Аксіоми та властивості ймовірності

Частота та ймовірність випадкової події

Ймовірність події A – це число, яке характеризує об‘єктивну можливість (долю впевненості) появи цієї події в розглядуваному випробуванні. Тобто, ймовірність є кількісною мірою здійснення події.

Частотний (стохастичний) підхід до визначення ймовірності полягає в наступному. Нехай А – подія, пов’язана з деяким випробуванням. Якщо при n-кратному повторенні випробування подія А наступає n_A разів, то частотою появи події А у даній серії випробувань називається відношення n_A/n. Зрозуміло, що частоті притаманні таки властивості:

1) n_A/n ; 2) n_Ω /n = 1; 3) якщо A B = , то n_A+B /n =n_A/n +n_B /n.

Частота випадковим чином змінюється від однієї серії випробувань до іншої. Однак, якщо довжини серій достатньо великі, то частоти в різних серіях мало відрізняються між собою ­ емпірична властивістьстійкості частоти – і будуть незначно коливатися навколо деякого числа Р(А), яке і називається ймовірністю події А. Таким чином, поняття ймовірності тісно пов’язане з властивістю стійкості частоти. При зростанні n відхилення частоти n_A/n від ймовірності Р(А) зменшується для переважної більшості серій. Тому частота може бути використана для обчислення ймовірності.

Аксіоми ймовірності та її властивості

Означення 1. Ймовірністю називається числова функція P(A), визначена на множині всіх подій, пов’язаних з даним експериментом, яка задовольняє таким аксіомам:

Аксіома 3 допускає узагальнення на випадок суми скінченної (або зліченної) кількості попарно несумісних подій:

3¢. P(A₁+ A₂+ A₃+...+A_n) = P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)+...+P(A_n). (2)

Із аксіом 1,2,3 випливають такі властивості ймовірності:

Дійсно: А + = Ω, А =Ø P(A+ ) =P(A)+P()=1 . Зокрема, P(Ø)=P( =1–P(Ω)=0.

Звернемо увагу на те, що з рівності P(A)=0, взагалі кажучи, не випливає, що А є неможливою подією (випливає лише те, що частота цієї події при зростанні кількісті випробувань стає як завгодно малою);

Дійсно:

3) Теорема додавання ймовірностей. Для будь-яких подій A та B справедливе співвідношення

.	(3)
Доведення. Подамо події A+B та B у вигляді суми попарно несумісних подій (рис.1.4) , . Тоді на підставі аксіоми 3 одержимо P(AÈB)=P(A) . Підставляючи вираз	Рис. 1.4

P() із другого співвідношення в перше, приходимо до рівності (2).

Між іншим, з (3) випливає, якщо Р (А) + Р (В)> 1, то Р (А В) >0 і, отже,події А та В є сумісними.

Принцип практичної вірогідності

Застосування результатів теорії ймовірності грунтується на “принципі практичної вірогідності”. А саме, якщо ймовірність настання події A достатньо близька до 1, то при одноразовому проведенні випробування слід знехтувати можливістю настання малоймовірної події `A. У цих умовах A та `A називають відповідно практично вірогідною та практично неможливою подіями.

Визначення тієї межі, починаючи з якої подію слід вважати практично неможливою, знаходиться за рамками теорії ймовірностей. Ясно, що чим більші збитки може принести нехтування можливості настання події, тим меншою повинна бути межа. Одна і таж ймовірність може бути малою в однієї ситуації і неприпустимо великою в іншій. Наприклад, межа 0.01 достатня для того, щоб вважати практично неможливим перегорання нової електричної лампочки, але абсолютно недопустима для того, щоб вважати практично неможливою аварію скафандра космонавта або парашута.

Теорема множення та її наслідки

Умовна ймовірність

Нехай АтаB є подіями, пов’язаними з деяким випробуванням і P(B)>0.

Означення 1. Умовною ймовірністю P(АïB) події А за умови здійснення події B називається відношення

(1)

Умовна ймовірність задовольняє аксіомам імовірності 1-3 пункту1.2.2:

,

якщо .

Із співвідношення (1) негайно випливає теорема множення ймовірностей

.

(2)

Якщо поміняти А і В місцями, то теорема множення може бути записана у вигляді

.

()

Теорема множення дозволяє знайти ймовірність добутку подій, якщо із змісту задачі зрозумілі (або обчислюються) значення умовних ймовірностей. Вона узагальнюється на випадок скінченного числа множників. Наприклад,

Приклад 1. Ймовірність аварії при запуску ракети дорівнює 0,15. Ймовірність аварії на старті є 0,12. Яка ймовірність аварії при умові успішного старту.

Розв’язання. Нехай подія A полягає у тому, що запуск ракети успішний, а подія B - це успішний старт ракети. Із умов задачі випливає, що A·B=A. Отже,

Таким чином, P( /B)=1–P(A/B)=0.034.

Означення 2. Подія А називається незалежною від події B, якщо

P(АïB)=P(А) (P(B)>0).

Нехай подія А незалежна від події B і P(A)>0. Тоді з формул (2) та (2¢) випливає, що подія B незалежна від події А. Таким чином, поняття незалежності подій є взаємним.

Події А та B незалежні тоді і тільки тоді, коли виконується рівність

.

(3)

Якщо події А та B незалежні, то будуть незалежними такі пари подій: ` А та B, А та ` B, ` А та ` B (наприклад, незалежність подій А та ` B можна довести таким чином

Якщо події A i B (P(A)>0,P(B)>0) несумісні, то вони є залежними:

Відзначимо, що коли Р(А)=0,то події А і В є незалежними:

У тому випадку, коли кількість подій перевищує два, вводиться поняття незалежних у сукупності(взаємно незалежних) подій. Останнє означає, що ймовірність якої-небудь події не залежить від здійснення інших. Наприклад, для трьох подій А₁, А₂, А₃, незалежних у сукупності, повинні виконуватись співвідношення P(A₁/A₂)=P(A₁), P(A₁/A₃)=P(A₁), P(A₁/A₂·A₃)=P(A₁), P(A₂/A₃)=P(A₂), P(A₂/A₁·A₃)=P(A₂), P(A₃/A₁·A₂)=P(A₃). Для подій А₁, А₂,..., А_n, незалежних у сукупності, справедливе співвідношення

(3¢)

Приклад 2. Проводиться два постріли по мішені. Ймовірності влучення при першому та другому пострілі дорівнюють відповідно 0.3 і 0.6. Яка ймовірність, що у мішені буде: а) точно одна пробоїна; б) хоча б одна пробоїна?

Розв’язання. Позначимо через A_i (i=1,2) подію, яка полягає у тому, що при i–му пострілі буде попадання у мішень. Події A₁ та A₂ незалежні, але сумісні.

а) Нехай A – подія, яка полягає у тому, що у мішені буде точно одна пробоїна. Тоді . Оскільки події і несумісні, то на підставі аксіоми 3 і теореми множення ймовірностей одержимо

= = =0.3 0.4+0.7 0.6=

=0.54.

б) Нехай B – подія, яка полягає у тому, що в мішені буде хоча б одна пробоїна. Тоді B=A₁+A₂ і на підставі теорем додавання та множення ймовірностей матимемо

= = = + =

.

Інший спосіб розв’язку:

Формула повної ймовірності

Нехай є n припущень (гіпотез) Hk (k=1,...,n) щодо умов проведення випробування, з яким пов’язана подія А. При цьому із тих чи інших міркувань відомі ймовірності P(Hk), P(A/Hk). Як можна прогнозувати спроможність появи події А? Теорема. Нехай події Hk (k=1,...,n) складають повну систему. Тоді для будь-якої події A справедлива рівність   (4)

Рис. 1.5

Доведення. Оскільки W=H₁ÈH₂È...ÈH_n, то подію A можна представити у вигляді суми попарно несумісних подій

A = A·H₁ÈA·H₂È...ÈA·H_n

рис.1.5). Послідовно застосовуючи теореми додавання та множення ймовірностей (формулу 3 з аксіом ймовірності розділу 1.2 та формулу (2) розділу 1.3), одержимо:

.

Якщо P(А H_i)=0, то відповідна складова у сумі повинна бути пропущена.

Приклад 1. Футбольна команда грає за схемою 1-4-2-4. Ймовірність забити пенальті для нападника 0.8, півзахисника 0.7, захисника 0.6, вратаря 0.5. Знайти ймовірність того, шо навмання обраний ігрок забиває пенальті.

Розв’язання. Нехай подія А – навмання обраний ігрок забиває пенальті. Призначимо гіпотези:

– вибір нападника;

– вибір півзахисника,

– вибір захисника;

– вибір вратаря. . За формулою повної ймовірності, маємо

(4 0.8+2 0.7+4 0.6+1 0.5)= (3.2+1.4+2.4+0.5)= =0.68.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: