Вращение тела вокруг неподвижной точки

Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям.

Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.

1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.

Положение тела определяется тремя углами. Используются различ­ные системы углов. Например, кора­бельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными яв­ляются углы Эйлера: Ψ(пси), 𝜃(тета), φ (фи).

Положение тела опре­деляется следующим образом. На­значаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси x,y,z. На­чало которых берётся в неподвижной точке O тела (рис. 16). Вторая сис­тема, оси x₁, y₁, z₁, связывается с телом. Поэтому положение тела будет опреде­ляться как положение этих осей относи­тельно неподвиж­ных.

Рис.16

Когда углы Эйлера равны нулю, под­вижные оси совпадают с непод­вижными. Чтобы опреде­лить положение тела, соот­ветст­вующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала подвижные оси, а значит и тело, поворачи­ваем на угол Ψ вокруг оси z. При этом оси x₁ и y₁ отойдут от осей x и y в гори­зон­тальной плоскости и ось x₁ займёт по­ложение OK (рис.16). Затем тело вращаем вокруг но­вого поло­жения оси x₁ (прямой OK) на угол θ. Ось z₁ отойдёт от оси z на этот угол θ, а ось y₁ приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси z₁ на угол φ. Ось x₁ отойдёт от положения OK в на­клонной плоскости, перпендикуляр­ной оси z₁. Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не пока­зано).

Линия пересечения неподвижной плоскости xOy и подвижной x₁Oy₁, прямая OK, называ­ется линией узлов. Угол Ψ называется углом прецессии, угол θ – углом нутации, угол φ – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.

При движении тела углы Эйлера изменя­ются по определённым законам Ψ=Ψ(t); θ=θ(t); φ=φ(t) которые называются уравнениями вра­щения.

На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.17). Ось волчка z₁ описывает конус вокруг неподвижной оси z. Это вращение определяется углом Ψ (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации θ.

А вращение волчка вокруг своей оси z₁, определяемое углом φ – собственное вращение.

Рис.17

2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.

Проведём в теле сферическую поверх­ность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке O (рис.18).

Рис.18

По­кажем у тела какие-нибудь две точки A и B, расположенные на этой сфере. Со­единим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое по­ло­жение. Точки, а значит и дуга, займут по­ложение A₁ и B₁. Соединим точки A и A₁, B и B₁ дугами большого радиуса AA₁ и BB₁. Посередине этих дуг прове­дём им перпендикулярные дуги и най­дём их точку пересечения P₁. Соединим эту точку P₁ с точками A, B, A₁, B₁. Получим два сфе­рических треугольника ∆ABP₁ и ∆A₁B₁P₁, расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами (AB=A₁B₁, а AP₁=A₁P₁ и BP₁=B₁P₁ – как дуги равноудалённые от пер­пендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину P₁, то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой OP₁.

Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через не­подвижную точку O. Это утверждение – есть теорема Даламбера-Эйлера.

Конечно, такое перемещение не яв­ля­ется истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положе­ния в другое каким-то другим, наверное бо­лее сложным путём. Но, если время ∆tтакого пере­хода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при ∆t→0можно предположить, что для данного момента времени тело поворачива­ется вокруг некоторой оси Р, проходя­щей через неподвижную точку O, вращаясь вокруг неё с угловой скоро­стью . Конечно, для каждого дру­гого момента времени эта ось рас­поло­жена иначе. Поэтому ось P называют мгновенной осью вращения, а угло­вую скорость – мгновенной угловой скоростью, вектор которой на­прав­лен по оси.

3) Скорость точек тела.

По теореме Даламбера-Эйлера за малое время ∆t движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси OP₁ с некоторой угловой скоростью (рис.19).

Рис.19

Тогда скорость точки M: В пределе, при ∆t→0, угловая скорость будет приближаться к мгновенной угловой скорости , направленной по мгновенной оси вращения P, а скорость точки - к истинному значению:

Но таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор , в нашем случае – по мгновенной оси вращения P. Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси P. Величина скорости v=h∙ω (рис.19).

Определение скоростей то­чек тела значительно упроща­ется, если извест­на мгновенная ось вращения P. Иногда её можно найти, если уда­стся обна­ружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме O, скорость кото­рой в данный момент равна нулю, и провести ось P из не­подвижной точки О через эту точку. Так как мгновенная ось вращения – геометрическое ме­сто точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени.

Пример 2. Водило OA=a, вращаясь вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью ω₀, застав­ляет диск радиуса R кататься по горизон­тальной плоскости (рис.20).

Рис.20

Если представить диск как ос­нование конуса с вершиной в не­подвиж­ной точке O, то движение диска можно назвать вращением вокруг этой неподвижной точки O.

Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения P проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости будет направлен по этой оси.

Точка A вместе с водилом OA вращается вокруг оси z. Поэтому её ско­рость v_A=aω₀ (рис.20). Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси P и направление вектора . Величина угловой ско­рости (h – рас­стояние от A до оси P). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси P. Так, например, скорость точки B: v_B=2h∙ω. Так как h=R∙cosα и , , то и v_B=2aω₀.

4) Ускорение точек тела.

Сначала определим угловое ускорение тела . При движении тела вектор угловой скорости изменяется и по величине, и по направлению. Точка, распо­ложен­ная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью (рис.21).

Рис.21

Если рас­сматривать вектор как ра­диус-вектор этой точки, то .

Итак. Угловое ускорение тела можно опреде­лить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости:

.

Этот результат называется теоремой Резаля.

Рис.22

Значит a₂=ωv=ωh₂ω=h₂ω², где h₂ – расстояние от точки М до мгновенной оси P, до вектора .

Направлен вектор перпендикулярно и , т.е. так же как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси P, или вектора . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:

Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:

Этот результат называется теоремой Ривальса.

Заметим, что в общем случае векторы и не совпадают и угол между и не равен 90°, векторы не перпендикулярны друг другу, как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси.

Пример 3. Продолжим исследование движения диска (пример 2). Модуль угловой скорости Значит вектор вместе с осью P, которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси z и описывает конус. Точка М на конце вектора движется по окружности радиуса r=ω∙cosα с угловой скоро­стью ω₀. Поэтому угловое ускорение диска

Откладывается вектор из неподвижной точкиО. Направлен он, как скорость , перпендикулярно водилу OA, параллельно оси х (рис. 23).

Рис.23

Найдём ускорение точки В.

Ускорение . Направлен вектор перпендикулярно OB и расположен в плоскости zO₁y.

Ускорение Вектор направлен по BC, перпендикулярно мгновенной оси P. Модуль вектора найдём с помощью проекций на оси x, y, z:

Значит

Пример 4. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

Дано: ω=20 рад/с, N=10 об.

Найти: ε-?

Решение. При равномерном вращательном движении имеют место следующие два уравнения: φ=φ_о+ω_оt+εt²/2 и ω= ω_о+εt. По условию ω_о=0, тогда эти уравнения примут вид: φ=εt²/2 и ω = εt. Решая их и учитывая, что φ=2πN, получим окончательно ε=ω²/4πN=3,2 рад/с.

Пример 5. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3,14 рад/с² (рис.24). Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: 1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) тангенциальное ускорение, 4) нормальное ускорение, 5) полное ускорение и 6) угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса.

Дано: R= 0,1 м, ε=3,14 рад/с²

Найти: ω-? v -? a_τ -? a -?

Рис.24

Решение. 1) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость ω = ω_о+εt. По условию ω_о=0, тогда ω = εt, т.е. ω растет пропорционально времени. К концу первой секунды ω=3,14 рад/с.

2) Так как v=ωR, то линейная скорость также пропорционально времени. К концу первой секунды v = 3,14 м/с.

3) Тангенциальное ускорение a _τ = 𝜀R не зависит от времени t. В нашем случае a _τ = 0,314 м/с².

4) Нормальное ускорение a _n=ω²R=ε²t²R, т.е. нормальное ускорение растет пропорционально квадрату времени: при t=1 c a _n=0,986м/с².

5) Полное ускорение растет со временем по закону: При t=1 c a =1,03 м/с².

6) Имеем , где α - угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент времени, т.е. при t=0, a =a _τ - полное ускорение направлено по касательной. При t=∞ a = a _n (так как a _τ=const и a _n пропорционально времени), т.е. при t=∞ полное ускорение направлено по нормали. К концу первой секунды sinα= a _τ/ a _n=0,314/1,03=0,305, т.е. α=17^о46’.

Пример 6. Колесо вращается равноускоренно с угловым ускорением ε= 3 рад/с². Определить, какой угловой скорости достигнет тело после t=3 с своего вращения? Сколько оборотов N оно при этом совершит?

Решение. Если тело вращается равноускоренно, то его движение описывает следующая система уравнений

В начальный момент тело покоилось, значит, ω₀=0. Тогда

Следовательно, ω=εt=3∙3=9 рад/с.

Количество оборотов

Пример 7. Вентилятор вращался с частотой n₀=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения до остановки вентилятора? С каким угловым ускорением ε он двигался?

Решение. Равнозамедленное движение вентилятора описывается следующей системой уравнений

Поскольку вентилятор остановился, то его конечная частота n=0. Тогда выразим из второго уравнения и, подставив его в первое уравнение, а также учитывая, что n₀=900 об/мин = 15 об/с, получим

Время движения равно

Пример 8. Точка вращается по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением a_τ=5 см/с². Через какое время после начала вращения нормальное ускорение точки будет вдвое больше тангенциального?

Решение. Угловая скорость точки при равноускоренном движении может быть найдена из соотношения ω=ω₀+εt. Так как ω₀=0, то ω=εt. Нормальное ускорение a_n=ω²R=(εt)²R. Тангенциальное ускорение a_τ=εR. По условию задачи a_n=2a_τ, тогда (εt)²R=2εR, следовательно, εt²=2 и

Пример 9. Точка движется по окружности радиусом R=2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s(t)=Ct³, где С = 0,1 см/с³. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в тот момент, когда линейная скорость точки v= 0,3 м/с.

Решение. Зависимость пути от времени позволяет найти зависимости от времени скорости и тангенциального ускорения.

Отсюда,

Тогда тангенциальное ускорение a_τ=6∙Ct=6∙0,1∙10^-2∙10=0,06 м/с².

Нормальное ускорение

Пример 10. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Начальная скорость точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение a_τ = 1 м/с². Для момента времени t = 2 с определить: а) длину пути, пройденного точкой, б) модуль перемещения; в) линейную и угловую скорости; г) нормальное, полное и угловое ускорения.

Рис.25

Решение. Уравнение зависимости пути, пройденного точкой, от времени имеет вид (м). Это позволяет найти длину пути м. Если учесть, что за один оборот точка проходит путь, равный длине окружности s₁=2πR=8π м, то можно найти угловое перемещение точки из пропорции , φ=2 (рад) = 114,7⁰. Тогда модуль перемещения может быть найден по теореме косинусов как хорда, стягивающая этот угол φ.

Линейная скорость точки v=v₀+a_τt=3+1∙2=5 м/с.

Угловая скорость ω=vR=5∙4=20 рад/с.

Нормальное ускорение

Полное ускорение Модуль полного ускорения

Угловое ускорение

Пример 11. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, проходит закругленное шоссе с радиусом кривизны 200 м. На повороте шофер тормозит машину, сообщая ей ускорение 0,3 м/с². Найти нормальное и полное ускорения автомобиля на повороте. Найти угол между вектором полного ускорения автомобиля на повороте и вектором его скорости. Каковы угловые скорость и ускорение автомобиля в момент вхождения машины в поворот?

Рис.26

Решение. Зная скорость автомобиля v =36 км/ч =10 м/с, найдем его нормальное ускорение

Полное ускорение автомобиля

Угловое ускорение

Угловая скорость

Поскольку движение автомобиля замедленное, то векторы скорости и тангенциального ускорения направлены в противоположные стороны, поэтому вектор скорости и вектор полного ускорения образуют тупой угол φ. Для нахождения этого угла определим вначале угол α, дополняющий искомый угол до 180⁰.

Пример 12. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v₁ точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v₂, точки, лежащей на расстоянии r =5 cм ближе к оси колеса.

Дано: v₂=2,5v₁, r=R-5

Рис.27

Решение.

1) У точек находящихся на колесе и лежащих на радиусе, будут одинаковы угловые скорости. Используем связь угловой и линейной скоростей:

т.к. ω₁=ω₂, приравниваем правые части уравнений:

Решим уравнение относительно R:

Ответ: Радиус вращающегося колеса равен 8,33 см.

Пример 13. На рис.28 показаны направления вращения гироскопа (волчка) и указано, увеличивается или уменьшается угловая скорость. Укажите номер рисунка, на котором правильно указано направление углового ускорения.

Рис.28

Решение. Псевдовектор угловой скорости связан с направлением вращения правилом буравчика (правого винта). На рис.28.1 и рис.28.3 он направлен вверх, на рис.28.2 и рис.28.4 - вниз.

При возрастании угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения совпадают с вектором угловой скорости (рисунки 1 и 4). При уменьшении угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения противоположны вектору угловой скорости (рис.28.2 и рис.28.3). Следовательно, на всех рисунках направление углового ускорения указано правильно.

Пример 14. Опишите движение вращающегося твердого тела в случаях, когда угловая скорость изменяется согласно графикам 1 и 2, изображенным на рис.29.

Рис.29

Решение. Начнем с того, что вращение бывает в двух направлениях - по часовой стрелке и против. С направлением вращения связан псевдовектор угла поворота и угловой скорости. Пусть положительным будем считать направление вращения по часовой стрелке.

Для движения 1 угловая скорость возрастает, но угловое ускорение ε=dω/dt (производная) уменьшается, оставаясь положительным. Следовательно, это движение является ускоренным по часовой стрелке с уменьшающимся по величине ускорением.

Для движения 2 угловая скорость уменьшается, затем достигает в точке пересечения с осью абсцисс нуля, а далее становится отрицательной и возрастает по модулю. Угловое ускорение (вспомните геометрический смысл производной) отрицательно и уменьшается по модулю. Таким образом, сначала точка двигалась по часовой стрелке замедленно с уменьшающимся по модулю угловым ускорением, остановилась и стала вращаться ускоренно с уменьшающимся по модулю ускорением (оба вектора - и угловая скорость, и угловое ускорение направлены в одну сторону).

Пример 15. Скорость точки, движущейся по кривой, уменьшается по модулю. На каком рисунке, показанных на рис.30 правильно показан вектор полного ускорения?

Рис.30

Решение. При движении по криволинейной траектории скорость изменяется по величине и направлению. Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по величине, называется тангенциальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным по касательной к траектории, как и сама скорость. При ускоренном движении тангенциальная составляющая совпадает с вектором скорости, при замедленном - противоположна (как на рис.30.1)

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории (как на рис. 30.3)

Вектор полного ускорения правильно изображен на рис.30.2.

Пример 16. Угловая скорость точки, движущейся по окружности, изменяется по графику, изображенному на рис.31. Как изменяется со временем угол между векторами ускорения и скорости?

Рис.31

Решение. Согласно графику угловая скорость линейно возрастает. Угловое ускорение по определению равно производной угловой скорости по времени ε=dω/dt.

Производная линейной функции постоянна, поэтому угловое ускорение не изменяется.

Запишем выражения, связывающие составляющие ускорения с угловыми величинами:

Следовательно, тангенциальное ускорение не изменяется по величине в процессе движения, а нормальное ускорение возрастает.

Построим векторы скорости, нормального, тангенциального и полного ускорений. Вектор скорости направлен по касательной к траектории. Направление вектора ускорения рассматривалось ранее.

Рис.32

Из рис.32 видно, что угол α между векторами скорости и ускорения возрастает.

Пример 17. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент времени t = 0 скорость точки равна v ₀. Найти скорость и ускорение точки как функцию времени.

Решение. Установим уравнения, связывающие а_n и а_τ. По условию задачи модули нормального и тангенциального ускорений совпадают: |a_n|=|a_τ|. Нормальное ускорение всегда положительно. При замедленном движении приращение скорости отрицательно. С учетом этих замечаний система уравнений принимает вид

а_n=-а _τ, (1)

Подставляя (2) и (3) в (1), приходим к уравнению с разделяющимися переменными:

Разделяя переменные v и t, получаем

Интегрируем в пределах от t = 0, v = v ₀ до t и v(t)

в результате имеем:

Из этого соотношения находим искомую зависимость скорости от времени

Подставляем v(t) в формулу (2)

Учитывая, что a_n=-a_τ и , получаем зависимость полного ускорения от времени:

Пример 18. Материальная точка движется по окружности радиуса R так, что зависимость угла поворота от времени задана уравнением φ=αt³. Найти полное ускорение точки как функцию времени.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: