|
|
Вынужденные колебания системыПусть на некоторую точку механической системы с наложенными стационарными голономными связями, кроме упругой силы и силы сопротивления пропорциональной первой степени скорости, действует периодическое возмущение. Характер такого возмущения может иметь разные причины. Наиболее часто встречаются случаи силового и кинематического возмущения. В качестве примера рассмотрим динамическую модель машины, установленной на фундаменте (рис. 3. 12). Машина массой m является амортизируемым объектом, а фундамент – основанием. Амортизатор, помещенный между объектом и основанием, имеет приведённый коэффициент жёсткости При силовом возмущении уравнение Лагранжа II рода для такой системы можно записать в виде
где обобщенная неконсервативная сила
а Ошибка! Закладка не определена.Ошибка! Закладка не определена. Рис. 3. 12 Динамическая модель амортизируемой машины При кинематическом возмущении
где обобщенная сила инерции
а
Подставляя выражения для кинетической, потенциальной энергии и диссипативной функции в уравнение Лагранжа, окончательно получим дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы с учётом сил сопротивления и возмущающей силы
где Данное уравнение описывает колебательный процесс механической системы с одной степенью свободы как в случае силового, так и кинематического возбуждения. Однако механический смысл коэффициентов правой части различен. Существенное различие этих случаев состоит в том, что при силовом возбуждении Общее решение неоднородного дифференциального уравнения для случая малого сопротивления
где
Здесь
Таким образом, вынужденные колебания представляют собой сложение двух колебательных процессов: собственных колебаний и колебаний от действия возмущающей силы. Типичный график вынужденных колебаний при наличии сопротивления изображен на рис. 3. 13. Ошибка! Закладка не определена. Рис. 3. 13 Вынужденные колебания при наличии сопротивления Следует отметить, что учет сопротивления движению приводит к тому что, начиная с некоторого момента времени При отсутствии сопротивления
где
Рис. 3. 14 Вынужденные незатухающие колебания. Типичный график вынужденных колебаний при отсутствии сопротивления изображен на рис. 3. 14.   ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
и приведённый коэффициент демпфирования 
. На рис. 3. 12 (а) представлен случай силового возмущения, а на рис. 3. 12 (б) — случай кинематического возмущения.
,
определяется выражением
,
, 
, 
— амплитуда, частота и фаза возмущающей силы.
, где 
— закон обобщенного перемещения основания, 
— амплитуда, частота и фаза кинематического возбуждения, уравнение Лагранжа II рода примет вид
,
определяется выражением, аналогичным выражению для неконсервативной силы
,
.
,
, 
— относительная амплитуда возмущения при силовом или кинематическом возбуждении соответственно.
не зависит от частоты возмущения, а при кинематическом возбуждении величина 
, имеет вид
,
— амплитуда вынужденных колебаний;
— сдвиг фазы вынужденных колебаний по сравнению с фазой возмущающей силы, а выражения для коэффициентов 
, 
, 
и 
имеют вид:
— коэффициент расстройки или относительная частота возмущающей силы; 
— относительный коэффициент затухания (демпфирования); 
— при силовом возмущении (
в данном случае — величина равная статическому отклонению системы под действием постоянной возмущающей силы, модуль которой равен 
), 
— при кинематическом возмущении. Константы 
и 
определяются из начальных условий:
, называемого временем установления, колебательное движение определяется только действием возмущающей силы и движение называется установившимися колебаниями.
закон колебательного движения, при выполнении условия 
, будет иметь вид (рис. 3. 14)
,
, а константы A0 и a0 определяются из начальных условий:
.