|
|
Гипергеометрическое распределение.
Пусть имеется множество N элементов, из которых М элементов обладают некоторым признаком A. Извлекается случайным образом без возвращения n элементов. Требуется найти вероятность того, что из них m элементов обладают признаком A. Искомая вероятность (зависящая от N, M, n, m) определяется по формуле:
Если по формуле (4.15) вычислить вероятности для всех возможных значений m, то полученный ряд распределения называется гипергеометрическим законом распределения (таблица 4.5): Таблица 4.5
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины m, распределенной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:
5. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и имеет производную. Как уже было показано в разделе 4 (формула 4.2), функцией распределения случайной величины Х называется функция F(X), выражающая вероятность выполнения условия
Функция распределения обладает следующими свойствами: 1.Вероятность попадания случайной величины в промежуток от
так как вероятность любого отдельного значения случайной величины равна нулю, если функция распределения непрерывна при этом значении, т. е.:
2.Функция распределения удовлетворяет условиям:
Плотностью распределения (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины называется функция
f(x) = Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна: Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -
График функции y = f(x) называется кривой распределения или графиком плотности распределения. Кривая y = f (x) располагается над осью абсцисс. Вероятность попадания случайной величины в промежуток от
Подинтегральное выражение f(x)dx называется элементом вероятности. Оно выражает вероятность попадания случайной точки в промежуток между точками х и Функция распределения F(x) выражается через плотность f(x) формулой:
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х вычисляется по формуле:
дисперсия
Нормальное распределение
Если плотность распределения (дифференциальная функция) случайной переменной определяется выражением:
то говорят, что Х имеет нормальное распределение с параметрами а и
Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины Х в промежуток от
Формула (5.11) иногда в литературе называется интегральной теоремой Лапласа. Функция
3 ) Функция
Формула (5.12) применима и к частоте m, поскольку ее закон распределения при достаточно большом числе испытаний практически совпадает с нормальным. Применительно к случайной величине m, с учетом ее числовых характеристик M(m) = np и формула (5.12) примет вид:
Формула (5.12) может быть применена и к относительной частоте
С вероятностью, очень близкой к единице (равной
В этом состоит правило трех сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает Локальная теорема Муавра-Лапласа. При р
Тогда:
для достаточно больших n (здесь   Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
(4.15)
(4.16)
(4.17) 
:
(5.1)
до 
равна приращению функции распределения на концах этого промежутка:
(5.2),
, когда F(X) - непрерывна в точке 
= 
(5.3)
(x). (5.4)
до + 
(5.5)
до 
может быть вычислена по формуле:
(5.6)
, где 
бесконечно малая величина.
(5.7)
(5.8),
(5.9)
(5.10)
. Вероятностный смысл параметров: 
=М(X), а 
. Обозначение:
(5.11)
(интеграл Лапласа)
обладает свойствами:
(см. таблицу приложения 2).
имеем:
(5.12)
(5.13)
(5.14)
с числовыми характеристиками 
и 
(5.16)
нормально распределенная случайная величина Х удовлетворяет неравенству:
(5.17)
.
и p 
1 и достаточно большом n биноминальное распределение близко к нормальному закону (причем их математические ожидания и дисперсии совпадают), т.е. имеет место равенство:
, где 
, a =nр
(5.18)
(х) - плотность вероятностей стандартной нормальной случайной величины 
и 
).