Сложение синусоидальных величин.

Даны две э.д.с.:

и . Найти суммарную э.д.с. е. Отложив амплитуды э.д.с. Е_{м 1} и Е_{м 2}, как показано на рис.1, и сложив эти амплитуды, получим амплитуду суммарной э.д.с. Е_м. из треугольника ОАВ имеем:

, (9)

а начальную фазу суммарной э.д.с. определим из соотношения:

, (10)

где Е_м sin φ = E_{м 1} sin φ ₁ + E_{м 2} sin φ ₂, Е_м cos φ = E_{м 1} cos φ ₁ + E_{м 2} cos φ ₂ – проекции векторов на оси ординат и абсцисс при t = 0. Следовательно, зная Е_м и φ, можно написать:

Рисунок 1.

ЗАДАЧИ

1. Частота переменного тока а) f = 50 Гц; б) f = 60 Гц. Определить период Т.

2. Частота переменного тока а) f = 60 Гц; б) f = 50 Гц. Определить угловую частоту ω.

3. в цепь переменного тока включен вольтметр, который показывает действующее значение напряжения а) U = 380 В; б) U = 660 В; в) U = 220 В; г) U = 127 В; Вычислить амплитуду напряжения U_м.

4. Амплитуда тока а) I_м = 141 А; б) I_м = 126,9 А; в) I_м = 282 А; г) I_м = 211,5 А. Чему равно действующее значение тока I?

5. Прямоугольная катушка, число витков которой w = 20, вращается в однородном магнитном поле с постоянной скоростью п = 3000 об/мин (рис.1). Определить амплитуду Е_м и частоту f, э.д.с., индуктируемой в обмотке катушки, и построить кривые изменения во времени э.д.с. е и магнитного потока Ф, сцепляющегося с катушкой, если площадь катушки S = 8 см ², а магнитная индукция В = 0,05 тл.

Рисунок 1.

6. Вычислить мгновенное значение э.д.с. е = Е_м sin ωt для следующих моментов времени: a) t = 0; б) t = 0,0025; в) t = 0,005; г) t = 0,0075; д) t = 0,01; е) t = 0,0125; ж) t = 0,015; з) t = 0,0175; и) t = 0,02; к) t = 0,0225 сек., если амплитуда э.д.с. Е_м = 179,6 В, а частота 1) f = 50 Гц; 2) f = 60 Гц. Построить кривую изменения э.д.с. во времени.

7. По проводнику проходит постоянный ток I = 10 А. Какова будет амплитуда тока I_м, если через проводник пропустить переменный ток, который будет выделять в проводнике то же самое количество тепла, что и постоянный?

8. Генератор переменного тока вращается со скоростью п = 750 об/мин и имеет число пар полюсов а) р = 4; б) р = 2; в) р = 1; г) р = 8. Определить частоту тока f, период Т, угловую частоту ω и угловую скорость ω_мех вращения генератора.

9. Один генератор переменного тока имеет число пар полюсов р ₁ = 8 и дает ток частотой f ₁ = 60 Гц; другой генератор дает ток частотой f ₂ = 50 Гц и вращается со скоростью 50 об/мин больше первого. Сколько пар полюсов р ₂ у второго генератора?

10. Один генератор переменного тока имеет число пар полюсов р ₁ = 2 и вращается со скоростью п ₁ = 1500 об/мин, а другой генератор вращается со скоростью п ₂ = 1000 об/мин. Сколько пар полюсов р ₂ должен иметь второй генератор, чтобы он мог работать параллельно с первым генератором, т.е. иметь ту же частоту?

11. Построить кривые изменения во времени мгновенных значений напряжения и тока для следующих случаев:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Для всех случаев частота а) f = 50 Гц; б) f = 60 Гц.

12. Найти среднее значение тока I_ср за половину периода, если мгновенное значение тока в цепи i = 40 sin ωt, A.

13. Напряжение, приложенное к цепи, . Определить амплитуду напряжения U_м, если мгновенное значение напряжения в момент времени t = 0 равно 89,5 в.

Цепь с активным сопротивлением.

При синусоидальном напряжении

на зажимах цепи (рис. 2) ток цепи с активным сопротивлением также изменяется по закону синуса, т.е.

, (11)

где - амплитуда тока, А; (12)

u – мгновенное значение напряжения, В;

r – активное сопротивление, Ом;

U_м – амплитуда напряжения, В.

Рисунок 2. Рисунок 3.

Ток и напряжение совпадают по фазе (рис. 3).

Разделив левую и правую части уравнения (12) на , получим действующее значение тока:

, (13)

где U – действующее значение напряжения, В.

Мгновенной мощностью называется скорость поступления в цепь электромагнитной энергии в данный момент времени, равная произведению мгновенного значения напряжения и на мгновенное значение тока i:

, (14)

где р – мгновенная мощность, Вт.

Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью электрической цепи:

, (15)

где Р – активная мощность, Вт.

Цепь с индуктивностью.

При прохождении синусоидального тока по катушке (рис. 4) обладающей

, (16)

Рисунок 4. Рисунок 5. Рисунок 6.

постоянной индуктивностью (активным сопротивлением катушки пренебрегаем), в ней создается синусоидальный магнитный поток , который индуктирует э.д.с. самоиндукции:

, (17)

где e_L – э.д.с. самоиндукции, В;

L – индуктивность катушки, Гн;

Ф – мгновенное значение магнитного потока, Вб;

Ф_м – амплитуда магнитного потока, Вб.

Из уравнений (16) и (17) видно, что э.д.с. самоиндукции по фазе отстает от тока на четверть периода или на угол 90^о (рис. 5 и 6).

Э.д.с. самоиндукции имеет такое направление, что всегда препятствует изменению тока, поэтому, чтобы по катушке проходил переменный ток, необходимо приложить к зажимам катушки напряжение и, равное по величине, но противоположное по направлению э.д.с. самоиндукции е_L, т.е.

, (18)

где - амплитуда напряжения. (19)

Из уравнений (16) и (18) видно, что ток отстает по фазе от напряжения, приложенного к катушке, на четверть периода или на угол 90^о.

Разделив левую и правую части уравнения (19) на , получим действующее значение напряжения:

, (20)

откуда действующее значение тока

, (21)

где - индуктивное сопротивление, Ом.

Мгновенная мощность равна:

, (22)

т.е. мгновенная мощность изменяется по синусоиде с двойной частотой (рис. 5).

Цепь с индуктивностью обладает лишь реактивной мощностью, которая равна:

, (23)

где Q – реактивная мощность, вар, а активная мощность равна нулю. Это объясняется тем, что в первую четверть периода, когда ток возрастает от нуля до наибольшего значения I_м, ток i и напряжение и имеют одинаковое направление, а э.д.с. самоиндукции е_L имеет направление, противоположное току. Поэтому источник приложенного напряжения совершает положительную работу (р = иi > 0) против э.д.с. самоиндукции, и в магнитном поле индуктивности запасается энергия, равная

, (24)

где W_м.макс – максимальное значение энергии, запасаемой в магнитном

поле, Дж.

Во вторую четверть периода ток (в этом случае i и е_L имеют одинаковое направление, а и имеет направление, противоположное току i) уменьшается от I_м до нуля и магнитное поле постепенно распадается, а энергия, запасенная в магнитном поле, возвращается источнику приложенного напряжения. Следовательно, в цепи с индуктивностью происходит непрерывный обмен энергии между источником напряжения и магнитным полем индуктивности.

Цепь с емкостью.

Если к зажимам источника, создающего напряжение присоединить

, (25)

емкость (конденсатор) С (рис. 7), то конденсатор будет заряжаться и разряжаться и цепи будет проходить переменный ток. На самом деле, если за бесконечно малый промежуток времени dt напряжение источника возрастет на величину du, то к обкладкам конденсатора притечет электрический заряд: dq = Cdu.

Так как dq = idu, то ток, проходящий по цепи, будет:

, (26)

где - амплитуда тока, А; (27)

С – емкость конденсатора, Ф.

Из уравнений (25) и (26) видно, что ток опережает по фазе напряжение на четверть периода или на 90^о (рис. 8 и 9). Разделив левую и правую части уравнений (27) на , получим действующее значение тока:

, (28)

где – емкостное сопротивление, Ом.

Мгновенная мощность цепи с емкостью

, (29)

т.е. мгновенная мощность изменяется по синусоиде с двойной частотой, и наибольшее значение ее будет равно .

Рисунок 7. Рисунок 8.

В первую четверть периода, когда напряжение возрастает от нуля до наибольшего значения U_м, конденсатор заряжается, и энергия, сообщаемая источником напряжения конденсатору, запасается в электрическом поле и равна:

, (30)

где W_э.макс – максимальное значение энергии, запасаемой в электрическом поле, дж, что соответствует положительному значению мощности.

Во вторую четверть периода, когда напряжение уменьшается от U_м до нуля, конденсатор разряжается, а энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора, возвращается источнику напряжения, что соответствует отрицательному значению мощности.

Следовательно, энергия, расходуемая в цепи с емкостью за полупериод или за целое число полупериодов, а также и активная мощность равны нулю.

6. Последовательное соединение активного сопротивления r, индуктивности L и емкости С.

При последовательном соединении активного сопротивления r, индуктивности L и емкости С (рис. 9) напряжение, приложенное к цепи, на основании второго закона Кирхгофа, будет:

, (31)

где – напряжение на активном сопротивлении, в;

– напряжение на индуктивности L, уравновешивающее э.д.с.

самоиндукции , в;

– напряжение на обкладках конденсатора, в.

Уравнение (31) можно представить в векторной форме для действующих значений:

. (32)

Это уравнение дает возможность построить векторную диаграмму для данной цепи.

В произвольном направлении откладываем вектор тока (рис. 10). По направлению вектора тока откладываем вектор напряжения на активном сопротивлении, под углом 90^о в сторону опережения вектора , откладываем вектор напряжения на индуктивности , а под углом 90^о в сторону отставания от вектора откладываем вектор напряжения на емкости . Складывая векторы , и , получим вектор напряжения на зажимах всей цепи.

Треугольник ОАВ (рис. 10) называется треугольником напряжений, который можно рассматривать как разложение вектора приложенного напряжения на две составляющие: активную составляющую напряжения (активное напряжение) , совпадающую по фазе с вектором тока , и реактивную составляющую (реактивное напряжение) , опережающую (или отстающую, в зависимости от того, что преобладает в цепи – индуктивное или емкостное сопротивление) вектор тока на 90^о.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: