Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ





Основные понятия и определения

Cвязи и их классификация

Если на движение точки не наложено никаких ограничений, то такая материальная точка называется свободной. Материальная система, состоящая из таких точек, может совершать любые движения в пространстве. Если же на движение некоторых (или всех) точек системы наложены какие–либо ограничения (связи), то система может двигаться лишь в определённых направлениях и называется несвободной.

Ограничения, накладываемые на перемещения точек системы в пространстве, называются связями. От их вида зависит подход к изучению поведения механической системы. Конструктивно связи представляют собой различные элементы: подшипники, нити, стержни, направляющие рельсы и т. п.

Математически связи записываются в виде уравнений, которые называются уравнениями связей.

Связи, не меняющиеся с течением времени, называются стационарными или склерономными. В противном случае это нестационарные или реономные связи.

Голономные (геометрические) связи накладывают ограничения на положения точек системы. Уравнения этих связей содержат только координаты точек. Неголономные (кинематические) связи накладывают ограничения на скорости точек системы. В уравнения этих связей кроме производных от координат по времени могут входить и сами координаты. Это неинтегрируемые соотношения между координатами и их производными имеют вид

.

Возможные (виртуальные) перемещения

Возможным перемещением точки называют всякое мыслимое, бесконечно малое перемещение, допускаемое связями, наложенными на точку в данный момент времени, без нарушения этих связей.

Возможное перемещение точки является вариацией радиус вектора и обозначается как , а действительное — является дифференциалом векторной функции , определяющей закон движения точки. Правила варьирования функций внешне подобны правилам дифференцирования.



.

Обобщенные координаты. Число степеней свободы системы

Число степеней свободы материальной системы равно числу независимых вариаций переменных величин, однозначно определяющих положение механической системы в пространстве; эти величины, в свою очередь, называются обобщёнными координатами. При изучении голономных систем число обобщённых координат равно числу степеней свободы механической системы. В качестве независимых координат могут быть выбраны любые параметры: углы, перемещения каких-либо точек системы и т. д. Обобщённые координаты обозначаются символами . В частности, все декартовые координаты точек можно выразить через обобщенные координаты

Обобщёнными скоростями называются первые производные от обобщённых координат по времени . Обобщёнными ускорениями — .

Центр масс

Центр масс механической системы — геометрическая точка, радиус вектор которой определяется по формуле

,

где — масса механической системы.

Для сплошного твердого тела центр масс определится заменой суммирования интегрированием

.

Центр масс называют ещё центром инерции.

Моменты инерции твердых тел

Для исследования вращательного движения вводится понятие моментов инерции. Как масса является мерой поступательного движения механической системы, так моменты инерции — мерой вращательного движения. Момент инерции механической системы относительно оси вычисляется по формуле

,

где — расстояние от точки массой до оси .

При вычислении моментов инерции сплошных твердых тел сумму заменяют интегралом

.

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции относительно оси . Момент инерции относительно оси в этом случае определяется по формуле

.

При решении конкретных задач очень полезна бывает теорема Штейнера, позволяющая найти момент инерции тела относительно оси , если известна величина момента инерции того же тела относительно оси проходящей через центр масс и расстояние от новой оси до оси, идущей параллельно ей через центр масс

.

Встречаются такие задачи, в которых момент инерции относительно оси вращения неизвестен, но известны моменты инерции этого тела относительно других осей, которые можно связать с некоторой координатной системой (например: декартовых , , в случае описания вращательного движения ротора с неточно установленной осью вращения). В этом случае момент инерции, относительно оси , составляющей с декартовой системой координат углы , , можно определить по формуле

,

где — единичный вектор, характеризующий направление оси относительно декартовой системы координат;

— углы между осью и координатными осями .

Количество движения

Количество движения — векторная мера механического движения, характеризующая переход механического движения одного материального объекта в механическое движение другого объекта. Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведений массы точки на ее скорость . Для механической системы геометрическая сумма количеств движения ее точек называется главным вектором количества движения

.

Главный вектор количества движения механической системы является свободным вектором, не имеющим определённой точки приложения. Величину и направление главного вектора количества движения механической системы можно определить через скорость центра масс по формуле

.

При сложном движении тела вектор , характеризует только поступательное движение тела вместе с центром масс и не может характеризовать вращательное движение вокруг центра масс.

Кинетический момент

Вращательное движение системы вокруг ее центра масс характеризует другая мера механического движения — кинетический момент.

Кинетическим моментом системы относительно неподвижного центра называется геометрическая сумма моментов количества движения всех точек этой системы, взятых относительно того же центра

.

Если материальная система совершает произвольное движение в пространстве, то такое движение можно представить в виде суммы поступательного движения вместе с центром масс и относительного движения вокруг центра масс (рис. 3. 3). Кинетический момент механической системы в этом случае можно представить в виде

.

Вектор называется кинетическим моментом системы в относительном по отношению к центру масс движении.

Рис. 3. 3. Разложение сложного движения на переносное и относительное.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси (например ), кинетический момент тела будет равен произведению угловой скорости на момент инерции тела, вычисленный относительно той же оси

,

где — момент инерции твердого тела относительно оси вращения.

Знак кинетического момента совпадает со знаком угловой скорости.

Кинетическая энергия

Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергии всех точек системы

.

Это основная скалярная мера механического движения.

Кинетическая энергия механической системы в общем случае произвольного движения (рис. 3. 3) равна сумме кинетической энергии в поступательном движении системы со скоростью центра масс и кинетической энергии этой системы в относительном движении, наблюдаемом из подвижной системы отсчёта (поступательно движущейся вместе с центром масс) — теорема Кенига

.

· если тело движется поступательно, то скорости всех его точек одинаковы и равны скорости центра масс, поэтому

.

· при вращательном движении твёрдого тела вокруг неподвижной оси , скорость точек определяется по формуле . Поэтому

.

Здесь — момент инерции твёрдого тела относительно оси

· если тело участвует в плоскопараллельном движении, то его кинетическую энергию можно определить по теореме Кёнига

,

где — угловая скорость при вращении тела вокруг центра масс.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.