, по которой движется точка (рис.2.1). На этой траектории выбирается некоторая точка , принимаемая за начало от­счета. Выбираются положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты , определяющей положение точки на траектории. При движе­нии точки расстояние будет изменяться. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать дуговую коор­динату как функцию времени:

 

. (2.1)

 

Это равенство называется уравнением движения точки по данной траектории.

Итак, движение точки в рассматриваемом случае определяется совокупностью следующих данных: траектории точки, положения начала отсчета дуговой координаты, положительного и отрицательного направлений отсчета и функции .

При векторном способе задания движения точки положение точки определя­ется величиной и направлением радиуса-вектора , проведенного из неподвиж­ного центра в данную точку (рис. 2.2). При движении точки ее радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Поэтому, чтобы оп­ределить положе­ние точки в любой момент времени, достаточно задать ее радиус-вектор как функцию времени:

 

. (2.2)

 

Это равенство называется векторным уравнением движения точки.

При координатном способе задания движения положение точки по отношению к выбранной системе отсчета определяется при помощи прямоугольной системы декартовых координат (рис. 2.3). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать координаты , , как функции времени:

 

; ; . (2.3)

Эти равенства называются уравнениями движения точки в прямоугольных де­картовых координатах. Движение точки в плоскости определяется двумя уравне­ниями системы (2.3), прямолиней­ное дви­жение — одним.

Между тремя описанными способами задания движения существует вза­имная связь, что позволяет от одного способа задания движения перейти к другому. В этом легко убедиться, например, при рассмотрении перехода от ко­ординатного способа задания движения к векторному.

Положим, что движение точки задано в виде уравнений (2.3). Имея в виду, что

 

 

и

 

; ; ,

 

можно записать

 

.

 

А это и есть уравнение вида (2.2).

Задача 2.1. Найти уравнение движения и траекторию средней точки шатуна, а также уравнение движения ползуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.4), если ; .

Решение. Положение точки определя­ется двумя координатами и . Из рис. 2.4 видно, что

, .

 

Тогда из и :

 

; ; .

 

Подставляя значения , и , получаем уравнения движения точки :

 

;

 

или

 

; .

 

Чтобы найти уравнение траектории точки в явной форме, надо исключить из уравнений движения время . С этой целью проведем необходимые преобразования в полученных выше уравнениях движения:

 

; .

 

Возводя в квадрат и складывая левые и правые части этих уравнений, получим уравнение траектории в виде

 

.

 

Следовательно, траектория точки - эллипс.

Ползун движется прямолинейно. Координату , определяющую положение точки, можно записать в виде

 

или

 

.

 

Скорость и ускорение



 

Скорость точки

В предыдущей статье движение тела или точки определено, как изменение положения в пространстве с течением времени. Для того чтобы более полно охарактеризовать качественные и количественные стороны движения введены понятия скорости и ускорения.

Скорость – это кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения в пространстве.
Скорость является векторной величиной, т. е. она характеризуется не только модулем (скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.

Как известно из физики, при равномерном движении скорость может быть определена длиной пути, пройденного за единицу времени: v = s/t = const (предполагается, что начало отсчета пути и времени совпадают).
При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией.

Единица скорости в системе СИ определяется соотношением длина/время, т. е. м/с.

Очевидно, что при криволинейном движении скорость точки будет меняться по направлению.
Для того, чтобы установить направление вектора скорости в каждый момент времени при криволинейном движении, разобьем траекторию на бесконечно малые участки пути, которые можно считать (вследствие их малости) прямолинейными. Тогда на каждом участке условная скорость vп такого прямолинейного движения будет направлена по хорде, а хорда, в свою очередь, при бесконечном уменьшении длины дуги (Δs стремится к нулю), будет совпадать с касательной к этой дуге.
Из этого следует, что при криволинейном движении вектор скорости в каждый момент времени совпадает с касательной к траектории (рис. 1а). Прямолинейное движение можно представить, как частный случай криволинейного движения по дуге, радиус которой стремится к бесконечности (траектория совпадает с касательной).

При неравномерном движении точки модуль ее скорости с течением времени меняется.
Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением s = f(t).

Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла путь Δs, то ее средняя скорость равна:

vср = Δs/Δt.

Средняя скорость не дает представления об истинной скорости в каждый данный момент времени (истинную скорость иначе называют мгновенной). Очевидно, что чем меньше промежуток времени, за который определяется средняя скорость, тем ближе ее значение будет к мгновенной скорости.

Истинная (мгновенная) скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при Δt, стремящемся к нулю:

v = lim vср при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Таким образом, числовое значение истинной скорости равно v = ds/dt.
Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

При Δt стремящемся к нулю, Δs тоже стремится к нулю, и, как мы уже выяснили, вектор скорости будет направлен по касательной (т. е. совпадает с вектором истинной скорости v). Из этого следует, что предел вектора условной скорости vп, равный пределу отношения вектора перемещения точки к бесконечно малому промежутку времени, равен вектору истинной скорости точки.

***







Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2023 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.