Ускорение точки при векторном задании движения.

Пусть за время скорость изменилась на величину (рис.1.4). Тогда средним за это время ускорением имеет смысл назвать величину . Предел этого отношения при характеризует мгновенную скорость изменения скорости, т. е. ускорение

.

Таким образом, ускорение равно производной по времени от вектора скорости.

Рис. 1. 4. Ускорение точки

Ускорение точки при координатном способе задания движения

В том случае заданы координаты как функции от времени

Так как скорость можно разложить на составляющие вдоль координатных осей, то после дифференцирования по времени получим:

Модуль вектора ускорения и его направляющие косинусы можно вычислить по формулам:

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Известна зависимость дуговой координаты S от времени . Скорость точки определяется формулой:

.

Найдём ускорение, продифференцировав это соотношение по времени. Учтём при этом, что единичный вектор касательной меняет направление при движении точки, и он может быть рассмотрен как сложная векторная функция . Тогда

где — называется касательным (тангенциальным) ускорением, — называется нормальным ускорением.

Т. к. , модуль ускорения можно найти по теореме Пифагора:

Определение проекций ускорения на естественные оси при координатном способе задания движения

Из изложенного выше следует, что вектор ускорения располагается в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории. Проекции вектора ускорения на естественные оси равны:

.

Касательное ускорение можно определить следующим образом. Представим единичный вектор касательной в виде . Тогда

Кроме того, касательное ускорение можно определить, продифференцировав по времени выражение , если движение задано координатным способом.

Полное ускорение определяется формулой: .

Нормальная составляющая найдётся из формулы: , а радиус кривизны: .

Классификация движений точки по ускорению

Анализируя вышесказанное, можно сделать следующие выводы:

· если , то точка движется прямолинейно;

· если , то точка движется равномерно по криволинейной траектории;

· если или , то точка движется ускоренно в сторону возрастания или убывания дуговой координаты соответственно;

· если или , то точка движется замедленно;

· если , то точка движется по окружности.

ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Поступательное движение тела

Поступательным относительно данной системы отсчёта движением называется такое движение, при котором любая прямая, взятая в этом теле, остаётся параллельной самой себе во все время движения. Примерами поступательного движения являются: движение кабины колеса обозрения, педали велосипеда, кузова автомобиля на прямолинейном участке пути.

При поступательном движении все точки тела имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения.

Возьмём в теле две произвольные точки А и В и соединим их прямолинейным отрезком. Согласно определению поступательного движения, отрезок АВ должен двигаться параллельно самому себе. Построим радиус-векторы точек А и В (см. рис.). Из рисунка видно, что . Т. к. , то траектории точек А и В совпадут при наложении их друг на друга. Дифференцируя связь между радиусами-векторами точек А и В по времени, находим

, т. к.

.

Отсюда следует, что поступательное движение тела определено, если известно движение хотя бы одной точки этого тела. Эту точку обычно называют полюсом. Взяв проекции векторных соотношений, получим скалярные уравнения поступательного движения.

Вращательное движение тела

Движение тела относительно данной системы отсчёта называется вращательным, если две его точки неподвижны относительно этой системы отсчёта. Прямая, соединяющая эти точки, называется осью вращения. Положение тела при вращении определяется углом поворота между неподвижной плоскостью (например ) и плоскостью , жёстко связанной с телом (рис.1.5). Уравнение вращательного движения имеют вид зависимости угла поворота от времени

.

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота, называется угловой скоростью, которая характеризуется не только величиной, но и направлением вращения. Угловая скорость равна производной от угла поворота по времени:

.

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости и равно

.

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения. Направления и совпадают, если совпадают знаки первой и второй производных от угла вращения по времени.

Все точки вращающегося тела описывают при движении окружности с радиусами , равными расстояниям от соответствующих точек до оси вращения и движение точки можно считать заданным естественным способом: .

Скорость точки может быть определена по формуле Эйлера (рис.1.5).

, .

Ускорение точки тела при вращательном движении равно

,

где , — касательное ускорение точки; а , — нормальное ускорение.

Часто составляющую называют вращательным ускорением, составляющую — центростремительным.

Модуль полного ускорения определится формулой .

Угол наклона полного ускорения к направлению главной нормали не зависит от выбора точки.

Рис. 1. 5. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Из приведённых формул видно, что:

· скорость и ускорение точки тела при вращательном движении пропорциональны расстояниям до оси вращения,

· скорость точки перпендикулярна к радиусу окружности;

· ускорение точки отклонено от радиуса окружности на угол не зависящего от выбора самой точки.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: