|
|
Зависимые и независимые событияВероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, то есть: Р (А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) или (2.4)
Для несовместных событий их совместное наступление есть невозможное событие Æ, а вероятность его равна нулю. Следовательно, для несовместных событий правило сложения вероятностей принимает следующий вид: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа n попарно несовместных событий, то есть: P(A1+A2+A3+...+An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...P(An ) или
В случае нескольких совместных событий необходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий исключить повторный учет областей пересечения событий. Рассмотрим три совместных события.
Рис. 2.3
Для случая трех совместных событий можно записать:
Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).
Сумма вероятностей событий А1, А2, А3,..., Аn, образующих полную группу, равна 1, то есть: P(A1) + P(A2) + P(A3) +... + P(An) = 1 или
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:
или События А1, А2,..., An (n > 2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных. Распространим теоремы умножения на случаи n независимых и зависимых в совокупности событий. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий. P(A1 ×A2 × A3 ×…× An) = P(A1) × P(A2) × P(A3) ×…× P(An) (2.9) Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е.
Если события А1, А2,... An - зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них соответственно равна:
Тема 3. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА Часто мы начинаем анализ вероятностей имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными ( послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей. Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так:
вероятности каких-либо источников анализ вероятности
Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н1, Н2, Н3,..., Нn, образующих полную группу. Пусть известны вероятности P(H1), P(H2),…P(Hi),…P(Hn). Так как события Hi образуют полную группу, то Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Hi с учетом полной информации о событии А. Вероятность события А определяется как:
Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н1, Н2, Н3,..., Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2,..., Нn на соответствующую условную вероятность события А. Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:
или (3.2)
Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 году) выражение в знаменателе - формула полной вероятности.
  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
B) = P(A) × P(B)
или P(B/A) = 
.
(2.13)
(2.14)
. Так же известны и условные вероятности события А: P(A/H1), P(A/H2), …P(A/Hi)…, P(A/Hn), i=1, 2, …, n. Так как заранее неизвестно с каким из событий Hi произойдет событие А, то события Hi называют гипотезами.
(3.1)
