I. Организационные моменты. Мотивация учебной деятельности.

II. Актуализация умений и навыков обучающихся.

Подробный конспект занятия.

I. Организационные моменты. Мотивация учебной деятельности студентов по теме.

Сообщение темы и целей занятия. Отчет старосты группы о посещаемости студентами лекции.

II. Актуализация знаний и умений обучающихся.

1. Проверка выполнения домашней работы. (Разобрать задания, с которыми возникли трудности).

2. Проверка теоретических сведений по «Основам линейной алгебры».

1) Понятие матрицы.

2) Действия над матрицами

3) Определители матрицы. Их свойства

4) Минор. Алгебраическое дополнение. Обратная матрица

5) Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и способы их решения.

6) Применение матриц в практической деятельности.

III. Повторение и обобщение изученного материала.

Повторение и обобщение изученного материала по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление» по плану:

1. Функция одной переменной. Пределы

2. Непрерывность функции

3. Производная, геометрический смысл

4. Исследование функций с помощью производной

5. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной

6. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла

7. Функция нескольких переменных. Применение интеграла к решению прикладных задач

Функция одной переменной. Пределы

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x → a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b. Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x → a. Введем строгое определение предела функции. Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству | x - a | < δ, имеет место неравенство | f(x) - b | < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a, то пишут или f(x) → b при x → a. Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства | x - a | < δ должно следовать неравенство | f(x) - b | < ε, т.е. при x Î (a - δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) Î (b - ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точек x, лежащих в δ – окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = b – ε и y = b + ε. Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x → a функция имеет предел, то он единственный.

Примеры.

1. Найти предел функции y =2 x +1 при x → 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x → 1 с любой стороны, то соответствующие точки M (x, y) графика стремятся к точке M (1, 3), т.е. можно предположить, что . Докажем это. Зададим произвольное число ε > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2 x+ 1) – 3 |< ε или |2 x –2| < ε, откуда | x – 1| < ε. Таким образом, если положить δ = ε/2, то при всех x, удовлетворяющих неравенству |x – 1 |< δ, будет выполняться неравенство | y – 3| < ε. По определению предела это и означает, что 3 есть предел функции y =2 x +1 при x → 1.

2. Найти предел функции y =e^x+1 при x → 0.

Используя график заданной функции, несложно заметить, .

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

.

Пример. .

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Пример. .

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

.

Примеры.

1. .

2. .

3. Рассмотрим . При x→1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x→ 1, то .

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u (x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то .

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

Довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела в заданной точке, но они имеют предел, если x→a, оставаясь с одной стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Если f(x) стремится к пределу b при x, стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a, то пишут и называют b пределом функции f(x) в точке a слева.

Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→a слева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a), что для всех выполняется неравенство .

Аналогично, если x→a и принимает значения большие a, то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→a справа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех выполняется неравенство .

Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.

Примеры.

1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следующим образом

Найдем пределы функции f(x) при x→ 3. Очевидно, , а .

2.

3. .

4. .

ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.

Условные выражения

характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов.

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

I. Неопределенность .

1. .

2. .

При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x =1 является корнем многочлена x³ – 6 x² + 11 x – 6, то при делении получим

3.

4.

5. .

II. Неопределенность .

1. .

При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени.

2. .

3. .

4. .

При вычислении предела воспользовались равенством ,если x< 0.

Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев или .

III. Неопределенность 0 ·∞.

.

IV. Неопределенность ∞ –∞.

1.

2.

3. .

Замечательные пределы

Функция не определена при x =0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.

Однако, можно найти предел этой функции при х →0.

Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами .

Примеры.

1. .

2. .

3. .

4. .

5.

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1^∞ и выглядит следующим образом

Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).

Примеры.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции в точке

Определение

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) функция определена в точке и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции в точке ;

этот предел равен значению функции в точке , т.е.

Замечание

При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: