Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Гипергеометрическое распределение.





 

Пусть имеется множество N элементов, из которых М элементов обладают некоторым признаком A. Извлекается случайным образом без возвращения n элементов. Требуется найти вероятность того, что из них m элементов обладают признаком A. Искомая вероятность (зависящая от N, M, n, m) определяется по формуле:

(4.15)

Если по формуле (4.15) вычислить вероятности для всех возможных значений m, то полученный ряд распределения называется гипергеометрическим законом распределения (таблица 4.5):

Таблица 4.5

M ... n
P(X=m) ...

 

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины m, распределенной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:

(4.16)

(4.17)

 


5. Непрерывные случайные величины.

Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и имеет производную.

Как уже было показано в разделе 4 (формула 4.2), функцией распределения случайной величины Х называется функция F(X), выражающая вероятность выполнения условия :

 

(5.1)

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1.Вероятность попадания случайной величины в промежуток от до равна приращению функции распределения на концах этого промежутка:

 

(5.2),

так как вероятность любого отдельного значения случайной величины равна нулю, если функция распределения непрерывна при этом значении, т. е. :

, когда F(X) - непрерывна в точке =

2.Функция распределения удовлетворяет условиям:

( 5.3)

Плотностью распределения (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины называется функция

 



f(x) = (x). (5.4)

Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна:

Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от - до + равен 1:

(5.5)

График функции y = f(x) называется кривой распределения или графиком плотности распределения. Кривая y = f (x) располагается над осью абсцисс.

Вероятность попадания случайной величины в промежуток от до может быть вычислена по формуле:

(5.6)

Подинтегральное выражение f(x)dx называется элементом вероятности. Оно выражает вероятность попадания случайной точки в промежуток между точками х и , где бесконечно малая величина.

Функция распределения F(x) выражается через плотность f(x) формулой :

(5.7)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х вычисляется по формуле:

(5.8),

дисперсия (5.9)

 

 

Нормальное распределение

 

Если плотность распределения (дифференциальная функция) случайной переменной определяется выражением:

(5.10)

то говорят, что Х имеет нормальное распределение с параметрами а и . Вероятностный смысл параметров: =М(X), а .Обозначение:

Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины Х в промежуток от до используется формула:

 

(5.11)

(интеграл Лапласа)

Формула (5.11) иногда в литературе называется интегральной теоремой Лапласа.

Функция обладает свойствами:

3) (см. таблицу приложения 2).

Функция табулирована. В частности для симметричного относительно а промежутка имеем:

(5.12)

Формула (5.12) применима и к частоте m, поскольку ее закон распределения при достаточно большом числе испытаний практически совпадает с нормальным. Применительно к случайной величине m, с учетом ее числовых характеристик

M(m) = np и (5.13)

формула (5.12) примет вид :

(5.14)

Формула (5.12) может быть применена и к относительной частоте с числовыми характеристиками и (5.15)

(5.16)

С вероятностью, очень близкой к единице (равной нормально распределенная случайная величина Х удовлетворяет неравенству:

 

(5.17)

В этом состоит правило трех сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает .

Локальная теорема Муавра-Лапласа. При р и p 1 и достаточно большом n биноминальное распределение близко к нормальному закону (причем их математические ожидания и дисперсии совпадают), т.е. имеет место равенство:

, где , a=nр

 

Тогда:

(5.18)

для достаточно больших n (здесь (х) - плотность вероятностей стандартной нормальной случайной величины и ).









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.