|
Тема: 2.1 «Дифференциальное и интегральное исчисление».Стр 1 из 5Следующая ⇒ Тема: 2.1 «Дифференциальное и интегральное исчисление». Тип занятия: Занятие овладения новыми знаниями. Вид занятия: Аудиторное лекционное занятие № 3 Цель занятия: Образовательные: обобщить и систематизировать знания и умения обучающихся по дифференциальному и интегральному исчислению Развивающие: - способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия; - предвидеть возможные ошибки и способы их устранения; - способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи. Воспитательные: - способствовать развитию интереса к предмету «Математика»; - способствовать развитию самостоятельности мышления; - в целях решения задач эстетического воспитания содействовать в ходе урока опрятному и грамотному построению графиков функций. Методы обучения: Лекция объяснительно – иллюстрированная. Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация, дидактический материал, школьная доска. Планируемый результат: Предметные: Студент знает: применение пределов функций, применение производных функции, применение интеграла. Умеет: - использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания пределов функции; - использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания производных функции и знать применение производной к исследованию функции и решению задач (геометрический и механический смысл производной); - использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания определенных и неопределенных интегралов, знать геометрическое применение определенного интеграла (площадь криволинейной трапеции); - уметь четко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы. Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач. Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности. Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы. Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение. Структура занятия: I. Организационные моменты. Мотивация учебной деятельности. II. Актуализация умений и навыков обучающихся.
Подробный конспект занятия. I. Организационные моменты. Мотивация учебной деятельности студентов по теме. Сообщение темы и целей занятия. Отчет старосты группы о посещаемости студентами лекции. II. Актуализация знаний и умений обучающихся. 1. Проверка выполнения домашней работы. (Разобрать задания, с которыми возникли трудности). 2. Проверка теоретических сведений по «Основам линейной алгебры». 1) Понятие матрицы. 2) Действия над матрицами 3) Определители матрицы. Их свойства 4) Минор. Алгебраическое дополнение. Обратная матрица 5) Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и способы их решения. 6) Применение матриц в практической деятельности.
III. Повторение и обобщение изученного материала. Повторение и обобщение изученного материала по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление» по плану: 1. Функция одной переменной. Пределы 2. Непрерывность функции 3. Производная, геометрический смысл 4. Исследование функций с помощью производной 5. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной 6. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла 7. Функция нескольких переменных. Применение интеграла к решению прикладных задач
Примеры. 1. Найти предел функции y =2 x +1 при x → 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x → 1 с любой стороны, то соответствующие точки M (x, y) графика стремятся к точке M (1, 3), т.е. можно предположить, что 2. Найти предел функции y =ex+1 при x → 0. Используя график заданной функции, несложно заметить, ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
Пример. Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
Пример. Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
Примеры. 1. 2. 3. Рассмотрим
Смысл этой теоремы понятен из рисунка. Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0. Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы
ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
Если f(x) стремится к пределу b при x, стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a, то пишут Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→a слева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a), что для всех Аналогично, если x→a и принимает значения большие a, то пишут Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а. Примеры. 1. Найдем пределы функции f(x) при x→ 3. Очевидно, 2. 3. 4. ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Условные выражения характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей. I. Неопределенность 1. 2. При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x =1 является корнем многочлена x3 – 6 x2 + 11 x – 6, то при делении получим 3. 4. 5. II. Неопределенность 1. При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени. 2. 3. 4. При вычислении предела воспользовались равенством Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев III. Неопределенность 0 ·∞.
IV. Неопределенность ∞ –∞. 1. 2. 3. Замечательные пределы Функция Однако, можно найти предел этой функции при х →0. Выведенная формула и называется первым замечательным пределом. Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности Примеры. 1. 2. 3. 4. 5.
Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1∞ и выглядит следующим образом Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу). Примеры. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Непрерывность функции Понятие непрерывности функции в точке Определение Функция 1) функция 2) существует конечный предел функции этот предел равен значению функции в точке Замечание При нахождении предела функции Определение Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области. Функция Функция Функция Функция Свойства функций непрерывных на отрезке: 1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Непрерывная на отрезке 2. Теорема Больцано-Коши. Если функция Если функция Полезные теоремы о непрерывности функции Теорема Если функции Пусть функция Теорема Пусть функция Теорема Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке. Приращение аргумента и функции Рассмотрим функцию Определение Приращением аргумента Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что Приращением функции Теорема Функция Точки разрыва функции и их классификация Определение Точка 1) функция 2) существует конечный предел функции это предел равен значению функции в точке называется точкой разрыва функции. Точка разрыва первого рода Определение Если в точке Точка разрыва второго рода Определение Если хотя бы один из пределов Точка устранимого разрыва Определение Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции Замечание При нахождении предела функции
Определение Средней скоростью изменения функции Определение Истинной или мгновенной скоростью изменения функции Теорема (Механический смысл производной) Пусть задан путь Задание. Тело движется прямолинейно по закону Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть В заданный момент времени
Ответ. Замечание Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции Пример Задание. На рисунке №1 изображен график функции Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что Найдем угол А отсюда следует, что Ответ. Пусть функция y = f (x) на интервале (a, b) имеет производную Примеры. 1. y = sin x 2. Тогда 2. 3. 4.
Таблица простейших интегралов 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными. Отметим частный случай формулы 1:
Приведем еще одну очевидную формулу:
т. е. первообразная от функции, тождественно равной нулю, есть постоянная.
Непосредственное интегрирование – интегрирование с использованием таблицы неопределенных интегралов, основных свойств и тождественных преобразований подынтегральной функции. Пример 6.
Пример 7.
Пример 8.
Пример 9.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
dv = ех dх Þ v = ∫ ех dх = ех
dv = ех dх Þ v =∫ ех dх = ех
+ 2 ех + с = е2 (х2 – 2х + 2) + с Пример 4.
dv = cos 2х dх Þ v = ∫ cos 2х dх = ½ sin 2х
Формула Ньютона–Лейбница Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов. Теорема 2. Если функция
которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность
где символ Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную Пример 1. Вычислить интеграл Решение. Для подынтегральной функции Пример 2. Вычислить интеграл Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Интегрирование по частям Теорема 4. Пусть функции
Пример 6. Вычислить Решение. Положим
Пример 7. Вычислить Решение. Пусть
Пример 8. Вычислить Решение. Полагая
Вариант 1 1. Вычислить предел функции:
2. Вычислить предел функции:
3. Вычислить предел функции:
4. Вычислить предел функции:
Вариант 2 1. Вычислить предел функции:
2. Вычислить предел функции:
3. Вычислить предел функции:
4. Вычислить предел функции:
2. Исследовать функцию с помощью производной и построить график функции. Вариант 1 Исследовать функцию Вариант 2 Исследовать функцию
3. Найти производную функции, аргументировать применение геометрического и физического смысла производной. Вариант 1 1. Найти производную функции 2. Найти производную третьего порядка функции 3. Написать уравнение касательной к графику функции ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|