Глава 9.ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНЫХ УСИЛИЙ, РАБОТ ДЕФОРМАЦИИ И АНАЛИЗ ПРЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

Глава 9.ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНЫХ УСИЛИЙ, РАБОТ ДЕФОРМАЦИИ И АНАЛИЗ ПРЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

Операция осадки

Метод совместного решения приближенных уравнений равновесия и условий пластичности

Этот метод в настоящее время широко применяют для рас­чета усилий и расхода энергии при обработке давлением. Метод основан на следующих положениях [2]:

1. Напряженно-деформированное состояние рассматривается либо осесимметричным, либо плоским (плоская деформация или плоское напряженное состояние). Поэтому уравнение пла­стичности принимают в форме, соответствующей указанным ви­дам состояния: (6.15) (6.17) для плоской деформации, (6.14) для плоского напряженного состояния, (6.18)или(6.19)для осесимметричного.

При деформации тела сложной формы его условно разделя­ют на объемы, напряженно-деформированное состояние которых можно приближенно принимать плоским или осесимметричным.

2. Дифференциальные уравнения равновесия для плоской за­дачи (8.1) упрощаются принятием допущения, что нормаль­ные напряжения зависят только от одной координаты. Благода­ря этому остается одно дифференциальное уравнение и в нем вместо частных производных можно принять обыкновенные.

Это допущение исключает возможность определения напря­жения в каждой точке деформируемого тела в отличие от методов совместного решения точных уравнений равновесия с урав­нением пластичности, а также линий скольжения и характери­стик.

Рис. 9.1. Схема к определению усилия осадки

Методом решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности определяют только напряжения на кон­такте тела с инструментом. Для определения потребного при деформации усилия этого достаточно и нет необходимости определять напряжения в каждой точке по объему деформируе­мого тела на примере осадки полосы шириной 2b, высотой 2h, неограниченной длины меж­ду плоскими шероховатыми плитами по Е. П. Унксову (18, 59, 64] (рис.9.1). На­чало координат расположим на середине ширины и высоты образца. Так как дли­на образца (размер перпендикулярный плоскости чертежа) неограниченно вели­ка, деформация будет плоской. Вследст­вие симметрии полосы относительно оси z определим напряжения для правого се­чения.

Выделим в теле бесконечно малый объём плоскостями, параллельными оси z на расстоянии х и х + dx от начала координат; длину этого объема примем равной единице. На выделенный объем действуют нормальные напряжения и касательное напряжение

Согласно второму допущению принимаем, что и не за­висят от координаты z, т. е. постоянны по высоте и зависят толь­ко от координаты х. Тогда второе дифференциальное уравнение равновесия (8.1) тождественно обращается в нуль.

Касательное напряжение , переменное по ширине и высо­те, на контактной поверхности равно т_к — касательному напря­жению, обусловленному трением тела об инструмент. Величина уменьшается при удалении от контактной поверхности и вследствие симметрии на средине высоты полосы равна нулю. Примем, что зависит от высоты полосы линейно, т. е.

Тогда

Подставив значение в первое уравнение равновесия (8.1), получаем

(9.1)

Это уравнение можно получить непосредственно из условия равновесия выделенного элемента (см. рис.9.1). Сумма проек­ций всех сил, действующих на элементы, на ось х равна нулю, т. е.

.

Отсюда

.

Для решения этого дифференциального уравнения относи­тельно необходимо т_к выразить или через , или через х, или принять независящим от х и . Рассмотрим эти случаи:

1. Так как касательное напряжение на контактной поверхно­сти обусловлено трением металла об инструмент, естественно его определить на основании закона Кулона — Амонтона:

(9.2)

здесь и имеют одинаковый знак.

Уравнение пластичности для плоского деформированного состояния (6.15) для нашего случая представим в виде:

(9.3)

Разность нормальных напряжений зависит от касательного на­пряжения.

Если касательное контактное напряжение не зависит от нор­мальных напряжений, то разность нормальных напряжений — величина постоянная. В частных случаях, когда и равны нулю (трение отсутствует), и являются главными напряже­ниями и выражение (9.3) превращается в уравнение:

Когда т_к достигнет максимальной величины k, уравнение (9.3)

получит вид:

(9.4)

Дифференцируя уравнение (9.4), получаем уравне­ние пластичности в дифференциальной форме:

, (9.5)

точное при указанных выше условиях постоянства или независимости от и .

Е. П. Унксов показал [24, 20, 5], что если т_к зависит от нор­мального напряжения , как в нашем случае, при изменении т_к от нуля до 0,7 k для приближенных расчетов можно пользовать­ся уравнением пластичности в форме (6.17), а при 0,7 k < k — в форме (9.3). Тогда выражение (9.5) является при­ближенным.

Подставив выражения (9.2) и (9.5) в уравнение (9.1), по­лучаем

(9.6)

После разделения переменных и интегрирования находим

.

Отсюда

Постоянную интегрирования определим из граничного усло­вия (при х = b,

Следовательно,

(9.7)

На рис. 9.2представлены эпюры , построенные по формуле (9.7), и

. (9.8)

По формуле (9.7) можно определить в любой точке контактной поверхности.

Суммируя нормальные напряжения по контактной поверхности, можно определить полное давление на единицу длины полосы:

(9.9)

Разделив полное усилие Р на контактную площадь , получаем удельное усилие

(9.10)

.

Из анализа уравнения (9.7) и эпюр напряжений (рис.9.2) можно сделать вывод, что напряжения трения на оси полосы скачкообразно переходят от положительных

Рис. 9.2. Эпюры контактных нормальных и касательных

напряжений при

значений к отрицательным и эпюра на оси образца имеет резко выраженный пик; как будет показано дальше, это не подтверждается экспериментально. Из эпюр также видно, что контактное напряжение трения (как и ) растет от края полосы к оси по показательной кри­вой с увеличивающейся, интенсивностью и величина касательного напряжения ничем не ограничена; ранее было установлено, что касательное напряжение не может быть больше

Из рассмотрения выражений (9.7), (9.9) и (9.10) видно, что величины нормального напряжения, полного и удельного усилия зависят от рода материала и его физического состояния (температуры, степени и скорости деформации, определяемых

величиной ) и от параметра , отражающего влияние напряженного состояния, зависящего от соотношения размеров тела и коэффициента трения.

Из формулы (9.10) видно, что увеличение параметра уменьшает коэффициент перед скобками и увеличивает первое слагаемое в скобках. Так как в последнем случае этот параметр входит как показатель степени, увеличение повышает удельное давление. Чем больше коэффициент трения и отношение ширины к толщине, тем больше удельное и полное давление. Качественно это подтверждается практикой. Однако при больших значениях коэффициента трения и большом отношении ширины к толщине полосы расчет по формулам (9.9) и (9.10) дает результаты, завышенные в несколько раз по сравнению с фактическими.

2. Принимаем допущение, что контактное касательное напряжение постоянно, согласно Зибелю, оно пропорционально т. е.

(9.11)

Подставляя в уравнение (9.1) это значение и заменяя на , получаем

(9.12)

Отсюда

Рис.9.3.Эпюры контактных нормальных и касательных

напряжений при

Постоянную интегрирования определяем при и

Следовательно,

(9.13)

На рис.9.3 представлены эпюры контактного касательного напряжения по уравнению (9.11) и нормального напряжения по уравнению (9.13).

Суммируя нормальные напряжения по контактной поверхно­сти, находим полное давление на единицу длины полосы

(9.14)

и удельное усилие

(9.15)

Из рис. 9.3 и уравнения (9.13) видно, что в отличие от рис. 9.2 в данном случае при постоянстве контактного касательного напряжения нормальное напряжение от края полосы к середине изменяется линейно и растет менее интенсивно.. Кроме того, имеется скачкообразное изменение и пик на оси полосы, хотя и менее резко выраженные, чем в предыдущем случае. Из выражений (9.13), (9.14) и (9.15) видно, что и в данном случае усилие зависит от и параметра , но в отличие от первого случая влияние этого параметра значительно слабее. При малых значениях коэффициента трения и малом отношении (высокие и узкие полосы) формула (9.15) дает заниженные значения удельного давления по сравнению с фактическими.

3. Допустим, что контактные касательные напряжения не имеют скачкообразного изменения при переходе через середину полосы и на контактной поверхности изменяется по линейному закону

, (9.16)

где — значение контактного напряжения на краю полосы.

Из выражения (9.16) видно, что при х = 0 значения = 0, при х = b (на краю полосы) значение = — .

Подставив по выражению (9.16) в дифференциальное урав­нение (9.1), получаем

(9.17)

После интегрирования находим

.

Постоянную интегрирования С определяем при х = b и :

Отсюда

(9.18)

Полное давление на единицу длины полосы

(9.19)

и удельное усилие

. (9.20)

Если принять , то получаем

(9.21)

На рис. 9.4 представлена эпюра контактного касательного и нормального напряжений по ширине полосы при .

Из рис. 9.4 и уравнения (9.18) видно, что нормальное напряжение в этом случае изменяется по параболе и растет от края к середине ширины с меньшей ин­тенсивностью, чем в первых двух рассмотренных случаях; пик на оси z отсутствует.

Рис.9.4. Эпюры контактных нормальных и касательных

напряжений при

Из формулы (9.21) видно, что и в этом случае удельное давление зависят от и параметра , однако влияние последнего слабее, чем в первых двух случаях.

Имеются экспериментальные дан­ные по определению фактической формы эпюр нормальных и касательных напряжений на поверхности контакта деформируемого металла с инструментом в различных процессах обработки давле­нием (ковка, прокатка, прессование).

Применительно к рассматриваемому процессу осадки Е. П. Унксов [24, 26] определял эпюры напряжений различными методами и установил, что в широком диапазоне изменения коэффициентов трения и отношения ширины полосы к толщине форма эпюр имеет куполообразный вид без резко выраженно­го пика на оси полосы. Касательное напряжение на оси z плавно переходит через нуль.

В общем случае эпюры нормальных и касательных напря­жений состоят из трех участков (рис.9.5). В I участке и растут от точек A и а с повышающейся интенсивностью по кри­вой, близкой к показательной, до точек В и . Во II участке сохраняет постоянную величину, a растет по прямой до точек С и с. В III участке изменяется по наклонной прямой, проходя через нуль, а изменяется по параболе, имея максимум на оси полосы.

На основании этого можно сделать вывод, что в периферий­ном участке I металл скользит по инструменту, контактное ка­сательное напряжение является напряжением трения скольже­ния и подчиняется закону Кулона — Амонтона (напряжение тре­ния равно произведению коэффициента трения на нормальное давление). Это отвечает первому допущению из рассмотренных выше при решении

Рис.9.5.Экспериментальные эпюры контактных напряжений при плоской

осадке свинцовых об­разцов (Е. П. Унксов)

упрощенного дифференциального уравнения равновесия (9.1).

Изменение нормального напряжения описывается уравне­нием (9.7), а изменение касательного контактного напряже­ния— уравнением (9.8).

Однако увеличение абсолютной величины с уменьшением х, как указано выше, может происходить до значения .Приравнивая это выражение и выражение (9.2), получаем

Отсюда

(9.22)

После того как достигнет значения , a значения , рост касательного напряжения прекращается и оно принимает постоянное значение

= ; участок I скольже­ния переходит в участок II торможения, в котором равновероят­но скольжение металла по инструменту и сдвиги внутри металла по плоскостям, параллельным контактной плоскости.

Абсциссу границы участков торможения и скольжения можно определить, приравнивая

правые части выражений (9.7) и (9.22):

Отсюда

и

Так как коэффициент трения 0,5, < 0.

Обозначая

= , (9.23)

получаем

(9.24)

Значения зависят от коэффициента трения :

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

46 16,1 8,04 4,6 2,78 1,70 1,02 0,56 0,24 0

Протяженность зоны скольжения от точки до края полосы выражается равенством

. (9.25)

Нормальное напряжение в зоне скольжения изменяется от — на краю полосы до

Так как в зоне торможения контактное касательное напряжение постоянно ,

дифференциальное уравнение равновесия (9.1) имеет вид:

и

Постоянную интегрирования С определяем при , т. е. на границе зон скольжения и

торможения согласно выражению (9.22) :

Отсюда

(9.26)

Как указано выше, экспериментами установлено снижение контактных касательных напряжений вблизи вертикальной оси симметрии, где скольжение металла по инструменту отсутст­вует.

Участок III является зоной прилипания. Экспериментально установлено, что на границу этой зоны можно приближенно принять абсциссу, равную толщине образца, т. е.

(9.27)

Следовательно, зона торможения распространяется от до

Нормальное напряжение во II участке изменяется от – на границе с участком скольжения до

на границе с участком прилипания.

В зоне прилипания(III участок) принимаем линейную зависимость от абсциссы согласно выражению(9.16), причем кон­тактное касательное напряжение на границе с участком тормо­жения при равно . Тогда

(9.28)

Подставив выражение (9.28) в дифференциальное уравнение равновесия (9.1), получаем:

После интегрирования

Постоянную интегрирования С определяем при (на границе участков торможения и прилипания) согласно выражению (9.26):

и

Поэтому

(9.29)

На рис.9.6 представлены эпюры контактных и нормальных напряжений для трех участков (скольжение, торможение и при­липание), построенные по приведенным выше формулам.

Теоретический анализ объясняет форму экспериментальных эпюр контактных касательных и нормальных напряжений при осадке полосы. Эпюры состоят в общем случае из трех участков с различной закономерностью изменения касательных и нор­мальных напряжений. В I участке (участок скольжения) касательные напряжения равны произведению коэффициента трения на нормальное давление; в этом участке касательные и нормальные напряжения растут по показательной кривой. Во втором участке (участок торможения) касательные напряжения трения постоянны, максимальны и равны ; нормальные напряжения растут по прямой.

В III участке (участок прилипания) касательные напряжения уменьшаются линейно до нуля на вертикальной оси полосы; нормальные напряжения изменяются по параболе.

Протяженность участков зависит от соотношения ширины по­лосы к ее толщине и от величины коэффициента трения. Выше было принято, что при значении касательные контактные напряжения уменьшаются независимо от величины коэффициента трения. Следовательно, при ширине полосы

(9.30)

участки II и I отсутствуют, вся контактная поверхность является зоной прилипания.

Рис. 9.6.Общий вид эпюр контактных нор­мальных и касательных напряжений при осадке: 1–– [ формула– (9.29)] 2–– [ формула–(9.26) 3–– [ формула–(9.7) 4–– [ формула–(9.28) 5–– 6––

При осадке полосы, когда , протяженность участков I и II зависит от величины коэффициента трения и отношения ширины к толщине.

При уменьшении коэффициента трения уменьшается интенсивность роста и на участке I (зона скольжения) в соответствии с уравнениями (9.8) и (9.7); протяженность зоны скольжения растет согласно уравнениям (9.23) и (9.25). Так как протяженность зоны прилипания при этом независимо от величины коэффициента трения определяется толщиной полосы, рост зоны скольжения возможен только за счет уменьшения протяженности зоны торможения. При некотором значении коэффициента трения зона торможения исчезнет, и на контактной по­верхности будут только два участка I и III (зоны скольжения и прилипания).

Зона торможения уменьшается также с уменьшением ширины полосы при данном значении коэффициента трения и толщины полосы, так как протяженность зоны скольжения () и зоны прилипания () от ширины не зависит и сохраняет значение при ее изменении. Зона торможения уменьшается также с увеличением толщи­ны полосы при данных значениях коэффициента трения и ширины полосы. В этом случае уменьшение зоны торможения происходит за счет роста зоны прилипания при сохранении протяженности зоны скольжения.

Таким образом, отсутствие зоны торможения определяется соотношением

размеров (ширины и толщины) полосы и коэффициентом трения.

В момент исчезновения зоны торможения границы между зо­нами прилипания и

торможения и между зонами торможения и скольжения сольются, тогда

.

Подставив значение из выражения (9.24) и из выражения (9.27), получаем

Отсюда

(9.31)

При эпюра контактных напряжений состоит из трех участков, а при

и с учетом выражения (9.30) —из двух (участки прилипания и скольжения).

В случае трех или двух участков принимают, что коэффициент трения

0 < <0,5.

При значении коэффициента трения скольжение не происходит, I участок

исчезает и эпюра состоит из участков III и II (участки прилипания и торможения),

что следует из выражений (9.23) и (9.24) при f = 0,5, In 2 = 0, = b.

Таким образом, в зависимости от соотношения размеров се­чения полосы и величин

коэффициентов трения при осадке полосы возможны четыре вида эпюр:

1) эпюра из трех участков I—III при

и ;

2) эпюра из одного участка III при

и ;

3) эпюра из двух участков I и III при

и ;

4) эпюра из двух участков II и III при

и

Зная распределение нормальных напряжений на контактной поверхности, можно определить полное усилие, интегрируя выражения для в пределах каждого участка, суммируя эти интегралы и умножая на длину полосы .

В общем случае для трех участков эпюры полное усилие

(9.32)

Разделив полное усилие на контактную площадь, получаем удельное усилие

.

После интегрирования выражения (9.32), некоторых преоб­разований и деления на площадь контакта находим

(9.33)

Если пренебречь снижением касательного напряжения в зо­не прилипания (III участок), что допустимо при большой шири­не и малой толщине, и принять, что эпюра напряжений состоит из двух участков I и II, то в выражении (9.32) последний инте­грал можно отбросить, а для второго интеграла пределы инте­грирования взять от нуля до

(9.34)

После интегрирования и деления на площадь контакта получаем удельное усилие

(9.35)

При ширине полосы участки скольжения и торможения отсутствуют, вся контактная поверхность является зоной прилипания и определяется выражением (9.17); удельное давление определяется формулой (9.20). Если касательное напряжение не достигает максимального значения , что возможно при малых значениях коэффициента трения, то зона торможения отсутствует. Контактная поверхность состоит из зон скольжения и прилипания. Вертикальное напряжение в зоне скольжения (участок I) определяется по уравнению (9.6).

При уменьшении абсциссы до (границы зон скольжения и прилипания) нормальное напряжение достигнет величины

(9.36)

Касательное напряжение в этой точке

Касательное напряжение в зоне прилипания при уменьшении абсциссы изменяется от точки С по прямой

(9.37)

Подставив это значение в дифференциальное уравнение равновесия, получаем

Отсюда

При и

Тогда

. (9.38)

Полное давление в этом случае

.

После интегрирования и деления на площадь контакта получаем удельное усилие

(9.39)

При небольшой толщине полосы протяженность зоны прили­пания мала, снижением напряжения в ней можно пренебречь и принять, что контактная поверхность является зоной скольже­ния (при малых коэффициентах трения). Тогда удельное давле­ние можно определять по формуле (9.10).

Рассмотрим случай, когда коэффициент трения достигает максимального значения (0,5); зона скольжения отсутствует, контактная поверхность состоит из двух зон — прилипания и торможения. Удельное усилие для этого случая определяют из формулы (9.33), если в ней принять и . Тогда

(9.40)

Если и в этом случае пренебречь уменьшением напряжения в зоне прилипания, т. е. принять, что контактная поверхность является зоной торможения, то удельное усилие можно определить по формуле (9.34) при и . Тогда

(9.41)

Эту формулу можно получить также из выражения (9.15), приняв в ней f = 0,5. Формула (9.15) была выведена при допущении постоянства касательных контактных напряжений не­зависимо от величины коэффициента трения.

Е. П. Унксов рекомендует формулу (9.41) для практических расчетов при горячей осадке, когда коэффициент трения близок к предельному значению и контактное касательное напряжение можно принять постоянным и равным .

На рис.9.7 приведены кривые зависимости от отношения ширины полосы к толщине при различных коэффициентах трения. Кривые построены по формулам (9.33) и (9.40).

Из этого рисунка видно сильное влияние коэффициента трения на удельное усилие при значениях 0 < < 0,25 и очень малое влияние коэффициента трения при значении его от 0,25 до 0,5. Криволинейный характер зависимости от коэффициента трения и отношения при малых значениях последнего переходит в прямолинейный при Поэтому при и можно пользоваться формулой

(9.42)

Формула (9.42) незначительно отличается от формулы (9.41).

Следовательно, при и можно считать, что контактная поверхность является зоной торможения (скольжение отсутствует).

Рис. 9.7 Рис. 9.7. Кривые удельных усилий Рис. 9.8. Эпюры контактных напряжений при

при осадке без уширения при плоской осадке свинцовых об­разцов

с отношением (Е.П. Унксов):

1– осадка без смазки; 2– осадка со смазкой

Во всех рассмотренных случаях получена куполообразная форма эпюр контактного нормального давления с монотонным его повышением от края полосы к середине с различной интен­сивностью. Однако по экспериментальным эпюрам установлено наличие незначительных по величине максимумов нормального давления около краев полосы, как это видно на рис.9.8, где при­ведены эпюры и полученные поляризационно-оптическим методом при осадке свинцовых полос бойком из оптически чувствительного материала.

При осадке высоких цилиндрических образцов, когда отношение диаметра к высоте меньше 2—2,5, исследователями установлена вогнутая форма эпюры нормального давления.

Е. П. Унксов сравнил результаты расчета усилий осадки приведенными методом и методом численного интегрирования с использованием линий скольжения. Расхождение не превышало 10%.

Метод решения упрощенных уравнений равновесия совмест­но с уравнением пластичности широко применяют при опреде­лении усилий в различных процессах обработки давлением [20, 25, 7, 8].

МЕТОД РАБОТ

Применим метод работ к определению усилия осадки полосы шириной , высотой и длиной , значительно превышающей ширину, так что деформацию можно рассматривать плоской [2]. Условия деформации возьмем из примера, рассмотренного вы­ше при изложении метода совместного решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности. Напряжение трения т_к на контактной поверхности принимаем постоянным, не зависящим от х. Деформацию принимаем равномерной, хотя трение на контактной поверхности в действительности приводит к неравномерности деформации. Напряжения и в этом слу­чае являются главными.

Интенсивность на

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: