СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Определение сферического движения.

Сферическим движением называется движение твердого тела имеющего одну неподвижную точку (рис.1.6). Описание такого движения имеет первостепенное значение при анализе работы гироскопов, кораблей, самолётов, снарядов, ракет и небесных тел. Тело, совершающее сферическое движение имеет три степени свободы.

Рис. 1. 6. Сферическое движение твердого тела (Углы Эйлера)

Тело, совершающего сферическое движение, привести в заданное положение можно с помощью трех конечных поворотов, называемых углами Эйлера (рис.1.6). Первый поворот произведём вокруг оси неподвижной системы координат угол прецессии . Второй поворот произведём вокруг линии узлов на угол нутации . Третий поворот осуществляется вокруг оси на угол собственного вращения . После третьего поворота тело и оси подвижной системы координат связанные с ним займут заданное положение. При движении тела в каждый момент времени углы Эйлера являются функциями времени:

Эти зависимости называются кинематическими уравнениями сферического движения.

Вектор, определяющий положение точки в неподвижной и подвижной системах отсчета, равен

,

а координаты точки связаны при помощи матрицы преобразования

где

Теорема Эйлера-Даламбера о конечном повороте

Любое перемещение твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно осуществить одним конечным поворотом вокруг оси, проходящей через эту точку.

Для чего нам нужна эта теорема? Чтобы ответить на следующий вопрос: можно ли бесконечно, малые углы поворотов, произведённых последовательно друг за другом, складывать по правилу параллелограмма (как векторы)?

Угловая скорость, угловое ускорение

Введём "вектор" малого поворота , равный по величине углу поворота и направленный по оси вращения в такую сторону, чтобы, глядя с его острия видеть вращение происходящим против часовой стрелки. Вектор малого перемещения при таком бесконечно малом вращении может быть найден по формуле

.

Произведём два последовательных поворота. После первого поворота на угол , вектор переместится в положение

.

После второго поворота на угол вектор переместится в положение

В силу малости и подчёркнутым слагаемым можно пренебречь как величиной более малого порядка, чем остальные компоненты формулы.

.

Но по теореме Эйлера-Даламбера суммарное движение можно записать в виде формулы описывающей один поворот на угол :

.

Сравнивая последние формулы между собой, получим

.

Т. е. бесконечно малые углы поворота можно считать векторами и складывать по правилу параллелограмма.

Введём определение угловой скорости и углового ускорения:

.

Угловое ускорение равно линейной скорости конца вектора угловой скорости .

Т. к. вектор может быть представлен в виде суммы двух или нескольких поворотов

Используя в качестве описанных углов углы Эйлера, получим важную формулу:

.

Скорость точки тела, участвующего в сферическом движении

Найдем скорость точки тела, участвующего в сферическом движении. Эта формула носит имя Эйлера.

Вычислим предел отношения малого перемещения точки к малому промежутку времени, в течение которого он происходил при :

.

Окончательно

где угловая скорость тела относительно мгновенной оси вращения.

Используя формулы аналитической геометрии, векторное произведение представим в виде

.

Раскрыв определитель, получим формулы Эйлера в неподвижной системе координат

Аналогично можно получить формулы Эйлера в подвижной системе координат, для чего нужно формально произвести в предыдущих соотношениях замену на , на , и т. д.

Мгновенная ось вращения

Мгновенная ось вращения — геометрическое место точек, скорость которых в данный момент времени равна нулю. Мгновенная ось вращения — ось бесконечно малого поворота тела, определяется из уравнения (рис.1.7):

где М — произвольная точка, лежащая на оси вращения.

Уравнения мгновенной оси в неподвижной системе координат можно записать в виде , или в подвижной системе координат

Рис. 1. 7. Скорость и ускорение точки при сферическом движении твердого тела

Перемещаясь в пространстве и внутри тела, Мгновенная ось опишет собой конические поверхности, которые называются соответственно неподвижным и подвижным аксоидами. Для получения уравнений этих поверхностей необходимо из уравнений мгновенной оси вращения исключить время.

Подвижный аксоид катится без проскальзывания по неподвижному. Данный вывод следует из равенства нулю скоростей точек мгновенной оси вращения, которая является в текущий момент общей для неподвижного и подвижного аксоидов.

Ускорение точки тела

Ускорение произвольной точки тела может быть определено по формуле Ривальса:

где — вращательное ускорение, направленное перпендикулярно к векторам и (рис.1.7);

— угловое ускорение тела, совершающего сферическое движение. Вектор углового ускорения направлен вдоль мгновенной оси ускорений, которая определяется из условия равенства нулю вращательного ускорения произвольной точки оси ускорений;

— осестремительное ускорение, перпендикулярное векторам и (рис.1.7).

СОСТАВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Механические явления по–разному фиксируются в различных системах отсчёта. Наблюдатели, связанные с разными системами координат, по–разному воспринимают одно и то же объективное механическое явление. Главной задачей кинематики составного движения является установление связи между кинематическими характеристиками, полученными в различных системах отсчёта. Одна из этих систем условно называется неподвижной системой. Вторая — подвижной системой отсчета (рис.1.8).

Движение относительно условно неподвижной системы координат называется абсолютным. Движение точки относительно системы координат , движущейся, в свою очередь, относительно условно неподвижной (рис.1.8), называется относительным. Переносным движением называется движение подвижной системы . Переносным движением точки М называется движение точки , принадлежащей подвижной системе координат и совпадающей в данный момент времени с точкой . Различаются абсолютные, относительные, переносные траектории, скорости и ускорения точки .

Рис. 1. 8. Составное движение точки

Абсолютной или относительной траекторией, скоростью и ускорением называется траектория, скорость и ускорение в абсолютном или относительном движении.

Переносной траекторией точки называют элементарный отрезок траектории точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает исследуемая точка. Переносной скоростью и ускорением точки называется скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент времени совпадает исследуемая точка.

Относительные скорость и ускорение будем обозначать и . Индекс "r" — начальная буква французского слова relative (относительный).

Переносные скорость и ускорение будем обозначать и . Индекс "е" — от французского слова d'entainement (переносный).

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: