|
|
Тема 1.ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИСтр 1 из 7Следующая ⇒ Тема 1.ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ Для успешного решения задач с использованием классического определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики. Комбинаторика происходит от латинского слова ”combinatio” соединение. Группы, составленные из каких-либо предметов, (безразлично каких, например, букв, цветных шаров, кубиков, чисел и т.п.), называются соединениями (комбинациями). Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами. Различают три типа соединений: перестановки, размещения и сочетания.
Размещения Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения. Число размещений из n элементов по m в каждом обычно обозначается символом
Понятие факториала Произведение n натуральных чисел от 1 до n обозначается сокращенно n!, то есть Например, Считается, что 0! = 1. Используя понятие факториала, формулу (1.1) можно представить так:
где Очевидно, что
Размещения с повторениями
Размещение с повторениями из n элементов по m(m × n) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно, или не содержать его совсем, то есть каждое размещение с повторениями из n элементов по m элементов может состоять не только из различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов. Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями. Число размещений с повторениями из n элементов по m элементов будем обозначать символом Можно доказать, что оно равно nm.
Сочетания Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m в каждом обозначается символом
или
Сочетания с повторениями Сочетание с повторениями из n элементов по m(m Î n) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно, или не содержать его совсем, то есть каждое сочетание из n элементов по m элементов может состоять не только из m различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов. Следует отметить, что если, например, два соединения по m элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями. Число сочетаний с повторениями из n элементов по m будем обозначать символом
Замечание: m может быть и больше n. Перестановки Перестановками из n элементов называются такие соединения, каждое из которых содержит все n элементов, и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов. Число перестановок их n элементов обозначается символом Рn, это то же самое, что число размещений из n элементов по n в каждом, поэтому
Перестановки с повторениями
Число перестановок с повторениями выражается при помощи формулы:
где
Правила комбинаторики
А В
|
Рис.2.2
Пересечение А и В (обозначается как A 
B) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами и А и В.
Объединение А и В (обозначается A 
B) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами или А, или В, или А и В вместе.(рис. 2.2)
БАЙЕСА
Часто мы начинаем анализ вероятностей имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными ( послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.
Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так:
Априорные Новая информация из Байесовский Апостериорные
вероятности каких-либо источников анализ вероятности
Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н1, Н2, Н3,..., Нn, образующих полную группу. Пусть известны вероятности P(H1), P(H2),…P(Hi),…P(Hn). Так как события Hi образуют полную группу, то 
. Так же известны и условные вероятности события А: P(A/H1), P(A/H2), …P(A/Hi)…, P(A/Hn), i=1, 2, …, n. Так как заранее неизвестно с каким из событий Hi произойдет событие А, то события Hi называют гипотезами.
Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Hi с учетом полной информации о событии А.
Вероятность события А определяется как:
(3.1)
Эта вероятность называется полной вероятностью.
Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н1, Н2, Н3,..., Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2,..., Нn на соответствующую условную вероятность события А.
Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:
или (3.2)
Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 году) выражение в знаменателе - формула полной вероятности.
Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.
Соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины. 
Если обозначить возможные числовые значения случайной величины Х через х 
, х 
,... 
..., а через 
вероятность появления значения 
, то дискретная случайная величина полностью определяется следующей таблицей 4.1:
Таблица 4.1
|
| 
| 
| ... |
|
| p1 | 
| ... | 
|
где значения х , х ,..., ,записываются, как правило, в порядке возрастания. Таблица называется законом или рядом распределения дискретной случайной величины Х. Поскольку в верхней строчке ряда распределения записаны все значения случайной величины Х, то нижняя строчка обладает тем свойством, что
(4.1)
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения (полигоном распределения) (рис. 4.1):
 |
 |
Рис.4.1.
Для этого по оси абсцисс откладывают значения случайной величины, по оси ординат - вероятности значений. Полученные точки соединяют отрезками прямой. Построенная фигура и называется многоугольником распределения вероятностей.
Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х:
(4.2)
- здесь для каждого значения х суммируются вероятности тех значений , которые лежат левее точки х.
Функция F (x) есть неубывающая функция; 
Для дискретных случайных величин функция распределения F(x) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева (рис. 4.2):
F(x)
 | |||
 | |||
p3
p2
p1
x1 x2 0 х3 x j
Рис.4.2.
Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток от 
до 
(включая 
) выражается формулой:
(4.3)
Числовые характеристики.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется:
(4.4)
В случае бесконечного множества значений 
в правой части (4.4) находится ряд, и мы будем рассматривать только те значения Х, для которых этот ряд абсолютно сходится.
М(Х) представляет собой среднее ожидаемое значение случайной величины. Оно обладает следующими свойствами:
1) М(С)=С, где С=const
2) M (CX)=CM (X) (4.5)
3) M (X+Y)=M(X)+M(Y), для любых Х и Y.
4) M (XY)=M (X)M(Y), если Х и Y независимы.
Для оценки степени рассеяния значений случайной величины около ее среднего значения M(X)= а вводятся понятия дисперсии D(X) и среднего квадратического (стандартного) отклонения 
. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата разности (X- 
), т.е.:
D(X)=M(X- )2= 
pi,
где =М(X); определяется как квадратный корень из дисперсии, т.е. 
.
Для вычисления дисперсии пользуются формулой:
(4.6)
Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения:
1) D(C)=0, где С=сonst
2) D(CX)=C2D(X), 
(CX)= çCç (X) (4.7)
3) D(X+Y) =D(X)+D(Y), 
если Х и У независимы.
Размерность величин 
и 
совпадает с размерностью самой случайной величины Х, а размерность D(X) равна квадрату размерности случайной величины Х.
4.3. Математические операции над случайными величинами.
Пусть случайная величина Х принимает значения с вероятностями 
а случайная величина Y- значения 
с вероятностями 
Произведение КX случайной величины Х на постоянную величину К - это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина Х, принимает значения, равные произведениям на К значений случайной величины Х. Следовательно, ее закон распределения имеет вид таблица 4.2:
Таблица 4.2
| 
| 
| ... | 
|
|
| 
| ... | 
|
Квадрат случайной величины Х, т.е. 
, - это новая случайная величина,которая с теми же вероятностями, что и случайная величина Х, принимает значения, равные квадратам ее значений.
Сумма случайных величин Х и У - это новая случайная величина, которая принимает все значения вида 
с вероятностями 
, выражающими вероятность того, что случайная величина Х примет значение 
а У - значение 
, то есть
(4.8)
Если случайные величины Х и У независимы, то:
(4.9)
Аналогично определяются разность и произведение случайных величин Х и У.
Разность случайных величин Х и У - это новая случайная величина, которая принимает все значения вида 
, а произведение - все значения вида 
с вероятностями, определяемыми по формуле (4.8), а если случайные величины Х и У независимы, то по формуле (4.9).
4.4. Распределения Бернулли и Пуассона.
Рассмотрим последовательность n идентичных повторных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:
1. Каждое испытание имеет два исхода, называемые успех и неуспех.
Эти два исхода - взаимно несовместные и противоположные события.
2. Вероятность успеха, обозначаемая p, остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха обозначается q.
3. Все n испытаний - независимы. Это значит, что вероятность наступления события в любом из n повторных испытаний не зависит от результатов других испытаний.
Вероятность того, что в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна 
, событие наступит ровно m раз (в любой последовательности), равна
(4.10)
где q=1-р.
Выражение (4.10) называется формулой Бернулли.
Вероятности того, что событие наступит:
а) менее m раз,
б) более m раз,
в) не менее m раз,
г) не более m раз - находятся соответственно по формулам:
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна р; вероятности возможных значений Х = 0,1,2,..., m,...,n вычисляются по формуле Бернулли (таблица 4.3).
Таблица 4.3
| Число успехов Х=m | ... | m | ... | n | |||
Вероятность Р   
|
|
|
| ... |
| ... |
|
Так как правая часть формулы (4.10) представляет общий член биноминального разложения 
, то этот закон распределения называют биномиальным. Для случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону, имеем:
M(X)=nр (4.11)
D(X)=nрq (4.12)
Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то вместо формулы (4.10) пользуются приближенной формулой:
(4.13)
где m - число появлений события в n независимых испытаниях, 
(среднее число появлений события в n испытаниях).
Выражение (4.13) называется формулой Пуассона. Придавая m целые неотрицательные значения m=0,1,2,...,n, можно записать ряд распределения вероятностей, вычисленных по формуле (4.13), который называется законом распределения Пуассона (таблица 4.4):
Таблица 4.4
| M | ... | m | ... | n | |||
| Pn;m | 
| 
| 
| ... | 
| ... | 
|
Распределение Пуассона часто используется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства. Например, число машин, прибывших на автомойку в течении часа, число дефектов на новом отрезке шоссе длиной в 10 километров, число мест утечки воды на 100 километров водопровода, число остановок станков в неделю, число дорожных происшествий.
Если распределение Пуассона применяется вместо биномиального распределения, то n должно иметь порядок не менее нескольких десятков, лучше нескольких сотен, а nр< 10.
Математическое ожидание к дисперсии случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру 
, которая определяет этот закон, т.е.
M(X)=D(X)=n×p= . (4.14)
Нормальное распределение
Если плотность распределения (дифференциальная функция) случайной переменной определяется выражением:
(5.10)
то говорят, что Х имеет нормальное распределение с параметрами а и 
. Вероятностный смысл параметров: 
=М(X), а 
. Обозначение:
Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины Х в промежуток от 
до 
используется формула:
(5.11)
(интеграл Лапласа)
Формула (5.11) иногда в литературе называется интегральной теоремой Лапласа.
Функция 
обладает свойствами:
3 ) 
(см. таблицу приложения 2).
Функция табулирована. В частности для симметричного относительно а промежутка 
имеем:
(5.12)
Формула (5.12) применима и к частоте m, поскольку ее закон распределения при достаточно большом числе испытаний практически совпадает с нормальным. Применительно к случайной величине m, с учетом ее числовых характеристик
M(m) = np и 
(5.13)
формула (5.12) примет вид:
(5.14)
Формула (5.12) может быть применена и к относительной частоте 
с числовыми характеристиками 
и 
(5.15)
(5.16)
С вероятностью, очень близкой к единице (равной 
нормально распределенная случайная величина Х удовлетворяет неравенству:
(5.17)
В этом состоит правило трех сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает 
.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. При р 
и p 
1 и достаточно большом n биноминальное распределение близко к нормальному закону (причем их математические ожидания и дисперсии совпадают), т.е. имеет место равенство:
, где 
, a =nр
Тогда:
(5.18)
для достаточно больших n (здесь 
(х) - плотность вероятностей стандартной нормальной случайной величины 
и 
).
Статистическое оценивание
Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка объема n, причем значение признака х1 наблюдается m1 раз, х2 m2 раз,..., хk наблюдается mk раз, 
- объем выборки.
Мы можем сопоставить каждому значению xi относительную частоту mi/n.
Статистическим распределением выборки называют перечень возможных значений признака xi и соответствующих ему частот или относительных частот (частостей) mi (wi).
Числовые характеристики генеральной совокупности, как правило неизвестные, (средняя, дисперсия и др.) называют параметрами генеральной совокупности (обозначают, например, 
или 
, 
). Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности, называется генеральной долей и обозначается р.
По данным выборки рассчитывают числовые характеристики, которые называют статистиками (обозначают 
, или 
, 
, выборочная доля обозначается w). Статистики, получаемые по различным выборкам, как правило, отличаются друг от друга. Поэтому статистика, полученная из выборки, является только оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности. Оценка параметра - определенная числовая характеристика, полученная из выборки. Когда оценка определяется одним числом, ее называют точечной оценкой.
В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Теоретическое обоснование возможности использования этих выборочных оценок для суждений о характеристиках и свойствах генеральной совокупности дают закон больших чисел и центральная предельная теорема Ляпунова.
Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т.е. 
≈ 
Генеральная дисперсия имеет 2 точечные оценки: - 
выборочная дисперсия; 
- исправленная выборочная дисперсия[3]. - исчисляется при 
, а - при 
. Причем в математической статистике доказывается, что
или 
(7.1)
При больших объемах выборки и практически совпадают.
Генеральное среднее квадратическое отклонение 
так же имеет 2 точечные оценки: 
- выборочное среднее квадратическое отклонение и 
- исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. используется для оценивания 
при 
, а 
для оценивания , при 
;при этом 
, а 
.
Ошибки выборки
Поскольку выборочная совокупность представляет собой лишь часть генеральной совокупности, то вполне естественно, что выборочные характеристики не будут точно совпадать с соответствующими генеральными. Ошибка репрезентативности может быть представлена как разность между генеральными и выборочными характеристиками изучаемой совокупности: 
, либо 
.
Применительно к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала.
(7.2)
где - средняя по совокупности выбранных единиц,
- средняя по генеральной совокупности,
- среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности.
Запись показывает, что о величине расхождения между параметром и статистикой 
, можно судить лишь с определенной вероятностью, от которой зависит величина t.
Формула (7.2) устанавливает связь между пределом ошибки 
, гарантируемым с некоторой вероятностью Р, величиной tи средней ошибкой выборки 
.
Cогласно центральной предельной теореме Ляпунова выборочные распределения статистик (при n ³ 30) будут иметь нормальное распределение независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность. Следовательно:
(7.3)
где Ф0(t) - функция Лапласа.
Значения вероятностей, соответствующие различным t, содержатся в специальных таблицах: при n ³ 30 - в таблице значений Ф0(t), а при n < 30 в таблице распределения t -Стьюдента. Неизвестное значение 
при расчете ошибки выборки заменяется 
В зависимости от способа отбора средняя ошибка выборки определяется по разному:
Таблица 7.1
Интервальное оценивание
Мы уже знаем, что . Если представляет собой предел, которым ограничена сверху абсолютная величина 
, то 
. Следовательно,
(7.4)
Мы получили интервальную оценку генеральной средней. Из теоремы Чебышева следует, что
. (7.5)
Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, который с определенной вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности. Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом. Для его определения вычисляется предельная ошибка выборки , позволяющая установить предельные границы, в которых с заданной вероятностью (надёжностью) должен находиться параметр генеральной совокупности.
Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки. Коэффициент t позволяет установить, насколько надежно высказывание о том, что заданный интервал содержит параметр генеральной совокупности. Если мы выберем коэффициент таким, что высказывание в 95% случаев окажется правильным и только в 5% - неправильным, то мы говорим: со статистической надежностью в 95% доверительный интервал выборочной статистики содержит параметр генеральной совокупности. Статистической надежности в 95% соответствует доверительная вероятность - 0,95. В 5% случаев утверждение "параметр принадлежит доверительному интервалу" будет неверным. То есть 5% задает уровень значимости (
) или 0,05 вероятность ошибки. Обычно в статистике уровень значимости выбирают таким, чтобы он не превысил 5% ( < 0,05). Доверительная вероятность и уровень значимости дополняют друг друга до 1 (или 100%) и определяют надежность статистического высказывания.
С помощью доверительного интервала можно оценить не только генеральную среднюю, но и другие неизвестные параметры генеральной совокупности.
Для оценки математического ожидания а (генеральной средней ) [5]нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней 
при известном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности (на практике - при большом объеме выборки, т.е. при n ³ 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.5.2) примет вид:
(7.6)
где t определяется по таблицам функции Лапласа из соотношения
2F0(t) = g;
- среднее квадратическое отклонение;
n - объем выборки (число обследованных единиц).
D определяется по формуле:
Для оценки математического ожидания а (генеральной средней ) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней 
ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...
Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...
ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...
Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
и вычисляется по формуле (1.1)[1]:
.
(читается: n факториал).
.
,
.
= n (при m=1) и 
= 1 (при m=0).
(c повт.)
где 
,
где 
Формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:
(1.7)
,
числа повторений.