Равномерное и равнопеременное вращения

Если угловая скорость тела остается во все время движения по­стоянной (ω=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы имеемdφ=ωdt.

Отсюда, считая, что в начальный момент времени t =0 угол φ=φ₀, и беря интегралы слева от φ₀ до φ, а справа от 0 до t, получим окончательно

φ=φ₀+ωt.

Из равенства следует, что при равномерном вращении, когда φ₀=0

φ=ωt и ω=φ/t.

В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и ω 1/с. При одном обороте тело повернется на угол 2π, а при n оборотах на 2πn; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 сек. Из равенства следует тогда, что

ω=π∙n/30≈0,1n.

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (ε=const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t =0 угол φ=φ₀, а угловая скорость ω=ω₀ (ω₀ - начальная угловая скорость).

Из формулы имеем dω=ε∙dt. Интегрируя левую часть в пределах от ω₀ до ω, а правую - в пределах от 0 до t, найдем ω=ω₀+εt,

dφ/dt=ω₀+εt или dφ=ω₀dt+εtdt.

Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения

Если величины ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным.

Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.

1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.9). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt проис­ходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hdφ. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отно­шению ds к dt, т.е

Скорость в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстоя­ние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

Рис.11 Рис. 12

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами

В нашем случае ρ=h. Подставляя значение v в выражения a_τ и a_n, получим:

или окончательно:

Касательная составляющая ускорения a_τ направлена по каса­тельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­щении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая a_n всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис.12). Полное ускорение точки М будет

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле

Подставляя сюда зна­чения a_τ и a_n, получаем

Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окруж­ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.

Рис.13 Рис.14

3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 13). Тогда h=r∙sinα и по формуле

Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерно­сти их одинаковы. Следовательно, - формула Эйлера, т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.

Пример 1. Маятник OM качается в вертикальной плоскости так, что φ=0,5sin2t. Длина OM= l =1м. (рис. 15).

Рис.15

Решение. Маятник вращается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной вертикальной плоскости. Угловая скорость угловое ускорение

Например, при t=1 с, φ=0,5sin2=0,45 рад≅26°; ω=cos2=-0,42 c^-1 (вращение по часовой стрелке); ε=-2sin2=-1,82 c^-2 (угловое уско­рение направлено также по часовой стрелке). Вращение в этом положении ускоренное.

Скорость точки M: v_M= l ω=1∙0,42=0,42 м∙с^-1 (определя­ется модуль скорости). Направлен вектор скорости соответственно направлению угловой скорости – в сторону вращения.

Нормальное ускорение a_n= l ω²=1∙0,42²=0,176 м∙с^-2, касательное ускорение a_τ= l ε=1∙1,82=1,82 м∙с^-2. (Определён опять модуль вектора ускорения. Направлен вектор вниз, как указывает угловое ускорение).

Величина полного ускорения точки

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: