|
Кореляційний момент випадкових величин ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 Означення 1. Кореляційним моментом (кореляцією, коваріацією) K(X,Y) випадкових величин Х та У називається число K (X,У) = М [(X-MX)(Y-MY)] (9) Ця величина має розмірність, що дорівнює добутку розмірностей випадкових величин X та У. Скориставшись властивостями математичного сподівання, можна привести формулу (9) до вигляду К (Х, У) =М (Х У) -МХ МУ. (10)
Випадкові величини називаються корельованими при і некорельованими при . Якщо випадкові величини незалежні, то із (10) виходить, що - із незалежності випадкових величин випливає їх некорельованість. Якщо то випадкові величини є залежними -із корельованості випадкових величин випливає їх залежність. Однак, із не випливає незалежність випадкових величин - із некорельованості випадкових величин не випливає їх незалежність.
Означення 2. Коефіцієнтом кореляції випадкових величин Х та У називається число . (11) Приклад 3. Знайти кореляційний момент координат випадкового вектора, заданого таблицею:
Розв'язання. За формулами (6) знаходимо = 2 0.3+2 2 0.5+3 l 0.1+ +3 2 0.1=3.5, MX =2 0.3+2 0.5+3 0.1+3 0.1=2.2, МУ =1 0.3+1 0.1+2 0.5+3 0.1=1.6. Тоді за формулою (10) одержимо К (Х,У)=3.5-2.2 1.6= -0.02. Регресія Якщо ми знаємо розподіл однієї координати дискретного випадкового вектора при умові, що інша координата приймає певне значення: , , то можна ввести поняття умовного математичного сподівання. Означення 1.Умовним математичним сподіванням випадкової величини Y при умові, що випадкова величина Х прийняла одно з своїх можливих значень називається число, яке знаходиться за формулою (12) Аналогічно визначається умовне математичне сподівання . При зміні х від до взагалі кажучи, змінюється умовне математичне сподівання яке можна розглядати у цьому випадку як функцію х: . (13) Ця функція називається регресією У на X (Y відносно X), а її графік - лінією регресії Y на X. Лінія регресії описує зміну середніх значень випадкової величини У при переході від одного значення Х до іншого. Аналогічно визначається регресія Х на У (Х відносно У) і лінія регресії Х на У: . Для побудови рівняння регресії за означенням (12)-(13) необхідно знати закон розподілу двовимірного випадкового вектора (таблицю з розділа 1.2). На практиці дослідник звичайно має у своєму розпорядженні лише виборку пар чисел скінченного об’єму та рівняння регресії визначається методом найменших квадратів (МНК). Доведено, що одержана по МНК функція є найкращим наближенням до дійсної лінії регресії . Випадкові величини X та У називаються лінійно корельованими, якщо лінії регресії є прямими. Рівняння цих прямих такі: (У на X) (14) (X на У) (1 ) Якщо лінія регресії У на X (X на У)не є прямою, можна використати першу (другу) із прямих регресії (14)- (1 ) в якості наближення до істинної лінії регресії. У цьому випадку ця пряма називається прямою наближеної регресії. У зв'язку з цим відзначимо, що функція (функція ) єнайкращим наближенням до Y (до X)серед усіх лінійних функцій випадкової величини X (випадкової величини У). Кутові коефіцієнти та прямих регресії (14)- (1 ) називаються відповідно коефіцієнтами регресії У на X та X на У. При цьому , (15) Прямі регресії (14)- (1 ) проходять через точку з координатами (MX; MY), При прямі регресії співпадають, а при - паралельні осям координат. Приклад 4. Задан закон розподілу дискретного випадкового вектора . 1. Знайти а) закони розподілу його координат и ; б) їх математичні сподівання та дисперсії; в) кореляційний момент ; г) коефіціент кореляції . 2. Знайти умовні розподіли та з’ясувати, чи залежні та .
3. Побудувати функцію регресії . Знайти рівняння лінійної регресії на та порівняти її на графику з функцією регресії Розв’язання. 1. а) На підставі формули (1) одержимо розподіли координат та .
б) 0 0.45+2 0.25+4 0.3=1.7; 4 0.25+16 0.3=5.8; 5.8-2.89=2.91; -4 0.55-1 0.45=-2.65; (-4 0.55+(-1 0.45=8.8+0.45=9.25; 9.25-(2.65 =9.25-7.0225=2.2275. в) =2 (-4) 0.05+4 (-4) 0.1+2 (-1) 0.2+4 (-1) 0.2=-0.4-1.6-0.4-0.8=-3.2. К (Х, У) =М (Х У) -МХ МУ =-3.2-1.7 (-2.65) = -3.2+4.505=1.305. г) = . 2. Знайдемо умовні розподіли ( =1,..., , =1,..., ; =2, =3), умовні закони розподілу та умовні математичні сподівання для =0, =2, =4. а) =0. Оскільки =-4/ =0} = = , а =-1/ =0}= = , то умовний закон розподілу =0}:
,а умовне математичне сподівання =- 4 б) =2. Оскільки =-4/ =2}= = , а =-1/ =2}= = , то умовний закон розподілу :
,а умовне математичне сподівання =-4 -1 =- . в) =4. Оскільки = = , а = = , то умовний закон розподілу : а умовне математичне сподівання
=-4 -1 =-2. Оскільки, наприклад, =-4/ Х =0}= =-4}=0.55, то випадкові величини Х та У - залежні. 3. Функція регресії, тобто залежність умовного математичного сподівання від задається таблицею:
Рівняння прямої регресії У на Х має вигляд + , де = 0.45, aбо у =-2.65+0.45(х-1.7), aбо у =-3.415+0.45х. (*) Пряма регресії проходить через точку (МХ; МУ)=(1.7;-2.65). Другу точку на прямій одержимо, поклавши в рівнянні (*) х =0. Тоді друга точка: (0;-3.415). На рис.4 зображені функція регресії та пряма регресії.
.. Рис.4 ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|