|
|
Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідківДля того, щоб знайти ймовірність події за формулою Правило додавання. Нехай деякий об ‘єкт α можна обрати m1 способами, а інший об’єкт β – m2 способами. Тоді вибір одного з цих об’
Обидва правила узагальнюються на випадок будь-якої скінченної кількості дій. Приклад 1. Для складання номера об’єкту використовуються цифри 1, 2, 3, 4. Скільки об’єктів можна пронумерувати, якщо один номер повинен складатися не більше, ніж з трьох цифр? Розв’язання. а) Цифри у номері не повторюються. Для складання тризначного номера потрібно виконати послідовно одну за іншою три дії – вибір першої, другої та третьої цифр. Ці вибори можна здійснити відповідно 4, 3 та 2 способами. Отже, на підставі правила множення, тризначних номерів буде N3=4·3·2=24. Аналогічним чином знаходимо кількість двозначних N2=4·3=12 та однозначних номерів N1=4. Тепер за правилом додавання знаходимо загальну кількість об’єктів, які можна занумерувати N=N1+N2+N3=40. б) Цифри у номері можуть повторюватись. Вибір будь-якої цифри можна здійснити 4 способами. Тому N=N1+N2+N3=4· 4· 4+4· 4+4=84. Нехай задана множина із n різних елементів. Сукупність k (k £ n) із цих елементів, розташованих у певному порядку (упорядкована підмножина), називається розміщенням із n елементів по k. Різні розміщення відрізняються одне від іншого порядком чи складом елементів. Наприклад, у множини {a,b,c} із трьох елементів розміщеннями по два елементи є упорядковані підмножини (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b). Кількість таких розміщень позначають
Розміщення із n елементів по n називаються перестановками. Різні перестановки відрізняються одна від іншої лише порядком елементів. Наприклад, перестановками у множини {a,b,c} із трьох елементів будуть упорядковані підмножини (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a). Кількість перестановок дорівнює Добуток цілих чисел від 1 до n прийнято позначати n! (n–факторіал). Тоді
Набір k (k £ n) із заданих n елементів називається сполученням (комбінацією) із n елементів по k. Різні комбінації відрізняються одна від іншої хоча б одним елементом. Наприклад, у множини {a,b,c} із трьох елементів сполученнями по два елементи є підмножини {a,b}, {a,c}, {b,c}. Кількість таких комбінацій позначають
Справедливі такі співвідношення:
Приклад 2. З n деталей, серед яких m мають дефект, беремо k деталей. Знайти ймовірність того, що серед них буде l дефектних деталей (рис.1.14).
Приклад 3 У групі 18 студентів, серед яких 6 відмінників. Навмання обирають 4 студентів. Яка ймовірність того, що серед них 2 відмінника? Розв’язання. Тут =6 Багато прикладних задач (наприклад, котроль якості партії виробів) зводяться до наступної схеми.. Розглядається серія із n незалежних випробувань з двома можливими наслідками, в кожному з яких подія A може відбуватись з імовірністю p (випробування незалежні, якщо ймовірність будь-якого наслідку будь-якого випробування не залежить від того, які були наслідки інших випробувань). Нехай Aj (j=1,2,...,n) позначає подію, що означає наставання події A у j-му випробуванні. Тоді кожну з 2n елементарних подій серії можна зобразити у вигляді добутку n множників, кожен з яких дорівнює Aj або Теорема. Ймовірність pn(k) того, що у серії з n випробовувань подія A настає k раз, задається рівністю
Доведення. Події, що нас цікавить, сприяють ті елементарні події, у яких події Aj спостерігаються k раз, а події Аj – (n – k) раз (наприклад,
Приклад 1. Точки та тире телеграфного коду спотворюються незалежно одне від іншого з ймовірністю 0.12. Знайти ймовірність події, яка полягає у тому, що в слові з п’яти символів буде спотворено: а) два символи; б) не більше одного символу. Розв’язання. Задача зводиться до схеми Бернуллі при n = 5 і p = 0.12. а) k=2 і на підставі формули (1) маємо
б) k=0 або k=1 і тому ймовірність дорівнює P5(0)+ P5(1)= 0.885+ 5·0.12·0.884=0.5377+ 0.3598= 0.8875.   Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
, потрібно знати і загальну кількість наслідків випробування і число наслідків, які сприяють настанню цієї події. Суттєву роль при підрахунках кількості наслідків грають комбінаторні методи, основою яких є наступні два правила.
єктів (або α, або β) можна виконати m1+m2 способами. Правило множення. Нехай об‘єкт α можна обрати m1 способами, а після кожного такого вибору об‘єкт β можна обрати m2 способами. Тоді обидва вибори можуть бути виконані m1·m2 способами (рис.1.13).
. Застосовуючи правило множення, одержимо
=n!, 
. Оскільки 
= 
.
Розв’язання. Нехай подія A означає, що взято l дефектних деталей. Оскільки порядок вибору деталей не має значення, то число способів N взяти k деталей із n дорівнює 
. Кількість способів M, якими можна взяти заданий набір деталей, дорівнює на підставі правила множення добутку кількості способів взяти l деталей із m (
) на кількість способів взяти k-l стандартних деталей із n-m (
):
.Таким чином, на.підставі формули (1) одержуємо
(2)
= 18, 
= 6, 
= 4, 
=2. Нехай подія 
- вибір 2 відмінників з 4. За формулою (2) 
,Оскільки 
17 
.
.
, 
і т.п.). В силу незалежності подій Aj ймовірність кожної такої елементарної події на підставі теореми множення ймовірностей дорівнює pk(1– p)n-k. Оскільки подібних елементарних подій буде 
.
·0.122·0.883 = 0.0981;