Сферическое движение твердого тела

Твердое тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы. Классическими параметрами, определяющими положение этого тела в пространстве, являются три угла Эйлера: . Если известны как функции времени, то известно и движение твердого тела с одной неподвижной точкой (сферическое движение) (рис. 3.6).

Для составления дифференциальных уравнений сферического движения запишем теорему об изменении кинетического момента в дифференциальной форме

,

где — кинетический момент твердого тела, совершающего сферическое движение относительно неподвижной точки ;

— главный момент внешних сил относительно неподвижного центра .

Чтобы записать соответствующие формулы в наиболее простом виде возьмем в качестве координатных – подвижные главные оси инерции жестко связанные с телом. Тогда проекции кинетического момента на оси координат можно записать в виде

Уравнения движения (динамические уравнения Эйлера) в этом случае примут вид:

где – моменты инерции тела относительно его осей инерции в точке О;

– главные моменты внешних сил, приложенных к телу, относительно этих же осей.

К динамическим уравнениям Эйлера следует присоединить кинематические уравнения Эйлера:

которые выражают проекции вектора угловой скорости вращения твердого тела на оси подвижной системы координат, скрепленные с телом через углы Эйлера и их производные по времени.

Рис. 3. 6 Сферическое движение твердого тела.

Динамические и кинематические уравнения Эйлера образуют систему шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка; интегрирование этой системы представляет сложную математическую задачу. Для интегрирования этих уравнений при решении конкретных задач обычно используют те или иные приближенные математические методы.

Условия интегрируемости уравнений движения

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, в трех случаях существует система дифференциальных уравнений, из которых углы Эйлера определяются в квадратурах, т. е. путем вычисления интегралов. Эти частные случаи называют условиями интегрируемости.

Случай Эйлера

Тело имеет произвольную форму, но закреплено в его центре масс, т. е. . Углы Эйлера выражаются в этом случае через специальные эллиптические функции.

Случай Лагранжа

Тело имеет ось симметрии, например . В силу симметрии и эллипсоид инерции для закрепленной точки будет эллипсоидом вращения. Закрепленная точка и центр масс расположены на оси симметрии. В этом случае могут быть указаны шесть независимых первых интегралов, из которых углы Эйлера вычисляются в квадратурах.

Случай Ковалевской

В этом случае . Закрепленная точка располагается на оси симметрии , а центр масс находится в экваториальной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки тела.

Свободное движение твердого тела

Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Движение этого тела можно разложить на переносное поступательное вместе с полюсом, в качестве которого обычно выбирают центр масс , и относительное движение вокруг центра масс (рис. 3.7).

Рис. 3. 7 Свободное движение твердого тела.

Для составления дифференциальных уравнений свободного движения применим теорему о движения центра масс

и теорему об изменении кинетического момента в относительном движении по отношению к центру масс

.

Совмещая оси подвижной системы координат с главными осями инерции и записывая данные теоремы в проекциях на оси подвижной и неподвижной системы, получим шесть дифференциальных уравнений движения свободного твердого тела:

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

Развитие современной техники ставит перед инженерами самые разнообразные задачи, связанные с расчетом различных сооружений, с проектированием, производством и эксплуатацией всевозможных машин и механизмов.

Исследование поведения любой механической системы всегда начинается с выбора физической модели. Переходя от реальной системы к ее физической модели обычно упрощают систему, пренебрегая несущественными для данной задачи факторами. Так, исследуя систему, состоящую из груза, подвешенного на нити, пренебрегают размерами груза, массой и податливостью нити, сопротивлением среды, трением в точке подвеса и т.д.; при этом получается известная физическая модель — математический маятник.

Ограниченность физических моделей играет существенную роль при исследовании колебательных явлений в механических системах.

Физические модели, которые описываются системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами принято называть линейными.

Выделение линейных моделей в особый класс вызывается рядом причин:

· С помощью линейных моделей исследуется широкий круг явлений, происходящих в различных механических системах;

· Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами является, с математической точки зрения, элементарной задачей и поэтому инженер–исследователь стремится по возможности описать поведение системы с помощью линейной модели.

Основные понятия и определения

Колебания системы считаются малыми, если отклонения и скорости можно рассматривать как величины первого порядка малости по сравнению с характерными размерами и скоростями точек системы.

Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Равновесие системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным (рис. 3. 8).

Рис. 3. 8 Различные виды равновесия

Равновесное положение системы является устойчивым, если система, равновесие которой нарушено весьма малым начальным отклонением и (или) малой начальной скоростью , совершает движение около этого положения.

Критерий устойчивости положения равновесия консервативных систем с голономными и стационарными связями устанавливается по виду зависимости потенциальной энергии системы от обобщённых координат. Для консервативной системы c степенями свободы, уравнения равновесия имеют вид

, т.е. , где .

Сами уравнения равновесия не дают возможности оценить характер устойчивости или неустойчивости положения равновесия. Из них лишь следует, что положению равновесия соответствует экстремальное значение потенциальной энергии.

Условие устойчивости положения равновесия (достаточное) устанавливается теоремой Лагранжа – Дирихле:

если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то это положение устойчиво.

Условием минимума любой функции является положительность второй производной от неё, при равенстве первой производной нулю. Поэтому

.

Если же вторая производная тоже равна нулю, то для оценки устойчивости необходимо вычислить последовательные производные

,

и если первая не равная нулю производная имеет чётный порядок и при этом положительна, то потенциальная энергия при имеет минимум, а следовательно, это положение равновесия системы устойчиво. Если же эта производная имеет нечётный порядок, то при нет ни максимума, ни минимума. Оценка состояния равновесия системы в положении, когда она не имеет минимума потенциальной энергии, приводится в специальных теоремах А. М. Ляпунова.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: