Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям,

используя формулу (13):

м)

{для нахождения интеграла применим формулу (6)}

н)

{второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)}

в итоге получаем

о) .

Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Разложим её на простейшие дроби:

Перейдем к равенству числителей:

.

Отсюда следует, что

Тогда

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя свойства неопределённого интеграла, получим:

{для нахождения интегралов применим формулу (3)}

п) .

Под знаком интеграла неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть этой дроби путем деления числителя на знаменатель:

Выделим полный квадрат в знаменателе правильной рациональной дроби:

Возвращаясь к исходному интегралы, получим:

{для нахождения первых трёх интегралов применим формулу (2), для четвёртого – формулу (1), последний интеграл найдем c помощью формулы (7)}

р) .

Найдем интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Перейдем к равенству числителей:

.

Отсюда следует, что

Тогда .

Интегрируя почленно полученное равенство, получим::

{для нахождения интегралов применим формулу (3)}

с) .

Произведем замену:

Получим:

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и есть 4, поэтому введем следующую замену:

{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (3)}

т) .

Найдем интеграл, используя формулу тригонометрических преобразований

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя формулу (6), получим:

у)

{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (6)}

;

ф)

{для нахождения интеграла применим формулу (7)}

V. Подведение итогов занятия.

Преподаватель подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

VI. Домашнее задание:

1. Вычислить предел функции, используя свойства пределов, первый и второй замечательные пределы.

Вариант 1

1. Вычислить предел функции:

.

2. Вычислить предел функции:

.

3. Вычислить предел функции:

.

4. Вычислить предел функции:

.

Вариант 2

1. Вычислить предел функции:

.

2. Вычислить предел функции:

.

3. Вычислить предел функции:

.

4. Вычислить предел функции:

.

2. Исследовать функцию с помощью производной и построить график функции.

Вариант 1

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

Вариант 2

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

3. Найти производную функции, аргументировать применение геометрического и физического смысла производной.

Вариант 1

1. Найти производную функции .

2. Найти производную третьего порядка функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t =5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 2

1. Найти производную функции .

2. Найти производную третьего порядка функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t =5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

4. Используйте правила дифференцирования, свойства геометрического и физического смысла производной, применение производной к исследованию функций основных элементарных функций:

Вариант 1.

1.Найдите производную f’(x) если:

а) б)

2.Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:

в точке с абсциссой

3.Напишите уравнение касательной к графику функции:

в точке (

4.Решить задачу:

Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

S = t³ + 5t² + 4, t = 2

5.Найти промежутки монотонности функции

6.Найти точки экстремума функции

7.Найти наибольшее и наименьшее значение функции

x

8.Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой

Вариант 2.

1.Найдите производную f’(x) если:

а) б)

2.Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:

в точке с абсциссой

3.Напишите уравнение касательной к графику функции:

в точке (

4.Решить задачу:

Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

S = , t = 1

5.Найти промежутки монотонности функции

6.Найти точки экстремума функции

7.Найти наибольшее и наименьшее значение функции

x

8.Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой

5. Используйте правила дифференцирования сложной функции, таблицу дифференцирования.

№ Варианта	Найти производные	№ варианта	Найти производные
	а) б) в) г) д)		а) б) в) г) д)

6. Используя свойства интегралов, различные методы интегрирования, найти интегралы.

а)	б)	в)
г)	д)	е)
ж)	з)	и)
к)	л)	м)
н)	о)	п)
р)	с)	т)
у)	ф)

VII. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Замечательно! Молодцы! С помощью новых знаний, вы справились с заданиями. Теперь мы можем сказать, что выполнили задачи, поставленные на уроке?

VIII. Самостоятельная работа.

Производная, ее геометрический смысл. Непрерывность функции. Асимптоты. Неопределенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла.

Выполнить домашнее задание в виде контрольной работы по данной теме.

Список литературы:

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб. для вузов: в 3т.-5-е изд., стер. - М.: Дрофа.- (Высшее образование. Современный учебник). Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. - 2003. - 509 с.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. - 22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003. - 432 с.

3. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд.-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, 1 часть. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2002. – 288 с.: ил.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: