из аксиомы существования плоскости).

2) МАC ∩ a = {AC}; МАC ∩ b = {BD}; a II b Þ AC II BD

(по теореме о линиях пересечения параллельных

Плоскостей секущей плоскостью).

3) ΔAMC ~ ΔBMD (по следствию 1-го признака подобия):

4) MN ^ a Þ MN ^ b. АВ ∩ MN = {M} .

5) МBN ∩ a = {AK}; МBN ∩ b = {BN}; a II b Þ AK II BN

6) ΔAMC ~ ΔBMD (по следствию 1-го признака подобия):

75.(Л3, № 9.4). Точка М расположена между параллельными плоскостями a и b. Через точку М проведены две прямые. Первая прямая пересекает плоскость a в точке А, а плоскость b - в точке В. Вторая прямая пересекает эти плоскости соответственно в точках С и D; МA = МD, MC = 32, МB = 50. Расстояние от точки М до плоскости a равно 24. Найти расстояние между плоскостями. (54).

1) АВ ∩ СD = {M} Þ есть плоскость МАC (по

Следствию из аксиомы существования плоскости).

2) МАC ∩ a = {AC}; МАC ∩ b = {BD}; a II b Þ AC II BD

(по теореме о линиях пересечения параллельных

Плоскостей секущей плоскостью).

3) ΔAMC ~ ΔBMD (по первому признаку подобия):

ÐАМС = ÐBMD - вертикальные; ÐМАС = ÐMBD

(внутренние накрест лежащие):

4) MN ^ a Þ MN ^ b. АВ ∩ MN = {M} .

5) МBN ∩ a = {AK}; МBN ∩ b = {BN}; a II b Þ AK II BN

6) ΔКAM ~ ΔBMN (по первому признаку подобия):

76.(Л3, № 10.1.1). В треугольнике АВС АВ = ВС = 25, АС = 48, BD - перпендикуляр к плоскости АВС. BD = Найти расстояние от точки D до прямой АС. (8).

77.(Л3, № 10.3.1). ABCD - ромб со стороной, равной а, ÐА = 60°, АМ^АВС, АМ = 0,5а. Найти расстояние от точки М до прямой СD. (a).

1) ME^CD, AE - проекция MD на плоскость ABC Þ AE^CD

По теореме о трех перпендикулярах.

2) ÐBAD = ÐADE = 60° (внутренние накрест лежащие при

AB II CD и секущей АЕ).

3) Из ΔADE (ÐАED = 90°):

4) Из ΔМАЕ (ÐМАЕ = 90°) по т-ме Пифагора:

78.(Л3, № 10.3.2). В треугольнике АВС АC = BC = m, ÐАCB = 120°, РА^АВС. Точка Р удалена на расстояние, равное m, от прямой ВС. Найти расстояние от точки Р до плоскости АВС.

1) PE^BC, AE - проекция PE на плоскость ABC Þ AE^BC

По теореме о трех перпендикулярах.

2) ÐACE = 180° - ÐACB = 60° (смежные).

3) Из ΔAСE (ÐАEС = 90°):

4) Из ΔРАЕ (ÐРАЕ = 90°) по т-ме Пифагора:

79.(Л3, № 10.5.1). Точка М удалена от каждой стороны равнобедренной трапеции на расстояние, равное 12 см. Основания трапеции равны 18 см и 32 см. Найти расстояние от точки М до плоскости трапеции. (0).

1) AB + CD = AD + BC;

2)

3) Из ΔСDE (ÐDEС = 90°) по теореме Пифагора:

4) Из ΔMNO (ÐMON = 90°) по теореме Пифагора:

80.(Л3, № 10.6.1). Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол трапеции равен 30°. Точка М удалена от плоскости трапеции на расстояние, равное и находится на равном расстоянии от ее сторон. Найти расстояние от точки М до сторон трапеции. (0).

81.(Л1, №4683). Через середину отрезка с концами в точках Р(-1; 2; 5) и Q(3; -4; 1) проведена плоскость, перпендикулярная прямой, проходящей через точки А (0; -2; -1) и В (3; 2; -1). Составить уравнение плоскости. (3x + 4y +1 = 0).

1) O - середина PQ. 2)

3)

82.(Л1, № 4685). Высота АА₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ вдвое больше каждой из сторон основания. Найти угол между прямыми BD₁ и АМ, где М - точка пересечения диагоналей грани DСC₁D₁.

1) AD = AB = a; AA₁ = 2a.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку D.

87.(Л4, № 14.78.22). Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через вершину А и середины ребер B₁C₁ и C₁D₁, если ребро куба равно а.

1) ΔQD₁F = ΔFC₁K = ΔKB₁T (прямоугольные

По гипотенузе и катету).

ÐQD₁F = ÐFC₁K = ÐKB₁T = 90°;

ÐQFD₁ = ÐKFC₁; ÐFKC₁ = ÐB₁KT (вертик);

D₁F = FC₁ = KС₁ = KВ₁ = 0,5ВС.

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

88.(Л3, № 2.3.1). Дан равнобедренный треугольник АВС (АС = СВ). А (1; -2; 1), В (3; 2; -3). Вершина С лежит на оси ординат. Найти площадь треугольника АВС. (9).

1) Найдем координаты точки C (0; y; 0). AC = CB.

2) Найдем координаты точки N - середины АВ.

3)

4)

5)

89. (Л3, № 2.5.1). В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 2, а боковое ребро - 4. Е - середина CD и K - середина C₁С. DK пересекает D₁C в точке Р. Найти расстояние между серединой М отрезка B₁Е и точкой Р.

1) Найдем координаты точки М - середины отрезка ЕВ₁.

Найдем координаты точки Р.

Δ С₁РК ~ Δ СDК (по двум углам):

ÐKPC = ÐD₁PD - вертикальные;

ÐDD₁P = ÐPCK - внутренние накрест лежащие.

3)

90.(Л3, № 3.3.2). Точки А (1; 1; 5), В (4; 7; 5), С (8; 5; 5), D (5; -1; 5) являются вершинами прямоугольника АВСD. Найти больший угол между диагоналями прямоугольника.

1)

2)

3)

91.(Л4, № 14.76.50). В параллелограмме АВСD известны координаты трех вершин

А (3; 1; 2), В (0; -1; -1), С (-1; 1; 0). Найти длину диагонали BD.

1) О - середина АС.

О - середина BD.

3)

92.(Л4, № 14.76.51). Доказать, что точки А (1; -1; 1), В (1; 3; 1), С (4; 3; 1), D (4; -1; 1) являются вершинами прямоугольника. Вычислить длины его диагоналей и координаты точки их пересечения.

1)

2)

3)

93.(Л4, № 14.76.64). Вершинами треугольника являются точки А(2; -3; 0), В(2; -1; 1), С(0; 1; 4). Найти величину угла, образуемого медианой ВD и основанием АС. (45°)

1)

2)

3)

94.(Л4, № 14.76.67). Треугольная пирамида задана вершинами А(3; 0; 1), В(-1; 4; 1), С(5; 2; 3), D(0; -5; 4). Вычислить длину вектора , если G - точка пересечения медиан грани BCD.

1)

2)

3)

95.(Л4, № 14.76.68). Объем прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равен 3. Определить координаты вершины A₁, если координаты вершин одного из оснований призмы известны: А (1; 0; 1), В (2; 0; 0), С (0; 1; 0).

1)

2)

3)

4)

5)

96.(Л4, № 14.77.21). Дана пирамида с вершинами S(0; 6; 4), А(3; 5; 3), В(-2; 11; -5), С(1; -1; 4). Найти высоту пирамиды, опущенную из вершины S. (3).

1)

2)

97.(Л4, № 14.77.25). Вычислить расстояние от плоскости до сферы (3).

1)

2)

3)

98.(Л4, № 14.77.26). Дана сфера и прямая, проходящая через точку А (2; 1; 1) параллельно вектору Найти координаты точек пересечения прямой со сферой.

1) Составим уравнение прямой:

2) Найдем точки пересечения прямой и сферы:

99.(Л3, № 10.7.1). Сферы и пересекаются. Найти длину линии пересечения этих сфер.

100.(Л3, № 10.3.1). Составить уравнение сферы, радиус которой равен 2, если известно, что центр сферы лежит в плоскости x0z, а сама сфера проходит через начало координат и точку А(1; 1; 0).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: