ПОЛЕЗНОЕ

Как развить коммуникабельность Почему могут возникнуть ссоры между супругами, в то время как их отношения кажутся прочными Почему появляется страх? Как стать богатым и отойти от дел молодым Советы от доктора Айболита «Как быть здоровым» Как сделать приглашение правильно Точка зрения. Как сделать сотрудника вовлеченным? Лень и как с ней бороться. Психологические аспекты Способов заработать с помощью internet Лекции по Основам предпринимательства Последнее добавление

КАТЕГОРИИ

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляя коэффициенты разложения по формуле , где .

(интегрируя предыдущую формулу)

, .

Пусть записано разложение функции в степенной ряд. Возникает вопрос, всегда ли это разложение (степенной ряд) сходится именно к этой функции, а не к какой-либо другой.

Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к той функции, по которой он построен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при .

Доказательство. Запишем формулу Тейлора, известную из 1 семестра

Необходимость. Обозначим Sn – частичную сумму ряда Тейлора.

Если ряд Тейлора сходится к , то . Но по формуле Тейлора . Следовательно, .

Достаточность. Если , то , а - частичная сумма ряда Тейлора. Поэтому ряд Тейлора сходится именно к функции .

Теорема. Пусть все производные функции ограничены в совокупности одной константой. Тогда ряд Тейлора сходится к функции .

Доказательство. Оценим остаточный член формулы Тейлора

, так как показательная функция растет медленнее, чем n!. Поэтому (по предыдущей теореме) ряд Тейлора сходится к функции .

В качестве примера применения теоремы рассмотрим разложение в ряд Маклорена функций sin x, cos x. Эти ряды сходятся к функциям, так как их производные ограничены в совокупности единицей на всей оси.

В разложении функции e^x на отрезке [a, b] все производные функции ограничены константой e^b, поэтому ряд для функции e^x сходится к ней на любом конечном отрезке.

Ряды для функций sh x, ch x можно получить линейной комбинацией экспонент, следовательно, ряды для этих функций сходятся к ним на всей оси.

Рассмотрим разложение в ряд функции . Предположим, что ряд сходится к функции . Можно, дифференцируя ряд почленно, установить справедливость соотношения (выведите его в качестве упражнения). Решая это дифференциальное уравнение, получим .

Применение степенных рядов.

1. Вычисление значений функций

Пример. Вычислить arctg 0.3 с точностью .

По следствию из признака Лейбница остаток числового знакочередующегося ряда оценивается модулем первого отброшенного члена.

. Из этого неравенства найдем n, n=2. .

Если разложение – знакопостоянный ряд, то надо подобрать какой-либо мажорантный ряд с известной суммой, например, оценить сверху члены ряда членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и оценку суммы ряда проводить по сумме прогрессии.

2. Вычисление интегралов.

Пример. Вычислить

3. Решение дифференциальных уравнений.

Пример.

1 способ. Представим в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами до (n – заранее определено). Это разложение подставляется в левую и правую часть, и приравниваются коэффициенты при равных степенях x. Решается система алгебраических уравнений и определяются коэффициенты.

Заметим, что при дифференцировании степень понижается на единицу, поэтому в разложении нужно запасать членов на k больше n, где k – порядок дифференциального уравнения.

Разложение проводится по степеням (x - x₀₎, если начальные условия заданы в точке x₀.

В данном уравнении производится разложение в ряд Маклорена, так как начальное условие задано в нуле.