Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Интегралы Коши-Лагранжа и Бернулли.





Уравнения Бернулли и Лагранжа-Коши. Потенциал скорости

в общем случае может быть функцией вида φ = φ(x, y, z, t), в стационарных течениях--φ =φ (x, y, z). Заметим, что ввиду независимости операций дифференцирования— dφ/dt и gradφ, можно менять их порядок:

и, с учетом сказанного, в данном случае, уравнение (5.7) приводится

к виду

интегрирование которого приводит к выражению 1-го интеграла

уравнений движения

называемого интегралом Лагранжа-Коши. Здесь f(t) — одинаковая для всей области зависимость от времени, содержащаяся в условиях однозначности. Интеграл Лагранжа-Коши играет в теории нестационарного движения идеальной жидкости ту же роль, что интеграл

Бернулли для стационарных движений. В последнем случае dφ//dt ≡0, f(t) = const и равенство (5.8) переходит в интеграл Бернулли

в котором константа в правой части — общая для всех точек движущейся жидкости, а не, например, своя для каждой линии тока. Оба

интеграла (5.8) и (5.9) служат для выражения давления p через кинематические параметры φ, V и координаты, от которых зависит П:

 

а в стационарном случае—

причем, для определения поля скоростей используем уравнение Лапласа для потенциала скорости φ:

с соответствующими ГУ. При P = gz имеем интеграл (уравнение) Бер-

нулли для несжимаемой жидкости плоском поле массовой силы

Из (5.10) видно, что в частном случае g ≡ 0 при V = 0 давление p

максимально:

Это давление p* носит название давление стационарного торможения. Так, при обтекании тела однородным потоком с параметра-

ми на «бесконечности» p∞, V∞, в «критической» точке на обращен-

ной к потоку поверхности тела для некоторой струйки тока V → 0, т. е.

происходит полное торможение потока несжимаемой жидкости и может

быть измерено давление полного торможения:

На этом может быть основано измерение скорости потока (трубкой

Пито; англ. Pitot tube, рис. НЕТ).

Рассматривая истечение из емкости через сужающееся сопло как течение идеальной жидкости получают модель «идеального сопла». Давление в емкости при V0 = 0 есть p0,что соответствует заторможенному

давлению вдоль данной струйки тока, а поскольку параметры в емкости

на удалении от сопла принимаются однородными, то полное давление

во всех струйках тока в сопле одинаково и равно p∗0 = p0. Тогда, зная

скорость потока несжимаемой жидкости в некоторой точке сопла, определим давление в ней из того же уравнения Бернулли:

На этом основана методика измерения расхода; расходомером является сужающееся сопло, при течении маловязкой жидкости с достаточной скоростью влияние вязкости сосредоточено лишь вблизи стенок сопла; нетрудно связать скорость на срезе сопла и расход жид-

кости в нем с перепадом статических давлений между емкостью и срезом: _p = p0 −pc. Получаем формулу Эйлера для скорости на срезе Vc =√2Δp/ p, для массового расхода — GТеор= p VcFc. Действительный расход G оказывается по ряду причин меньше теоретическо-

го Gтеор(по модели «идеального сопла»); при необходимости это учитывают, вводя коэффициент расхода μ = G/Gтеор≤ 1.

При течении идеальной сжимаемой жидкости справедливы те

же соображения; например, для среды с уравнением состояния совершенного газа, как указано выше, справедливо П = (λ/λ-1)(p/ p), и вдоль

линий тока справедливо уравнение изоэнтропной адиабаты (Пуассо-

на): p = p0(p / p 0). Рассматривая однородный неограниченный поток

(в задачах обтекания) или истечение из емкости (в задачах истечения),

также придем к формулам, связывающим скорость потока V c термодинамическими параметрами в точке:

Тензор напряжений в идеальной жидкости. Потенциальное движение

В несжимаемой идеальной жидкости, где div v ≡ 0, тензор вязких напряжений имеет вид

А тензор напряжений

На первый взгляд отсюда можно было бы сделать следующий вывод. Рассмотрим стационарное обтекание какого-либо тела потоком жидкости. На бесконечности натекающий поток однороден; его скорость v = const, так что rot v ≡ 0 на всех линиях тока. Отсюда можно было бы заключить, rot v будет равен нулю и вдоль всей длины всех линий тока, т. е. во всем пространстве.

Движение жидкости, при котором во всем пространстве rot v = 0, называется потенциальным (или безвихревым) в противоположность вихревому движению, при котором ротор скорости отличен от нуля. Таким образом, мы пришли бы к результату, что стационарное обтекание всякого тела натекающим из бесконечности однородным потоком должно быть потенциальным.

 

 

18.Динамика идеальной жидкости. Теоремы Томсона и Гельмгольца.

Теорема Кельвина (В. Томсона) о циркуляции скорости: При баротропном течении идеальной жидкости под действием поля

массовых сил с однозначным потенциалом циркуляция скорости

по замкнутому жидкому контуру не изменяется.

Или: Если силы, действующие в баротропной жидкости, име-

ют потенциал, то циркуляция скорости по любому жидкому кон-

туру не изменяется с течением времени:

Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Если дивергенция и ротор векторного поля определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля : где для всех точек области V.

 

Парадокс Даламбера.

Парадокс Даламбера: сопротивление Fx тела, равномерно движущегося в идеальной безграничной жидкости, равно нулю (как и подъемная сила Fy).

Строгого доказательства приводить не будем, отметим очевидность

этого явления для тел симметричной формы типа цилиндра, шара, эллипсоида — струйки тока расступаются на обращенной против потока

поверхности, и картина эта в точности повторяется и на задней поверхности (в правом полупространстве на рис. НЕТ). Распределение гидро-

динамических давлений по поверхности симметрично, интеграл силы равен нулю. При этом на поверхность тела не действуют касательные напряжения; в объеме потока не протекают процессы диссипации энергии и ее волнового перераспределения по пространству, поэтому при относительном перемещении тела в такой жидкости и не должна совершаться работа, следовательно, сопротивление равно нулю. В силу фундаментальности подобных оснований нет причин, чтобы для тел иной формы, по крайней мере, лобовое сопротивление имело бы место. При нарушении хотя бы одного из указанных выше условий равенство нулю исчезает:

• вязкость — возникнут касательные напряжения, вязкая диссипация энергии в объеме;

• сжимаемость—возникнут упругие возмущения (волны), уносящие

энергию;

• свободная поверхность или границы-стенки —возникнут поверх-

ностные волны и???;

• нестационарность — потребуется энергия на распространение

возмущения (разгон) слоев жидкости;







ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.