ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ. 10 класс.

ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ. 10 класс.

1. (Л1, № 3671). Угол между противоположными ребрами АВ и CD пирамиды ABCD равен a, АВ = а, CD = b. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра ВС параллельно прямым АВ и CD.

1) EO II AB; CE = EB; - средняя линия ΔАВС.

2) EL II CD; CE = EB; - средняя линия ΔВСD.

3)

4)

Аналогично EL II OK. ELKO - параллелограмм.

По свойству равностороннего треугольника

3) Из ΔРВК (ÐРКB = 90°) по теореме Пифагора:

4) Из ΔАРВ по формуле площади треугольника:

5) Из ΔВЕК (ÐВЕК = 90°):

6)

6.(Л2, № 11.1.10). В правильной треугольной пирамиде известны высота Н и величина двугранного угла 2a, образованного боковыми гранями. Найти длину стороны основания.

1) Из ΔBEC (BE = EC)

2) Из ΔВEК (ÐEКB = 90°):

3) Из ΔAEВ (ÐAEB = 90°) по теореме Пифагора:

4) Из ΔРEВ (ÐPEB = 90°) по теореме Пифагора:

5) Из ΔВPК (ÐВКP = 90°) по теореме Пифагора:

6) Из ΔPOК (ÐКOP = 90°) по теореме Пифагора:

8.(Л2, № 11.1.13). Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами и а. Ребро SC перпендикулярно к плоскости основания, а ребро SA образует с ней угол a. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной прямой SA и проходящей через BD.

1) В плоскости SCA проведем OE II SA. CO = OA = 0,5CA по свой-

ству диагоналей прямоугольника Þ OE - средняя линия ΔSCA.

2) Из ΔAВС (ÐAВС = 90°) по теореме Пифагора:

3) Из ΔAСS (ÐAСS = 90°):

4) Из ΔBCD (ÐBCD = 90°):

5) Из ΔNCE (ÐNCE = 90°):

6)

9.(Л2, № 11.1.14). Отрезок прямой, соединяющей центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды.

1) Пусть АВ = BC = AC = OL = a; AL = LF. Точка F - вершина

правильной пирамиды - проецируется в центр О ΔABC -

Правильного. FO - высота правильной пирамиды.

2) Из ΔABC (равностороннего)

3) Из ΔAOF (ÐAOF = 90°):

OL - медиана Þ

4) ΔBFC - равнобедренный. FK ^ BC Þ FK - медиана.

ΔBFC = ΔBFA = ΔAFC (по 3 признаку).

5) Из ΔBFK (ÐBKF = 90°) по теореме Пифагора:

6) Из ΔВЕС по теореме косинусов:

7)

10.(Л3, № 17.3.1). Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, основания которой равны 2 см и 8 см. Боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найти высоту пирамиды и площадь ее боковой поверхности.

1) Все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Все апофемы боковых граней равны, а вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в трапецию окружности. По критерию вписанной окружности

2) Из трапеции ABCD по теореме Пифагора:

3) Из ΔРЕО (ÐРОЕ = 90°):

4)

11.(Л3, № 17.3.2). В основании пирамиды лежит ромб со стороной, равной а, и углом 60°. Боковые грани, проходящие через стороны острого угла ромба, перпендикулярны плоскости основания, а остальные две боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

1) PAB ^ ABCD; PAD ^ ABCD; PAB ∩ PAD = PA; PA ^ ABCD.

2) ΔPAB = ΔPAD (прямоугольные по двум катетам).

ÐPAD = ÐPAC = 90°; AD = AB - стороны ромба; РА - общая.

Построим линейный угол двугранного угла P(BC)A.

AN ^ BC, AN = Пр_ABCPN Þ PN ^ BC

(по теореме о трех перпендикулярах).

Искомое тело состоит из двух равных треугольных

Пирамид.

5) MNK II ABC; EM = 0,5AA₁ =

6)

7)

22.(Л2, № 11.2.8). В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ c ребром длины а точка K - середина ребра AB, точка Е - середина ребра DD₁. Найти периметр треугольника A₁KЕ и определить, в каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через вершины этого треугольника.

1) Соединим точки А и К, лежащие в плоскости АА₁В₁.

Соединим точки А и Е, лежащие в плоскости АА₁D₁.

Продлим А₁Е до пересечения с продолжением AD в

KNFH - прямоугольник.

2)

3)

40.(Л3, № 13.5.1). Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 8. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная диагонали параллелепипеда. Эта плоскость составляет с плоскостью основания угол 45°. Найти объем параллелепипеда. (460,8).

1) Построим заданное сечение. В плоскости диагонального сечения проведем ОЕ II BD₁. OE ∩ DD₁ = E. AEC - искомое сечение.

2) Из ΔADС (ÐADС = 90°) по теореме Пифагора:

3)

4) Из ΔDEK (ÐEDK = 90°):

перпендикулярное ребру АА₁.

5) В ΔDВD₁ EO II BD₁, DO = OB Þ средняя линия.

6)

41.(Л2, № 11.3.1). Стороны треугольника a = b = 10 см, с = 12 см касаются сферы радиуса 5 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. (4 см).

Герона

2) Из ΔАOС (ÐАСO = 90°) по теореме Пифагора:

42.(Л2, № 11.3.2). В конус вписан шар, поверхность которого равна площади основания конуса. Найти косинус угла при вершине в осевом сечении конуса.

1)

2)

3)

4) Из ΔАO₁O (ÐАOO₁ = 90°):

5) Из ΔАPB (AP = PB):

Второй способ.

1) Из ΔРСO₁~ ΔРАO (ÐРСO₁ = ÐАOР = 90°, ÐСРO₁ - общий):

43.(Л2, № 11.3.4). Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. Найти отношение объема конуса к объему вписанного в него шара.

1)

2)

3)

4)

44.(Л2, № 11.3.8). В цилиндр вписан шар. Найти объем шара, если объем цилиндра равен 7,5. (5).

1)

2)

45.(Л2, № 11.3.7). Через вершину конуса проведено сечение под углом 30° к высоте конуса. Вычислить площадь сечения, если высота конуса равна а радиус основания равен 5 см. (24 см²).

1) Построим перпендикуляр PN в плоскости ЕРВ. ΔЕРВ - равнобедренный (РЕ = РВ - образующие) Þ медиана PN - высота ΔЕРВ.

ÐOPN = 30°.

2) Из ΔPON (ÐPON = 90°):

3) По теореме о трех перпендикулярах ON ^ BE (ON = Пр_ОВЕPN).

4) Из ΔEON (ÐONE = 90°) по теореме Пифагора:

5)

46.(Л3, № 7.2.1). Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых одно осевое. Площадь меньшего из сечений равна Q. Угол между плоскостями сечений равен 60°. Найти площадь осевого сечения.

1) АВ ^ ВРС Þ АВ ^ ВР, АВ ^ ВС. Þ ÐРВС = 60° - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями АВС и АВР.

2)

3) Из ВРС (ÐВРС = 90°- вписанный, опирающийся на диаметр):

4)

47.(Л2, № 11.3.10). Найти радиус шара, объем которого равен объему тела, образованного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, длина которой равна 2а.

1) Объем тела вращения равен суммарному объему двух равных конусов с радиусом основания и высотой, равными половине гипотенузы.

2)

48.(Л3, № 8.1.2). Длины окружностей оснований усеченного конуса равны 4p и 10p. Высота конуса равна 4. Найти площадь поверхности усеченного конуса. (64p).

1) Так как длины окружностей оснований усеченного конуса равны то отрезок

2) Из АВN (ÐANВ = 90°; ВN - высота):

3) Площадь поверхности усеченного конуса равна:

49.(Л2, № 11.1.14). Известно, что две взаимно перпендикулярные образующие конуса делят окружность его основания на дуги 120° и 240°. Найти объем конуса, если его высота равна Н.

1) Из ΔАPC (ÐАPC = 90°):

2) Из ΔАOC (AO = OC) по ОТП:

3) Из ΔАОP (ÐАОP = 90°) по т-ме Пифагора:

4)

5)

51.(Л3, № 9.2.1). Равнобедренный треугольник, у которого основание равно а угол при вершине 120°, вращается вокруг прямой, содержащей основание. Найти площадь поверхности тела вращения. (16p).

Второй способ.

AB II CD и секущей АЕ).

3) Из ΔADE (ÐАED = 90°):

4) Из ΔМАЕ (ÐМАЕ = 90°) по т-ме Пифагора:

78.(Л3, № 10.3.2). В треугольнике АВС АC = BC = m, ÐАCB = 120°, РА^АВС. Точка Р удалена на расстояние, равное m, от прямой ВС. Найти расстояние от точки Р до плоскости АВС.

1) PE^BC, AE - проекция PE на плоскость ABC Þ AE^BC

По гипотенузе и катету).

ÐQD₁F = ÐFC₁K = ÐKB₁T = 90°;

ÐQFD₁ = ÐKFC₁; ÐFKC₁ = ÐB₁KT (вертик);

D₁F = FC₁ = KС₁ = KВ₁ = 0,5ВС.

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

88.(Л3, № 2.3.1). Дан равнобедренный треугольник АВС (АС = СВ). А (1; -2; 1), В (3; 2; -3). Вершина С лежит на оси ординат. Найти площадь треугольника АВС. (9).

1) Найдем координаты точки C (0; y; 0). AC = CB.

2) Найдем координаты точки N - середины АВ.

3)

4)

5)

89. (Л3, № 2.5.1). В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 2, а боковое ребро - 4. Е - середина CD и K - середина C₁С. DK пересекает D₁C в точке Р. Найти расстояние между серединой М отрезка B₁Е и точкой Р.

1) Найдем координаты точки М - середины отрезка ЕВ₁.

Найдем координаты точки Р.

Δ С₁РК ~ Δ СDК (по двум углам):

ÐKPC = ÐD₁PD - вертикальные;

ÐDD₁P = ÐPCK - внутренние накрест лежащие.

3)

90.(Л3, № 3.3.2). Точки А (1; 1; 5), В (4; 7; 5), С (8; 5; 5), D (5; -1; 5) являются вершинами прямоугольника АВСD. Найти больший угол между диагоналями прямоугольника.

1)

2)

3)

91.(Л4, № 14.76.50). В параллелограмме АВСD известны координаты трех вершин

А (3; 1; 2), В (0; -1; -1), С (-1; 1; 0). Найти длину диагонали BD.

1) О - середина АС.

О - середина BD.

3)

92.(Л4, № 14.76.51). Доказать, что точки А (1; -1; 1), В (1; 3; 1), С (4; 3; 1), D (4; -1; 1) являются вершинами прямоугольника. Вычислить длины его диагоналей и координаты точки их пересечения.

1)

2)

3)

93.(Л4, № 14.76.64). Вершинами треугольника являются точки А(2; -3; 0), В(2; -1; 1), С(0; 1; 4). Найти величину угла, образуемого медианой ВD и основанием АС. (45°)

1)

2)

3)

94.(Л4, № 14.76.67). Треугольная пирамида задана вершинами А(3; 0; 1), В(-1; 4; 1), С(5; 2; 3), D(0; -5; 4). Вычислить длину вектора , если G - точка пересечения медиан грани BCD.

1)

2)

3)

95.(Л4, № 14.76.68). Объем прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равен 3. Определить координаты вершины A₁, если координаты вершин одного из оснований призмы известны: А (1; 0; 1), В (2; 0; 0), С (0; 1; 0).

1)

2)

3)

4)

5)

96.(Л4, № 14.77.21). Дана пирамида с вершинами S(0; 6; 4), А(3; 5; 3), В(-2; 11; -5), С(1; -1; 4). Найти высоту пирамиды, опущенную из вершины S. (3).

1)

2)

97.(Л4, № 14.77.25). Вычислить расстояние от плоскости до сферы (3).

1)

2)

3)

98.(Л4, № 14.77.26). Дана сфера и прямая, проходящая через точку А (2; 1; 1) параллельно вектору Найти координаты точек пересечения прямой со сферой.

1) Составим уравнение прямой:

2) Найдем точки пересечения прямой и сферы:

99.(Л3, № 10.7.1). Сферы и пересекаются. Найти длину линии пересечения этих сфер.

100.(Л3, № 10.3.1). Составить уравнение сферы, радиус которой равен 2, если известно, что центр сферы лежит в плоскости x0z, а сама сфера проходит через начало координат и точку А(1; 1; 0).

ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ. 10 класс.

1. (Л1, № 3671). Угол между противоположными ребрами АВ и CD пирамиды ABCD равен a, АВ = а, CD = b. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра ВС параллельно прямым АВ и CD.

1) EO II AB; CE = EB; - средняя линия ΔАВС.

2) EL II CD; CE = EB; - средняя линия ΔВСD.

3)

4)

Аналогично EL II OK. ELKO - параллелограмм.

5)

2.(Л2, № 11.1.2). Объем правильной четырехугольной пирамиды равен V. Угол наклона ее бокового ребра к плоскости основания равен a. Найти боковое ребро пирамиды.

1) Из ΔAOP (ÐAOP = 90°)

2)

3)

3.(Л2, № 11.1.4). В пирамиде ABCF через медиану BK основания АВС и середину L бокового ребра AF проведена плоскость. Найти отношение объема многогранника BCKLF к объему пирамиды АBKL. (3).

1)

2)

3) LE - средняя линия ΔAFO.

4)

5) Пусть тогда

4.(Л2, № 11.1.5). Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боко вых ребер перпендикулярно плоскости основания, два других наклонены к основанию под углом 60°. Найти полную поверхность пирамиды, если сторона квадрата равна 4.

1) Из ΔADP (ÐADP = 90°)

2)

3)

4)

5)

5.(Л2, № 11.1.7). Угол между боковой гранью и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 45°. Объем пирамиды равен Найти длину стороны основания пирамиды. (2).

1)

2) Из ΔFOK (ÐFOK = 90°, ÐFKO = 45°):

3)

7.(Л2, № 11.1.12). Найти двугранный угол между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол, образуемый боковой гранью с основанием, равен a.

1) Из ΔРОК (ÐРОК = 90°, ОК = r)

12345Следующая ⇒

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: