Производная, геометрический смысл

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке [a;b]. Точка x [a;b]. В точке x функция y=f(x) имеет значение f(x). Точка (x+∆x) [a;b]. В точке (x+∆x) функция y=f(x) имеет значение f(x+∆x). Разность (x+∆х – x) - приращение аргумента. Обозначается ∆x.

Разность f(x+∆x) – f(x) - приращение функции. Обозначается ∆ y, т.е.

∆y = f(x+∆x) – f(x).

Составим отношение

.

Если ∆x 0, то

.

Этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x.

Определение: Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Обозначают производную: f'(x) или или . Обычно, если данная функция обозначена буквой у, то ее про­изводная может быть обозначена у', читать: «производная функции у» или , читать: «производная функции у по х». Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена f '(х), читать: «производная функции f(x)».

Определение: Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Функция y=f(x), которая имеет производную в точке x, называется дифференцируемой в этой точке. Функция y=f(x), которая имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Общее правило дифференцирования (нахождения про­изводной) следующее:

1) найти приращение ∆y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента х+ ∆x и x;

2) найти отношение ∆y / ∆x, для этого полученное выше равенство разделить на ∆x;

3) найти предел отношения ∆y/∆x при ∆x →0.

Пример 1. По определению найти производную функции в произвольной точке х.

Решение. Выбираем произвольную точку ; придаем приращение аргументу : ;

вычисляем приращение функции , тогда

.

Следовательно, .

Пример 2. Найти скорость равномерно ускоренного движения в произвольный момент времени t и в момент t = 2 сек., если зависимость пути от времени .

Решение. Выбираем произвольную точку ; придаем приращение аргументу: . Вычисляем приращение функции:

. Тогда скорость в произвольный момент времени будет равна

.

Скорость в момент времени t = 2 сек. соответственно будет

.

Вспомним основные правила дифференцирования:

1. Если то .

2. Если и – дифференцируемые функции, то

.

3. Если и – дифференцируемые функции, то

.

Следствие. Если , то .

4. Если и – дифференцируемые функции и , то

.

Следствие. Если , то .

5. Если , то .

6. Если – есть функция обратная к , то , где и .

Для удобства нахождения производных составим таблицу основных производных.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9.

10. ;

11. ;

12. ;

13. .

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда обучающиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

.

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: