Движение тела, брошенного под углом к горизонту

В зависимости от формы представления кинематических параметров существуют различные виды законов движения.

Закон движения – это одна из форм определения положения тела в пространстве, которая может быть выражена:

• аналитически, то есть с помощью формул. Эта разновидность закона движения задаётся с помощью уравнений движения: x = x(t), y = y(t), z = z(t);

• графически, то есть с помощью графиков изменения координат точки в зависимости от времени;

• таблично, то есть в виде вектора данных, когда в один столбец таблицы заносят числовые отсчёты времени, а в другой в сопоставлении с первым – координаты точки или точек тела.

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Введение в кинематику

Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с геометрической точки зрения незави­симо от приложенных сил.

Положение движущегося тела в пространстве всегда определяется по отношению к любому другому неизменяемому телу, называемому телом отсчета. Система координат, неизменно связанная с телом отсчета, называется системой отсчета. В механике Ньютона время считается абсолютным и не связанным с движущейся материей. В соответствии с этим оно протекает одинаково во всех системах отсчета независимо от их движения. Основной единицей измерения времени является секунда (с).

Если положение тела по от­ношению к выбранной системе отсчета с течением времени не изменяется, то говорят, что тело относительно данной системы отсчета находится в покое. Если же тело изменяет свое положение относительно выбранной системы от­счета, то говорят, что оно движется по отношению к этой системе. Тело может находиться в состоянии покоя по отношению к одной системе отсчета, но дви­гаться (и притом совершенно различным образом) по отношению к другим сис­темам отсчета. Например, пассажир, неподвижно сидящий на скамье движуще­гося поезда, покоится относительно системы отсчета, связанной с вагоном, но движется по отношению к системе отсчета, связанной с Землей. Точка, лежа­щая на поверхности катания колеса, движется по отношению к системе отсчета, связанной с вагоном, по окружности, а по отношению к системе отсчета, свя­занной с Землей, по циклоиде; та же точка покоится по отношению к систе­ме координат, связанной с колесной парой.

Таким образом, движение или покой тела могут рассматриваться лишь по от­ношению к какой-либо выбранной системе отсчета. Задать движение тела отно­сительно какой-либо системы отсчета - значит дать функциональные зависи­мости, с помощью которых можно определить положение тела в любой момент времени относительно этой системы. Различные точки одного и того же тела по отношению к выбранной системе отсчета движутся по-разному. Например, по отношению к системе, связанной с Землей, точка поверхности ката­ния колеса движется по циклоиде, а центр колеса - по прямой. Поэтому изучение кинема­тики начинают с кинематики точки.

§ 2. Способы задания движения точки

Движение точки может быть задано тремя способами: естественным, векторным и координатным.

При естественном способе задания движения дается траектория, т. е. линия, по которой движется точка (рис.2.1). На этой траектории выбирается некоторая точка , принимаемая за начало от­счета. Выбираются положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты , определяющей положение точки на траектории. При движе­нии точки расстояние будет изменяться. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать дуговую коор­динату как функцию времени:

. (2.1)

Это равенство называется уравнением движения точки по данной траектории.

Итак, движение точки в рассматриваемом случае определяется совокупностью следующих данных: траектории точки, положения начала отсчета дуговой координаты, положительного и отрицательного направлений отсчета и функции .

При векторном способе задания движения точки положение точки определя­ется величиной и направлением радиуса-вектора , проведенного из неподвиж­ного центра в данную точку (рис. 2.2). При движении точки ее радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Поэтому, чтобы оп­ределить положе­ние точки в любой момент времени, достаточно задать ее радиус-вектор как функцию времени:

. (2.2)

Это равенство называется векторным уравнением движения точки.

При координатном способе задания движения положение точки по отношению к выбранной системе отсчета определяется при помощи прямоугольной системы декартовых координат (рис. 2.3). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать координаты , , как функции времени:

; ; . (2.3)

Эти равенства называются уравнениями движения точки в прямоугольных де­картовых координатах. Движение точки в плоскости определяется двумя уравне­ниями системы (2.3), прямолиней­ное дви­жение — одним.

Между тремя описанными способами задания движения существует вза­имная связь, что позволяет от одного способа задания движения перейти к другому. В этом легко убедиться, например, при рассмотрении перехода от ко­ординатного способа задания движения к векторному.

Положим, что движение точки задано в виде уравнений (2.3). Имея в виду, что

и

; ; ,

можно записать

.

А это и есть уравнение вида (2.2).

Задача 2.1. Найти уравнение движения и траекторию средней точки шатуна, а также уравнение движения ползуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.4), если ; .

Решение. Положение точки определя­ется двумя координатами и . Из рис. 2.4 видно, что

, .

Тогда из и :

; ; .

Подставляя значения , и , получаем уравнения движения точки :

;

или

; .

Чтобы найти уравнение траектории точки в явной форме, надо исключить из уравнений движения время . С этой целью проведем необходимые преобразования в полученных выше уравнениях движения:

; .

Возводя в квадрат и складывая левые и правые части этих уравнений, получим уравнение траектории в виде

.

Следовательно, траектория точки - эллипс.

Ползун движется прямолинейно. Координату , определяющую положение точки, можно записать в виде

или

.

Скорость и ускорение



Скорость точки

В предыдущей статье движение тела или точки определено, как изменение положения в пространстве с течением времени. Для того чтобы более полно охарактеризовать качественные и количественные стороны движения введены понятия скорости и ускорения.

Скорость – это кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения в пространстве.
Скорость является векторной величиной, т. е. она характеризуется не только модулем (скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.

Как известно из физики, при равномерном движении скорость может быть определена длиной пути, пройденного за единицу времени: v = s/t = const (предполагается, что начало отсчета пути и времени совпадают).
При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией.

Единица скорости в системе СИ определяется соотношением длина/время, т. е. м/с.

Очевидно, что при криволинейном движении скорость точки будет меняться по направлению.
Для того, чтобы установить направление вектора скорости в каждый момент времени при криволинейном движении, разобьем траекторию на бесконечно малые участки пути, которые можно считать (вследствие их малости) прямолинейными. Тогда на каждом участке условная скорость v_п такого прямолинейного движения будет направлена по хорде, а хорда, в свою очередь, при бесконечном уменьшении длины дуги (Δs стремится к нулю), будет совпадать с касательной к этой дуге.
Из этого следует, что при криволинейном движении вектор скорости в каждый момент времени совпадает с касательной к траектории (рис. 1а). Прямолинейное движение можно представить, как частный случай криволинейного движения по дуге, радиус которой стремится к бесконечности (траектория совпадает с касательной).

При неравномерном движении точки модуль ее скорости с течением времени меняется.
Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением s = f(t).

Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла путь Δs, то ее средняя скорость равна:

vср = Δs/Δt.

Средняя скорость не дает представления об истинной скорости в каждый данный момент времени (истинную скорость иначе называют мгновенной). Очевидно, что чем меньше промежуток времени, за который определяется средняя скорость, тем ближе ее значение будет к мгновенной скорости.

Истинная (мгновенная) скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при Δt, стремящемся к нулю:

v = lim v_ср при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Таким образом, числовое значение истинной скорости равно v = ds/dt.
Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

При Δt стремящемся к нулю, Δs тоже стремится к нулю, и, как мы уже выяснили, вектор скорости будет направлен по касательной (т. е. совпадает с вектором истинной скорости v). Из этого следует, что предел вектора условной скорости v_п, равный пределу отношения вектора перемещения точки к бесконечно малому промежутку времени, равен вектору истинной скорости точки.

***

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: