АНАЛИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ: КРИТЕРИЙ СЕРИЙ

Как следует из названия, метод применяется для анализа последователь­ности объектов (явлений, событий), упорядоченных во времени или в порядке возрастания (убывания) значений измеренного признака. Кроме того, метод требует представления последовательности в виде бинарной переменной — как чередования событий 0 и 1. Поэтому исходные данные, как правило, требуют преобразования: упорядочивания (по времени или по уровню) и приведения к би­нарному виду.

Математическая идея критерия основана на подсчете числа серий в упо­рядоченной последовательности событий двух типов, например, 0 и 1. Се­рия — это последовательность однотипных событий, непосредственно перед и после которой произошли события другого типа. Гипотеза Н₀ о случайном распределении событий 1 среди событий 0 может быть отклонена, если коли­чество серий либо слишком мало, либо слишком велико.

ПРИМЕР 9.7______________________________________________________________________

Предположим, было получено две последовательности успехов (1) и неудач (0) для двух игроков. Каждый из них играл 20 раз с равным количеством выигрышей (п = 10) и проигрышей (т = 10): п + т = 20. Игрок № 1:10000000011111101110 - число серий №= 6 Игрок № 2: 01010010101011010011- число серий IV= 16 В отношении первого игрока Н₀ будет отклонена, если число серий слишком мало, а в отношении второго игрока — если число серий слишком велико. При отклоне­нии Н₀ для первого игрока может быть сделан вывод о том, что достоверно чаще после успеха следует успех, а после проигрыша — проигрыш, а для второго игрока, что после проигрыша достоверно чаще следует выигрыш, и наоборот.

Проблема направленности гипотезы Н₀ должна решаться еще до проведе­ния исследования. Понятно, что исследователя может интересовать любое отклонение от Н₀ — как в сторону слишком малого, так и слишком большого числа серий IV. Тогда необходима проверка ненаправленной гипотезы. Если же исследователя интересуют только малые значения РГили только слишком большие значения Ж, то необходима проверка направленной гипотезы. Важ­ность предварительного определения направленности гипотезы обусловлена тем, что при одном и том же числе серий IVр-уровень для направленной гипотезы будет в два раза меньше, чем для ненаправленной гипотезы. Любые сомнения в направленности гипотезы необходимо решать в пользу выбора ненаправлен­ной альтернативы.

Предположим, что для исследователя, получившего данные из примера 9.7, зара­нее не было известно, какая альтернатива будет приниматься в случае отклонения Н₀. Следовательно, должна проверяться ненаправленная Н₀, допускающая откло­нение Н₀ как в случае слишком малого, так и в случае слишком большого числа серий Ж

Точное распределение числа серий Жпри выполнении Н₀, следовательно, и точное значение р-уровня значимости для конкретного Ж (при конкретных значениях тип) может быть получено с помощью комбинаторного анализа, например, при помощи компьютера.

При вычислениях на компьютере точное значение р-уровня может быть вычислено при выборе опции Ехас1... (Точно...) в диалоге анализа Кип$... (Серии...) с последу­ющим заданием метода Моп*е Саг1о. Так, для примера 9.7 точные значения р-уров­ня (для ненаправленных Н₀, двусторонние): для игрока № 1 р = 0,035; для игрока № 2 р = 0,035.

Если численность т(п) < 20, то для проверки Н₀ применяются таблицы кри­тических значений для числа серий (приложение 5).

ПРИМЕР 9.7 (продолжение)_________________________________________________________

Проверим ненаправленную Н₀ в отношении двух игроков с использованием таб­лицы критических значений числа серий для а = 0,05 (приложение 5). Для этого достаточно соотнести эмпирическое значение числа серий с табличными значе­ниями (нижним (^0,025^и верхним \У_0<0975). Если эмпирическое значение меньше или равно Н^о,о25 ^или больше или равно ₀₉₇₅, то Н₀ отклоняется.

Ш а г 1. Принимаем статистические решения. Для т = 10, п = 10: ^025⁼ 6; И^, ₀₉₇₅ = 16. Для игрока № 1: (^ = 6, Н₀ отклоняется. Для игрока № 2: Щ = 16, Н₀ отклоняется.

Шаг 2. Формулируем содержательные выводы. Для игрока № 1: достоверно чаще после успеха следует успех, а после проигрыша — проигрыш (р< 0,05). Для игрока № 2: по­сле проигрыша достоверно чаще следует выигрыш, а после выигрыша — проигрыш.

Альтернативным способом определения /ьуровня является применение 2-критерия серий, основанного на том факте, что число серий Ж при выпол­
нении Н„ распределено приблизительно нормально с известными М^ ио_г. Формула для определения эмпирического значения 2-критерия серии".

Ж + 0,5-М_ж _Ж + 0,5-[1 + 2ит/(п + т)] ^ ^

2пт(2пт-п-т) 2

(п + т) (п + т-1)

Ограничение на применение 2-критерия серий: т > 20, п > 20; т и п несуще­ственно различаются. Если т и п существенно различаются, то следует восполь­зоваться комбинаторным методом (например, Монте Карло в программе 8Р88).

ПРИМЕР 9.8___________________________________________________________

Предположим, исследуется динамика научения в игровом задании. Исследователь предполагает частые повторы проигрышей в начале и выигрышей — в конце пос­ледовательности игр (предполагается проверка направленной гипотезы). Игроком сыграно 40 партий, из них проиграно 20, выиграно 20, число серий 15. К концу последовательности игр наблюдается преобладание выигрышей. Проверим гипо­тезу с применением ^-критерия серий.

Шаг 1. Формулируем Н₀: число серий соответствует случайному распределению выигрышей в последовательности проигрышей (альтернативная Н,: число серий достаточно мало, чтобы говорить о неслучайном преобладании выигрышей в конце последовательности игр). Принимаем а = 0,05.

Ш а г 2. Вычислим эмпирическое значение ^-критерия для т = 20; п = 20; Щ, = 15:

М_№= 1+ 2пт/(п + т) =21;

\2пт(2пт-п-т).... ₇ 15 + 0,5-21, _,

Ош = \---------- х------------ =3,12, А, =-------------------- = -1,/о.

^л1(п+т)²(п + т-\) 3,12

Ш а г 3. Определимр-уровень. Для этого воспользуемся таблицей стандартных нор­мальных вероятностей (приложение 1). При использовании ^-распределения для проверки направленной гипотезы/>-уровень равен площади Рпод нормальной кри­вой справа от +2_Э (слева от -2)- 2 — 1,76 соответствует площадь Р= 0,039. Следо­вательно, р < 0,04.

Ш а г 4. Принимаем статистическое решение и формулируем содержательный вы­вод. Отклоняем Н₀: число серий статистически значимо мало. Содержательный вы­вод: к концу последовательности игр статистически достоверно возрастает частота выигрышей (р < 0,04).

Отметим, что если бы проверялась ненаправленная гипотеза, то найденное значе­ние вероятности Р = 0,039 следовало бы умножить на 2: р < 2Р. Следовательно, р < 0,078, и Н₀ на уровне а = 0,05 не отклоняется.

Критерий серий применим для решения двух классов задач. Помимо ис­следования временной последовательности событий Хи У, или динамики из­менения количественного признака, метод может применяться и для провер-

¹ По Ллойду Э., Ледерману У., с. 131.

ки гипотез о различии между двумя выборками по уровню и изменчивости признака, измеренного в количественной шкале. В связи с этим применение метода требует решения проблемы преобразования исходных данных.

Проблема преобразования исходных данных. Как было отмечено, для приме­нения метода данные необходимо представить в виде одной бинарной пере­менной. В зависимости от задачи исследования и вида исходных данных это может быть сделано разными способами.

1. Если изучается динамика изменчивости количественного признака, то после упорядочивания значений признака в соответствии с временной после­довательностью выбирается один из способов перехода к бинарной шкале. Для метрических данных точкой деления (Сш рот!) обычно выступает среднее, а для ранговых данных — медиана. Значениям ниже точки деления присваива­ется 0, а значениям выше нее — 1. После такого преобразования возможно применение к переменной критерия серий.

2. Если изучается различие между выборками по уровню и (или) изменчи­вости количественного признака, то сначала объекты упорядочиваются по уровню выраженности изучаемой переменной. Затем объектам одной выбор­ки присваивается 0, а объектам другой — 1. Критерий серий применяется к полученной таким образом последовательности нулей и единиц. Преимуще­ство критерия серий, по сравнению с другими методами сравнения выборок, проявляется в том, что он позволяет выявить не только уровневые различия (в этом его чувствительность не очень высока), но и соотношение распреде­лений. Например, одно распределение может быть более компактным, чем другое.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: