|
Сравнение эмпирического распределения с теоретическимВ разных задачах подсчет теоретических частот осуществляется по-разному. Рассмотрим примеры задач, иллюстрирующих различные варианты подсчета теоретических частот. Начнем с равновероятного распределения теоретических частот. В задачах такого типа в силу требования равномерности распределения все теоретические частоты должны быть равны между собой. Задача 2. Предположим, что в эксперименте психологу необходимо использовать шестигранный игральный кубик с цифрами на гранях от 1 до 6. Для чистоты эксперимента необходимо получить «идеальный» кубик, т.е. такой, чтобы при достаточно большом числе подбрасываний, каждая его грань выпадала бы примерно равное число раз. Задача состоит в выяснении того, будет ли данный кубик близок к идеальному? Решение. Для решения этой задачи, психолог подбрасывал кубик 60 раз, при этом количество выпадений каждой грани (эмпирические частоты ) распределилось следующим образом: Таблица 2.
В «идеальном» случае необходимо, чтобы каждая из 6 его граней (теоретические частоты) выпадала бы равное число раз: . Величина и будет, очевидно, теоретической частотой , одинаковой для каждой грани кубика. Согласно данным подсчитаем величину по формуле: , где - эмпирическая частота, -теоретическая частота, - количество разрядов признака. . Замечание. Для вычисления можно составить таблицу таблица 2.
Таблица 2.
Теперь, для того чтобы найти , необходимо обратиться к таблице 12 Приложения 1, определив, предварительно число степеней свободы v. В нашем случае (число граней) k = 6, следовательно, v = 6 - 1 = 5. По таблице 12 Приложения 1 находим величины для уровней значимости 0,05 и 0,01: В нашем случае попало в зону незначимости и оказалось равным 4,2, что гораздо меньше 11,070 – критической величины для 5% уровня значимости. Следовательно, можно принимать гипотезу о том, что эмпирическое и теоретическое распределения не различаются между собой. Таким образом, можно утверждать, что игральный кубик «безупречен». Понятно, также, что если бы попало в зону значимости, то следовало бы принять гипотезу о наличии различий и тем самым утверждать, что наш игральный кубик был бы далеко не «безупречен». При решении приведенной выше задачи с равновероятным распределением теоретических частот не было необходимости использовать специальные процедуры их подсчета. Однако на практике чаще возникают задачи, в которых распределение теоретических частот не имеет равновероятного характера. В этих случаях для подсчета теоретических частот используются специальные формулы или таблицы. Рассмотрим задачу, в которой в качестве теоретического будет использоваться нормальное распределение. Задача 3. У 267 человек был измерен рост. Вопрос состоит в том, будет ли полученное в этой выборке распределение роста близко к нормальному? Решение. Измерения проводились с точностью до 0,1 см и все полученные величины роста оказались в диапазоне от 156,5 до 183,5 см. Для расчета по критерию целесообразно разбить этот диапазон на интервалы, величину интервала удобнее всего взять равной 3 см, поскольку 183,5 - 156,5 = 27 и 27 делится нацело на 3 . Таким образом, все экспериментальные данные будут распределены по 9 интервалам. При этом центрами интервалов будут следующие числа: 158, 161, 164, 167, 170,173,176,179,182. При измерении роста в каждый из этих интервалов попало какое-то количество людей - эта величина для каждого интервала и будет эмпирической частотой, обозначаемой в дальнейшем как . Чтобы применить расчетную формулу , необходимо, прежде всего, вычислить теоретические частоты. Для этого по всем полученным значениям эмпирических частот (по всем выборочным данным) нужно вычислить: 1) среднее . 2) и среднеквадратическое отклонение (). Для наших выборочных данных величина среднего оказалась равной 166,22 и среднеквадратическое = 4,06. Затем для каждого выделенного интервала следует подсчитать величины по формуле (где индекс i изменяется от 1 до 9, т.к. у нас 9 интервалов): Величины называются нормированными частотами. Удобнее производить их расчет с помощью таблицы 3. Затем по величинам нормированных частот по таблице 11 Приложения 1 находятся величины , которые называются ординатами нормальной кривой для каждой . Величины , полученные из таблицы 11 Приложения 1, заносятся в соответствующую строчку четвертого столбца таблицы 3. Величины, полученные в третьем и четвертом столбцах таблицы 3, позволяют вычислить по соответствующей формуле необходимые нам теоретические частоты (обозначаемые как. ) и также занести их в пятый столбец таблицы 3. Расчет теоретических частот осуществляется для каждого интервала по следующей формуле , где n = 267 (общая величина выборки), = 3 (величина интервала), — среднеквадратичное отклонение. Таблица 3.
Для вычисления составим таблицу 4, которая получается из таблицы 3, сложением первых двух строк и двух нижних строк, для того, чтобы получить 7 интервалов для упрощения расчетов. Таблица 4.
В случае оценки равенства эмпирического распределения нормальному, число степеней свободы определяется: . Таким образом, число степеней свободы в нашем случае будет равно v = 4. По таблице 12 Приложения 1 находим: Полученная величина эмпирического значения хи -квадрат попала в зону незначимости, поэтому, необходимо принять гипотезу об отсутствии различий. Следовательно, существуют все основания утверждать, что наше эмпирическое распределение близко к нормальному. В заключении подчеркнем, что, несмотря на некоторую «громоздкость» вычислительных процедур, этот способ расчета дает наиболее точную оценку совпадения эмпирического и нормального распределений. Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|