ГЛАВА 13. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

Атомистичность заряда. Закон сохранения заряда

Имеется два вида электрических зарядов, условно называемых «положительными» и «отрицательными». Заряды одного знака отталкиваются, разных знаков – притягиваются.

Электрический заряд является неотъемлемым свойством некоторых так называемых элементарных частиц. Заряд всех заряженных элементарных частиц одинаков по абсолютной величине. Его можно назвать элементарным зарядом. Обозначать его будем буквой е.

К числу элементарных частиц принадлежат – электрон (отрицательно заряжен), протон (положительно заряжен) и нейтрон (не заряжен).

Обычно частицы, несущие заряды разных знаков, присутствуют в равных количествах и распределены в теле с одинаковой плотностью. В этом случае алгебраическая сумма зарядов в любом элементарном объеме тела равна нулю, и каждый такой объем будет нейтральным.

Поскольку всякий заряд q образуется совокупностью элементарных зарядов, он является целым кратким е:

.

Электрические заряды могут исчезать и возникать вновь. Однако всегда возникают или исчезают одновременно два элементарных заряда противоположных знаков. Поэтому суммарный заряд электрически изолированной системы не может изменяться. Это утверждение носит название закона сохранения электрического заряда.

Электрический заряд измеряется в системе СИ в Кулонах (Кл).

Закон Кулона

В 1785 г. Кулон экспериментально, с помощью крутильных весов установил, что сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними

, (13.1)

где = 9×10⁹ Нм²/Кл²,

или в векторном виде

. (13.2)

В этом выражении под следует подразумевать вектор, проведенный от одного заряда к другому и имеющий направление к тому из зарядов, к которому приложена сила .

Рис. 13.1

В системе СИ . Тогда закон Кулона примет вид

. (13.3)

Здесь e ₀ = 8,85×10^-12 Кл²/Нм² – абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума.

Взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электрическое поле. Поле проявляет себя в том, что на помещенный в какую-либо его точку электрический заряд действует сила. По величине силы можно судить об «интенсивности» поля.

Силу, действующую на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля, называют напряженностью электрического поля в этой точке

. (13.4)

Из закона Кулона следует, что

. (13.5)

За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой же точке, в которой на заряд, равный единице действует единичная сила (в СИ 1к – заряд, 1н – сила). .

Опыт показывает, что сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности. Отсюда вытекает, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

(13.6)

это утверждение носит название принципа суперпозиции (наложения) электрических полей.

Поток вектора напряженности

Электрическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора . Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля. Электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности (линий ), которые проводятся так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора . Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности перпендикулярной к линиям площадки, было равно численному значению вектора . Линии точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен. Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. Покажем это. Полное число линий N, пересекающих сферическую поверхность произвольного радиуса r, будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы 4 pr ². Густота линий по условию численно равна

.

Следовательно, N численно равна

,

т.е. полное число линий на любом расстоянии от заряда будет одно и то же. Следовательно, линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде.

Рис. 13.2.

Поскольку густота линий выбирается равной численному значению Е, количество линий, пронизывающих площадку dS, перпендикулярных будет численно равна ЕdS. Если площадка dS ориентирована так, что нормаль к ней образует с вектором угол a, то количество линий, пронизывающих площадку, будет численно равно ЕdS cos a= E_n dS, где E_n – составляющая вектора по направлению нормали к площадке.

Отсюда для количества линий , пронизывающих произвольную поверхность, получается следующее выражение:

.

Если имеется поле некоторого вектора , то выражение , где А_п – составляющая вектора по направлению нормали к dS, называется потоком вектора через поверхность S.

Следовательно, поток вектора

(13.7)

численно равен количеству линий , пронизывающих поверхность S.

Теорема Гаусса

В предыдущем разделе было показано, что окружающую точечный заряд q сферическую поверхность любого радиуса r пересекает линий . Отсюда вытекает, что из точечного заряда выходит линий.

Поток вектора через некоторую поверхность численно равен количеству линий , пересекающих эту поверхность. Следовательно, поток вектора через охватывающую заряд сферическую поверхность равен . Знак потока совпадает со знаком заряда.

Не сферическая поверхность без «морщин» пересекается каждой линией только один раз. Поэтому число пересечений равно количеству линий, выходящих из заряда, т.е. .

Если поверхность с «морщинами», то число пересечений может быть только нечетным и потому противоположные вклады, вносимые в общий поток

Рис. 13.3. взаимно уничтожаются, за

исключением одного.

Таким образом, для любой формы замкнутой поверхности, охватывающей точечный заряд q, поток вектора сквозь эту поверхность равен .

Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности заключено несколько точечных зарядов произвольный знаков: q ₁, q ₂ и т.д. Поток вектора по определению равен

(13.8)

(кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутой поверхности).

В силу принципа суперпозиции полей

.

Подставив это в выражение для потока, получим

,

где - нормальная составляющая напряженности поля, создаваемого і -м зарядом в отдельности.

Но .

Следовательно . (13.9)

Доказанное утверждение называется теоремой Гаусса. Эта теорема может быть сформулирована следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e ₀.

Если внутри поверхности заряды отсутствуют, поток равен нулю.

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью r, теорема Гаусса должна быть записана следующим образом:

, (13.10)

где интеграл справа берется по объему V, охватываемому поверхностью S.

Теорема Гаусса позволяет найти напряженность поля гораздо проще, чем с использованием формулы для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: