|
|
Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.Лекция 1. Двойной интеграл. Задача об объеме цилиндрического тела. К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции. К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела. - Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания R его объем равен - Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосями - Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область
Двойной интеграл [1]
Теорема существования [2]. Пусть функция
Замечание [4]. Предел этот не зависит от - способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А - выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения, - способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В
Свойства двойного интеграла [5].
1. Линейность б) свойство однородности Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Они равны интегральным суммам для правых частей равенств, так как число слагаемых конечно. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.
2. Аддитивность. Доказательство. Выберем разбиение области D так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы D1, так и элементы D2. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.
3. 4. Если в области D выполнено неравенство Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу. Заметим, что, в частности, возможно 5. Теорема об оценке. Если существуют константы
Доказательство. Интегрируя неравенство
6. Теорема о среднем (значении интеграла). Существует точка Доказательство. Так как функция Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует цилиндр постоянной высоты
  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
равен 
.
, равен 
.
с площадью 
изменяется от точки к точке так, что конец ее описывает некоторую поверхность 
(
). Тогда логично разбить область 
.
так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и 
(условие А)
2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» Mi и вычислим в них значения функции 
3. Построим интегральную сумму 
, где 
- площадь 
(условие В), получим двойной интеграл как предел интегральных сумм: 
непрерывна в замкнутой односвязной области D[3]. Тогда двойной интеграл существует как предел интегральных сумм.
.
. = 
+ 
. = 
, то 
+ 
-площадь области D.
, то 
(неравенство можно интегрировать).
, что 
, то
(свойство 4), получим 
. По свойству 1 константы 
, что 
.
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве 
и верхняя грань 
. Выполнено неравенство 
. Деля обе части на 
, получим 
. Но число 
заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция 
функция должна принимать это значение. Следовательно, 
, объем которого равен объему цилиндрического тела 