|
Задача о потоке жидкости через поверхность.
Поток жидкости через поверхность
Здесь мы вычисляли дифференциал потока, а затем интегрировали по всей поверхности – это метод дифференциалов при построении интеграла. Можно строить интеграл с помощью метода интегральных сумм, как мы действовали обычно. - Введем разбиение области на элементы так, чтобы соседние элементы не содержали общих внутренних точек (условие А), - на элементах разбиения отметим точку М. Предполагая перемещение частиц жидкости постоянным на элементе и равным - Измельчим разбиение при условии
По виду это – поверхностный интеграл первого рода, он и имеет те же свойства, что поверхностный интеграл первого рода, но имеет еще и свойство ориентируемости. Интеграл по внешней стороне поверхности отличается знаком от интеграла по внутренней стороне поверхности, так как на различных сторонах поверхности нормали в той же точке нормали направлены по одной прямой в различные стороны. Теорема существования формулируется так же, как для поверхностного интеграла первого рода с тем же замечанием о независимости интеграла от способа выбора разбиения (лишь бы выполнялись условия А), от выбора точек на элементах разбиения, от способа измельчения разбиения (лишь бы выполнялось условие В).
Запись поверхностного интеграла второго рода.
Запишем вектор перемещений частиц и нормаль в точке M(x, y, z), выделяя скалярные компоненты векторов
Пример. Найти поток радиуса-вектора через полную поверхность тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью x + y + z = 1
Поток равен Вычислим поток через двойные интегралы проектированием на координатные плоскости. Поток радиус-вектора через координатные плоскости нулевой. Тогда
= Получили тот же результат.
Лекция 8 Скалярное и векторное поля. Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано скалярное поле j (M), если в этой области задана скалярная функция j (M). Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано векторное поле Например, масса или температура частиц в комнате – скалярные поля, скорость или силы взаимодействия частиц – векторные поля. В интегралах первого рода:двойных, криволинейных, поверхностных мы имели дело со скалярным полем – распределением масс точек кривой или поверхности в пространстве. В интегралах второго рода вычислялись характеристики векторных полей: работа векторного поля (силового поля) в криволинейном интеграле, поток векторного поля в поверхностном интеграле. Рассмотрим подробнее основные характеристики скалярных и векторных полей.
Скалярные поля.
Линии уровня плоского поля j (x, y) – кривые, на которых значения функции постоянны j (x, y) = С. Например, линии равной высоты, нанесенные на географической карты (h (x, y) = 0 – уровень моря, h = 7000м – немногие горные вершины, h = - 10000м – самые глубокие океанские впадины). Поверхности уровня пространственного поля j (x, y, z) – поверхности, на которых значения функции постоянны j (x, y, z) = С. Например, поверхности равной температуры или давления в атмосфере. Любая линия на поверхности уровня – это линия уровня. Пример. Задано поле Линии или поверхности различных уровней не пересекаются. Чем чаще (гуще) поверхности или линии уровня, тем интенсивнее изменение поля. Градиент поля – вектор Утверждение. Градиент скалярного поля ортогонален его поверхности уровня. Доказательство. Пусть точка (x, y, z) остается на поверхности уровня g(x, y, z) = 0 при вариациях переменных. Тогда равенство превращается в тождество, а тождество можно дифференцировать.
Вектор
Производная скалярного поля по направлению
Пример. Найти производную скалярного поля g(x, y, z) = x2 + y2 + z3 по направлению {1,3,2} в точке (1,0,4)
Векторное поле.
Векторная линия -линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к ней. Уравнения векторной линии легко получить из условия коллинеарности векторов поля
Пример. Написать уравнения векторных линий векторного поля
Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями.
![]() ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|