|
|
Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций. ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляя коэффициенты разложения по формуле
Пусть записано разложение функции в степенной ряд. Возникает вопрос, всегда ли это разложение (степенной ряд) сходится именно к этой функции, а не к какой-либо другой.
Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к той функции, по которой он построен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при
Доказательство. Запишем формулу Тейлора, известную из 1 семестра
Необходимость. Обозначим Sn – частичную сумму ряда Тейлора.
Если ряд Тейлора сходится к Достаточность. Если
Теорема. Пусть все производные функции Доказательство. Оценим остаточный член формулы Тейлора
В качестве примера применения теоремы рассмотрим разложение в ряд Маклорена функций sin x, cos x. Эти ряды сходятся к функциям, так как их производные ограничены в совокупности единицей на всей оси. В разложении функции ex на отрезке [a, b] все производные функции ограничены константой eb, поэтому ряд для функции ex сходится к ней на любом конечном отрезке. Ряды для функций sh x, ch x можно получить линейной комбинацией экспонент, следовательно, ряды для этих функций сходятся к ним на всей оси. Рассмотрим разложение в ряд функции
Применение степенных рядов.
1. Вычисление значений функций
Пример. Вычислить arctg 0.3 с точностью
По следствию из признака Лейбница остаток числового знакочередующегося ряда оценивается модулем первого отброшенного члена.
Если разложение – знакопостоянный ряд, то надо подобрать какой-либо мажорантный ряд с известной суммой, например, оценить сверху члены ряда членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и оценку суммы ряда проводить по сумме прогрессии.
2. Вычисление интегралов. Пример. Вычислить
3. Решение дифференциальных уравнений.
Пример. 1 способ. Представим
Заметим, что при дифференцировании степень понижается на единицу, поэтому в разложении нужно запасать членов на k больше n, где k – порядок дифференциального уравнения. Разложение проводится по степеням (x - x0), если начальные условия заданы в точке x0. В данном уравнении производится разложение в ряд Маклорена, так как начальное условие задано в нуле.
Подставляем разложения в правую и левую части уравнения
Удерживаем в разложении члены четвертых степеней, в коэффициентах при x5 будут
Отсюда
2 способ. Представим
Содержание Часть1 Кратные, криволинейные интегралы, теория поля
Лекция 1 Двойной интеграл.. 2
Лекция 2. Приложения двойного интеграла. 6
Лекция 3. Тройной интеграл. 10
Лекция 4. Приложения тройного интеграла 13
Лекция 5. Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства 15
Лекция 6. Формула Грина 20
Лекция 7 Поверхностныйинтеграл. 26
Лекция 8 Скалярное и векторное поля. 30
Лекция 9 Формула Стокса 35
  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
, где 
.
, 
(интегрируя предыдущую формулу)
, 
.
.
.
, то 
. Но по формуле Тейлора 
. Следовательно, 
.
- частичная сумма ряда Тейлора. Поэтому ряд Тейлора сходится именно к функции 
Тогда ряд Тейлора сходится к функции 
, так как показательная функция растет медленнее, чем n!. Поэтому (по предыдущей теореме) ряд Тейлора сходится к функции 
. Предположим, что ряд сходится к функции 
. Можно, дифференцируя ряд почленно, установить справедливость соотношения 
(выведите его в качестве упражнения). Решая это дифференциальное уравнение, получим 
.
.
. Из этого неравенства найдем n, n=2. 
.
в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами до 
(n – заранее определено). Это разложение подставляется в левую и правую часть, и приравниваются коэффициенты при равных степенях x. Решается система алгебраических уравнений и определяются коэффициенты.
.
.
.
=. 
.
