Точка О лежит на диагонали АС.

4) AD ^ EA₁, AD ^ EO Þ AD ^ EOA₁ Þ AD ^ A₁O.

AB ^ KA₁, AB ^ KO Þ AB ^ KOA₁ Þ AB ^ A₁O.

AD ^ A₁O; AB ^ A₁O Þ A₁O ^ ABCD.

5) Из ΔAA₁Е (ÐАЕА₁ = 90°): А₁Е = AA₁sin A₁АЕ = bsinj.

АЕ = AA₁cos A₁АЕ = bcosj.

6) Из ΔAOE (ÐАЕO = 90°):

7) Из ΔEOA₁ (ÐEOA₁ = 90°) по теореме Пифагора:

8)

9)

27.(Л3, № 14.5). В прямой призме ABCA₁B₁C₁ АВ = 13, ВС = 21, АС = 20. Диагональ боковой грани A₁C составляет с плоскостью грани CC₁B₁B угол 30°. Найти площадь полной поверхности призмы.

1) ΔАВС - остроугольный.

2) А₁N ^ B₁C₁ Þ А₁N ^ ВB₁C₁ Þ CN =

3) Из ΔАВС по формуле Герона:

4) Из ΔА₁NС (ÐA₁NC = 90°):

5) Из ΔА₁C₁С (ÐA₁C₁C = 90°) по теореме Пифагора:

6)

7)

28.(Л2, № 11.2.24). В основании прямой призмы лежит параллелограмм, через сторону которого, равную а, и противоположную ей сторону верхнего основания проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол b; площадь сечения Q. Найти объем призмы.

1)

2) Из ΔEBB₁ (ÐB₁BE = 90°):

3)

4)

29.(Л3, № 13.3.1). В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 4 см. Через середину A₁C₁ и сторону основания ВС проведена плоскость. Найти площадь сечения, если длина бокового ребра равна 2 см.

1) АВС II A₁B₁C₁. BMC ∩ A₁B₁C₁ = MN, MN II BС.

2) Из ΔMC₁С (ÐMC₁C = 90°) по теореме Пифагора:

3) MN = 0,5АВ = 2 см - средняя линия Δ A₁B₁C₁.

4) MNBC - равнобокая трапеция.

5) Из ΔNKB (ÐNKB = 90°) по теореме Пифагора:

6)

30.(Л3, № 13.3.2). В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основанием служит ромб со стороной, равной а, ÐВAD = 60°. Через сторону AD и вершину В₁ проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45°. Найти длину бокового ребра и площадь сечения.

1)

2) Из ΔEBB₁ (ÐB₁BE = 90°, ÐB₁EB = 45°):

3)

31.(Л3, № 14.3). В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ АВ = 1, ВС = ÐАВС = 150°. Через диагональ AС и вершину В₁ проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол в 60°. Найти площадь боковой поверхности.

1) Построим заданное сечение.

Соединим точки А, В₁ и С попарно.

2)

3) Из ΔABС по теореме косинусов:

4)

5) Из ΔВВ₁K (ÐВ₁ВK = 90°):

6)

7)

32. (Л2, № 11.2.23). Высота правильной четырехугольной призмы равна h. Из одной вершины основания проведены в двух смежных боковых гранях две диагонали, угол между которыми равен a. Определить боковую поверхность призмы.

1) Пусть сторона основания равна а. Тогда диагональ квадрата А₁В₁С₁D₁

2) Точка Е - середина А₁С₁.

3) ВА₁ = ВС₁ (диагонали равных прямоугольников).

Из ΔА₁ВС₁, где ВЕ - медиана ΔА₁ВС₁, Þ ВЕ - высота и биссектриса. Из ΔА₁EВ (ÐА₁EВ = 90°):

4) Из ΔАА₁В (ÐА₁АВ = 90°) по теореме Пифагора:

5)

33.(Л3, № 15.1.2). В наклонной треугольной призме площади двух граней равны 70 см² и 105 см², угол между ними 60°. Боковое ребро равно 10 см. Найти площадь боковой поверхности призмы.

1) Построим сечение, перпендикулярное ребру АА₁.

ЕК ^ АА₁, EF ^ АА₁ Þ FK ^ AA₁.

2)

3) Из ΔEFK по теореме косинусов:

4)

34.(Л3, № 13.3.1). Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна d и составляет с боковой гранью угол 30°. Найти объем параллелепипеда.

1) Из ΔА₁D₁В (ÐD₁А₁В = 90°):

2) Из ΔА₁АВ (ÐА₁АВ = 90°) по теореме Пифагора:

3)

4)

35.(Л3, № 13.3.2). Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ служит прямоугольный треугольник АВС (ÐС = 90°). АС = 4; ВС = Ð AB₁C = 30°. Найти объем призмы.

1)

2) BC = Пр_АВСВ₁С; ВС^АС Þ В₁С^АС

(по теореме о трех перпендикулярах).

3) Из ΔАB₁С (ÐАСB₁ = 90°):

4) Из ΔВB₁С (ÐСВB₁ = 90°) по теореме Пифагора:

5)

36.(Л3, № 14.3.1). В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 6 и 8. Плоскость сечения, проходящего через два противоположных ребра верхнего и нижнего оснований, составляет с основанием угол 60°. Найти объем параллелепипеда.

1) DN ^ AB Þ D₁N ^ AB (по т-ме о трех перпендикулярах).

2) Из ΔАOВ (ÐАOВ = 90°) по теореме Пифагора:

3)

4)

5) Из ΔD₁DN (ÐD₁DN = 90°):

6)

37.(Л3, № 14.5.1). В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ диагонали B₁F и B₁E равны соответственно 24 и 25. Найти объем призмы.

1) BF ^ FE Þ B₁F ^ FE (по т-ме о трех перпендикулярах).

2) Из ΔB₁FE (ÐB₁FE = 90°) по теореме Пифагора:

3)

4) Из ΔB₁BE (ÐB₁BE = 90°) по теореме Пифагора:

5)

6)

38.(Л3, № 15.1.1). Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник. Одна из боковых граней является ромбом с диагоналями, равными 6 и 8. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°. Найти объем призмы.

1)

2) В треугольниках оснований построим медианы А₁F и

АК. AA₁FK - параллелограмм по признаку (AK II A₁F,

AK = A₁F) Þ AA₁ II FK, AA₁ = FK.

3) Из ΔEFK (ÐFEK = 90°):

4)

5)

39. (Л3, № 15.1.2). В наклонном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ боковое ребро равно 10. Расстояния от ребра AA₁ до ребер BВ₁ и DD₁ равны соответственно 5 и 12, а расстояние между ребрами АА₁ и СС₁ равно 13. Найти объем параллелепипеда. (600).

1) Из ΔKFH по теореме косинусов:

KNFH - прямоугольник.

2)

3)

40.(Л3, № 13.5.1). Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 8. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная диагонали параллелепипеда. Эта плоскость составляет с плоскостью основания угол 45°. Найти объем параллелепипеда. (460,8).

1) Построим заданное сечение. В плоскости диагонального сечения проведем ОЕ II BD₁. OE ∩ DD₁ = E. AEC - искомое сечение.

2) Из ΔADС (ÐADС = 90°) по теореме Пифагора:

3)

4) Из ΔDEK (ÐEDK = 90°):

перпендикулярное ребру АА₁.

5) В ΔDВD₁ EO II BD₁, DO = OB Þ средняя линия.

6)

41.(Л2, № 11.3.1). Стороны треугольника a = b = 10 см, с = 12 см касаются сферы радиуса 5 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. (4 см).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: