|
|
Поток событий. Простейший поток и его свойства. ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8 Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции, поток включений приборов в бытовой электросети; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение, поток заявок на обслуживание клиентов, поступающих в склад и т. д. События, образующие поток, в общем виде могут различными, но здесь мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для СМО является случайный поток заявок. Рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особенно простыми свойствами. Для этого введем ряд определений. 1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на определенный отрезок времени зависит только от длины этого отрезка и не зависит от того, где именно на числовой оси, характеризующей время, расположен этот участок. 2. Поток событий называется потоком без последствий, если для любых неперекрывающихся отрезков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. 3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок Если поток событий обладает всеми тремя свойствами, перечисленными выше, то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 1 – 3 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона. Рассмотрим подробнее условия 1 – 3, посмотрим, чему они соответствуют для потока заявок и за счет чего они могут нарушаться. 1. Условию стационарности удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частотности, для стационарного потока характерна постоянная плотность (среднее число заявок в единицу времени). На практике часто встречаются потоки заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не может считаться стационарным (ночью плотность вызовов значительно меньше, чем днем). Заметим, что так обстоит дело и со всеми физическими процессами, которые мы называем «стационарными»: в действительности все они стационарны лишь на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности – лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения анализа. Во многих задачах теории массового обслуживания представляет интерес проанализировать работу системы при постоянных условиях; тогда задача решается для стационарного потока заявок. 2. Условие отсутствия последствия – наиболее существенное для простейшего потока – означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, поток пассажиров в метро, можно считать потоком без последствий потому, что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а не другой момент, как правило, не завязаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Однако условие отсутствия последствий может быть легко нарушено за счет появления такой зависимости. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последствия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой. Вообще нужно заметить, что выходной поток (или поток обслуженных заявок), покидающих систему массового обслуживания, обычно имеет последствие, даже если входной поток его не имеет. Последствие, присущее выходному потоку, необходимо учитывать, если этот поток является входным для какой-либо другой системы массового обслуживания (так называемое «многофазовое обслуживание», когда одна и та же заявка последовательно переходит из одной системы в другую). 3. Условие ординарности означает, что заявки приходят по одиночке, а не парами. Простейший поток играет среди потоков событий вообще особую роль, до некоторой степени аналогичную роли нормального закона среди других законов распределения. Мы знаем, что при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчиненных практически любым законом распределения, получается величина, приближенно распределенная по нормальному закону. Аналогично можно доказать, что при суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последствием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Условия, которые должны для этого соблюдаться, аналогичны условиям центральной предельной теоремы, а именно – складываемые потоки должны оказывать на сумму приблизительно равномерно малое влияние. На практике оказывается обычно достаточно сложить 4 – 5 потоков, чтобы получит поток, с которым можно оперировать как с простейшим. Простейший поток играет в теории массового обслуживания особую роль. Во-первых, простейшие и близкие к простейшим потоки заявок часто встречаются на практике (причины этого изложены выше). Во-вторых, даже при потоке заявок, отличающемся от простейшего, часто можно получить удовлетворительные по точности результаты, заменив поток любой структуры простейшим с той же плотностью. Рассмотрим на Выделим произвольный участок времени длинной t. Вероятность того, что за время t произойдет ровно m событий, равна
где l - интенсивность потока заявок, т. е. среднее число заявок, приходящихся на единицу времени:
где t - среднее значение интервала между двумя соседними заявками. В частности, вероятность того, что отрезок окажется пустым (не произойдет ни одного события), будет равна
Важной характеристикой потока является закон распределения длины промежутка между соседними событиями. Рассмотрим случайную величину T – промежуток времени между произвольными двумя соседними событиями в простейшем потоке и найдем ее функцию распределения
Перейдем к вероятности противоположного события
Это есть вероятность того, что на отрезке времени длиной t, начинающемся в момент
откуда
Дифференцируя, найдем плотность распределения
Закон распределения с плотностью (*) называется показательным законом, а величина Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение для случайной величины распределенной по показательному закону соответственно равны
Показательный закон распределения обладает одним замечательным свойством, а именно: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка. Время обслуживания. Кроме характеристик входного потока заявок, режим работы системы зависит еще от характеристик производительности самой системы: числа каналов n и быстродействия каждого канала. Одной из важнейших величин, связанных с системой, является время обслуживания одной заявки Рассмотрим случайную величину
а
Для практики особый интерес представляет случай, когда величина
где параметр m - интенсивность потока обслуживания, величина, обратная среднему времени обслуживания одной заявки:
где
  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
, 
, …, 
, … на числовой оси, соответствующих моментам появления событий.
двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.
простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек.
,
.
.
можно вычислить по формуле
,
.
- его параметром.
, 
, 
.
. Эта величина может быть как неслучайной, так и случайной. Очевидно, более общим является случайное время обслуживания.
ее функцию распределения:
.
- плотность распределения:
.
,
- среднее время обслуживания.