|
ЭПИЛОГ. ВЕЧНЫЙ КЛАДЕЗЬ МУДРОСТИНо учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставшихся в живых учеников зерна этого учения не только были сохранены, но и дали обильные всходы. Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя Пифагора — выдающегося математического гения, творца акустики, основоположника теории музыки, «Коперника древней астрономии», основателя религиозного братства — прообраза средневековых монашеских орденов, богослова и реформатора, человека высокой нравственности, личности богатой, противоречивой и загадочной, стоящей на рубеже пробуждающейся науки и пышно цветущей мифологии. И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, тем острее видится поразительная прозорливость эллинского мудреца, объявившего два с половиной тысячелетия назад, что «Все есть число». Если снять с этого тезиса мистическую патину, то нам откроется гениальное пророчество, определившее весь последующий путь развития науки. Тогда древний пифагорейский тезис примет современное звучание: математика есть ключ к познанию всех тайн природы. Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания современный американский математик и историк науки М. Клайн: «Но то ли по счастливому стечению обстоятельств, то ли благодаря гениальной интуиции пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общезначимость которых подтвердило все последующее развитие науки: во-первых, что основополагающие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики; во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы». Ну а как же быть с пифагорейской числовой мистикой, которая и породила бесконечные насмешки над пифагорейцами, начатые еще Аристотелем? Здесь мы советуем прислушаться к мнению выдающегося современного знатока античности, «самого крупного русского гуманиста и философа настоящего времени» А. Ф. Лосева, который отмечал, что человек XX в. «настолько далек от древнего пифагорейства, что даже не испытывает потребности его критиковать, а должен рассмотреть его со всеми объективно-историческими причинами, делающими его существование понятным». Мистика чисел была у пифагорейцев следствием эмбрионального состояния науки, философии, да и всего мышления того времени, которое только начинало проклевывать скорлупу мифологии. Но за этой по-детски наивной сказочной формой нельзя не видеть гениально угаданного содержания, значение которого все яснее проступает по мере развития научного знания. Впрочем, о значении пифагорейского учения уместнее будет поговорить во второй части книги, где будет рассмотрено и само это учение. А сейчас обратимся еще раз к личности Пифагора. Что говорили о Пифагоре его современники? Увы, сохранилось, пожалуй, лишь два таких свидетельства — Ксенофанта и Гераклита (ок. 540 до н. э. —?). С ироничным стихотворением Ксенофанта мы познакомились на с. 98. Но оказывается, Гераклит был еще более недоброжелателен к своему старшему современнику. В уцелевшем фрагменте Гераклита мы читаем: «Пифагор, сын Мнесарха, предавался исследованию больше всех прочих людей и мудрость свою состряпал из многознайства и обмана». И это отзыв о человеке, которому поклонялись толпы учеников и которого потомки считали за полубога?! Нам кажется, в отзыве Гераклита нашли отражение не только личные качества самого творца диалектики, который среди своих любвеобильных соотечественников слыл высокомерным нелюдимом и который с одобрением писал лишь об одном человеке — своем друге Гермодоре, зато всем остальным, включая и великого Гомера, отпустил щедрую порцию насмешек. В отзывах Ксенофанта и Гераклита заключена истина более глубокая, чем личные амбиции обоих авторов, истина, которая не раз еще подтверждалась историей человечества: нет пророка в отечестве своем. Нужно было время, чтобы Пифагор был понят не только своими учениками, но и своими соотечественниками. Но как быстро это время пришло! Фактически сам Гераклит, которого отделяло от Пифагора два моря — Ионийское и Эгейское, свидетельствует нам о том, что слава Пифагора еще при жизни перелетала через моря. Однако понят он был чуть позже. Уже в V в. до н. э. мы находим восторженные отзывы о Пифагоре у людей, которые, возможно, общались с теми, кто видел Пифагора живым. Это и древнегреческий философ, врач и политический деятель Эмпедокл (ок. 490 — ок. 430 до н. э.) писавший о Пифагоре: «Был среди них муж редких знаний, достигший величайшего богатства ума и весьма искусный во всех видах мудрых дел...» Это и отец истории Геродот, живший в 40-х гг. V в. до н. э. совсем рядом с Кротоном, когда изустная память о Пифагоре здесь еще жила, и назвавший Пифагора «великим эллинским мудрецом». Это и отец атома Демокрит, живший совсем в другом регионе, на самом севере Эгейского моря, в Абдерах, и написавший о Пифагоре восторженное сочинение (см. с. 92). Рис. 34. Абдерская монета с. изображением Пифагора — первый подписанный портрет на греческих монетах. 430 — 420 гг. до н. э. Как полагает большинство историков, именно благодаря Демокриту в Абдерах в 430 — 420-х гг. до н. э. (т. е. менее чем через 100 лет после смерти Пифагора) произошло невиданное событие: в Абдерах были выпущены монеты с изображением Пифагора и подписью ΠΥΘΑΓΟΡΗΣ (рис. 34). Абдерские монеты — это не только первый в истории чеканный портрет философа вообще (изображения выдающихся философов на монетах появятся значительно позже, и только в родных городах), но это и первое на греческих монетах подписанное изображение человека. И таким человеком оказался не царь, не тиран, не полководец, а мудрец! Что касается Пифагора-математика, то он, видимо, навсегда останется первым и последним математиком в истории человечества, чей профиль удостоился столь высокой чести! Рис. 35. Самосская монета с изображением Пифагора. II — III вв. Прорисовка. Конечно, это не портрет Пифагора, а обобщенный образ ученого. Но для ученого важнее не внешние атрибуты славы, а признание и дальнейшая жизнь его идей (рис. 35). И здесь Пифагору также светила счастливая звезда. Идеями Пифагора пронизано творчество Платона — величайшего философа в истории человечества. Античные неоплатоники III — VI вв.: Плотин, Порфирий, Ямвлих, Прокл, первая женщина философ и математик Гипатия, растерзанная толпой фанатиков-христиан, — все они были страстными приверженцами Пифагора. Неоплатонизм, уходящий корнями в древнее пифагорейство, стал мощным философским течением, идущим из античности в современность. Идеи неоплатоников питали Аврелия Августина (354 — 430) и Иоанна Скота Эриугену (810 — 877), Николая Кузанского (1401 —1464) и Джероламо Кардано (1501 — 1576), Томмазо Кампанеллу (1568 — 1639) и Джордано Бруно (1548 — 1600), Фридриха Шеллинга (1775 — 1854) и Георга Гегеля (1770 — 1831), Владимира Соловьева (1853 — 1900) и Сергея Булгакова (1871 — 1944), Павла Флоренского (1882 — 1937?) и Алексея Лосева (1893 — 1988). Не менее плодотворными оказались идеи Пифагора и для естествознания. Открытие Пифагором закона целочисленных музыкальных отношений, названного немецким физиком и математиком Арнольдом Зоммерфельдом (1868 — 1951) первым законом математической физики, явилось одновременно и открытием эвристического (от архимедовой «Эврики» ευρίσκω — находить) свойства математики. Это могучее свойство математики, позволяющее делать физические открытия «на кончике пера», со времен Пифагора повергает в священный трепет естествоиспытателей. «Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны» — так писал об этом свойстве математики, открытом Пифагором, современный американский физик лауреат Нобелевской премии Юджин Вигнер. Пифагору принадлежит и бессмертная идея о всеобщей гармонии, лежащей в основе мироздания. Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность ее законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 — 1630) до Альберта Эйнштейна (1879 — 1955). Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор. ПИФАГОРЕИЗМ У ИСТОКОВ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ
За исключением слепых сил природы, все, что движется в этом мире, имеет свое начало в Греции. Г. Мэн Греки совершили открытие, величайшее из когда-либо совершенных человеком: они открыли могущество разума. М. Клайн Пифагорейская система знаний (Μάθημα) состояла из четырех разделов: арифметики (учении о числах), геометрии (учении о фигурах и их измерении), музыки (учении о гармонии или теории музыки) и астрономии (учении о строении Вселенной). С тех пор все четыре ветви пифагорейского учения стали объединяться одним словом — μάθημα (учение, знание) или μαθηματικά. Известно, что на рубеже (V — IV вв. до н. э. софист[36] Гиппий из Элиды обучал в своей школе именно этим наукам. Об этих же четырех науках как о родственных говорил и Архит Тарентский — последний и наиболее выдающийся представитель школы Пифагора. Но поистине удивительно, что система образования, заложенная Пифагором, просуществовала не просто века, а тысячелетия! И через 1000 лет, когда пал Рим, а вместе с ним и античная культура, эта система оставалась незыблемой. В VI в. писатель и государственный деятель возникшего на руинах Римской империи остготского государства Кассиодор (487 — 578) отмечал: «Высшая наука — математика — подразделяется на следующие искусства: арифметику, музыку, геометрию и астрономию. Арифметика — учение о количестве, выражаемом числом, музыка же — учение, которое рассматривает числа по отношению к явлениям, наблюдаемым в звуке». И через 2000 лет, в эпоху средневековья, квадривиум (буквально пересечение четырех дорог) являлся повышенным курсом светского образования и объединял все те же четыре предмета: арифметику, геометрию, музыку и астрономию. Средневековые монахи лишь предпослали квадривиуму тривиум — начальный курс образования, состоявший из трех гуманитарных дисциплин: грамматики, риторики и диалектики. Тривиум вместе с квадривиумом соединялся в знаменитые «семь свободных искусств» — систему средневекового образования. По мнению средневековых схоластов, это был свод элементарных знаний, необходимый монахам для понимания·Библии. Лишь в эпоху Возрождения на смену «семи свободным искусствам» пришла классическая система образования, отчасти сохранившаяся и поныне. Итак, в строении второй части книги, посвященной пифагорейской μάθημα, мы стремились сохранить и ту классификацию составляющих ее элементов, которая восходит к самому Пифагору. Но если арифметика и геометрия и поныне являются частью математики, а в астрономии математика нашла одно из своих триумфальных приложений (вспомним хотя бы открытие «на кончике пера» планеты Нептун), то включение музыки в число «математических» наук сегодня выглядит весьма странным. А между тем именно благодаря счастливому союзу в пифагорейской μάθημα музыка получила прочный математический фундамент гамм и универсальный язык нот, подобный универсальному языку математических формул, которые и обеспечили на тысячелетия, если не навечно, последующее свободное развитие искусства музыки. Впрочем, не будем забегать вперед. Итак... АРИФМЕТИКА УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков[37], разложенных на песке или на счетной доске — абаке. По этой причине греки не знали нуля, так как его невозможно было «увидеть». Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т. е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома» роднило ее с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Итак, пифагорейские числа в современной терминологии — это натуральные числа. Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными: линейные числа (т. е. простые числа) — числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию:
плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей:
телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей:
треугольные числа:
квадратные числа:
пятиугольные числа:
и т.д. Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести число в квадрат или куб». Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Например, чтобы получить общее выражение для n -го треугольного числа, которое есть не что иное, как сумма n натуральных чисел
Написав последовательность квадратных чисел, опять-таки легко увидеть глазами выражение для суммы n нечетных чисел:
Наконец, разбивая n -е пятиугольное число на три
Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для n -го k -угольного числа: откуда при Конечно, сегодняшний школьник легко заметит, что суммы (1.1.1 — 1.1.3) есть не что иное, как арифметические прогрессии, разность которых d соответственно равна 1, 2, 3 (для k -угольного числа Но в том-то и прелесть пифагорейских доказательств, что они не требуют никаких предварительных знаний и в буквальном смысле очевидны. (Не отсюда ли пошло это столь любимое математиками слово?) Заметим, что при выводе равенства (1.1.2) был использован излюбленный пифагорейцами метод гномона. Гномоном (Γνωμων — знаток, толкователь) пифагорейцы называли число или фигуру (черные точки в (1.1.2)), которая, будучи приложенной к основной фигуре (белые точки), сохраняет ее форму. Первоначально гномоном (буквально тот, кто знает) греки называли солнечные часы — прибор, позволявший по линиям, которые пересекает тень от вертикального столбика, разделять беспредельность времени на зримые части. Впоследствии число и стало для пифагорейцев таким гносеологическим гномоном, дававшим возможность различать вещи и тем самым овладевать ими в сознании. Методом гномона растут все живые организмы, что позволяет им сохранять свою индивидуальную форму. Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов — измерению площадей и объемов. Так, представляя плоское число 10 в двух формах:
легко «увидеть» переместительный закон умножения: В том же числе 10:
можно «разглядеть» и распределительный закон сложения относительно умножения: и т. д. Наконец, если «камешки», образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab: мы автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: Важнейшей частью пифагорейской арифметики было учение о четных и нечетных числах. Не случайно Платон в своих диалогах неоднократно определял арифметику как «учение о четном и нечетном». Четное и нечетное были для пифагорейцев не только основными понятиями теории чисел, но и важнейшими философскими категориями. Пара четное — нечетное наряду с такими парами, как предел — беспредельное, мужское — женское, доброе — злое, включалась в 10 пар противоположностей, которые пифагорейцы считали началами всего сущего. Исследователи Евклида давно обратили внимание на конец IX книги его «Начал» (предложения 21 — 34), который явно выпадал из общего контекста книги и выделялся своей архаичностью. Сегодня ни у кого не вызывает сомнения, что эта часть «Начал» есть не что иное, как целиком воспроизведенный фрагмент древнего пифагорейского учения о четном и нечетном. Мы не будем приводить здесь все 14 предложений о четном и нечетном, а отметим лишь их основной результат, который можно сформулировать так: произведение двух чисел четно тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей четен. Этой теореме суждено было сыграть кардинальную роль во всем пифагорейском учении, ибо именно на нее опиралось доказательство знаменитой теоремы о несоизмеримости, которую мы рассмотрим на с. 141. Вершиной пифагорейского учения о четном и нечетном является последнее предложение IX книги «Начал» Евклида — предложение 36, посвященное совершенным числам. Совершенным называется натуральное число, равное сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например: 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Предложение 36 утверждает, что если сумма является простым числом, то число Поскольку ясно, что правильными делителями числа то доказательство предложения 36 сводится к доказательству двух утверждений: 1) других делителей, кроме (1.1.5), у числа 2) сумма делителей равна самому числу, т. е. Первое утверждение доказывается с помощью учения о четном и нечетном (предложения 21 — 34). А вот второе доказательство легко провести на «камешках». В самом деле, так как по условию Теперь изобразим данную сумму фигурными числами: откуда легко «усмотреть» равенство (1.1.7). Учитывая (1.1.7), получим компактную форму записи совершенного числа Итак, число является совершенным при тех значениях n, при которых число Легко найти первые подходящие значения n: Первые четыре совершенных числа были известны пифагорейцам. А есть ли другие совершенные числа, кроме чисел вида (1.1.8), найденных пифагорейцами? Этот вопрос вот уже 2500 лет, увы, остается открытым. Ясно, что совершенные числа вида (1.1.8) являются четными. Лишь в XVIII в. великий Эйлер доказал, что никаких других четных совершенных чисел нет. Однако до сих пор не известно ни одного нечетного совершенного числа и вопрос об их существовании все еще ждет своего решения. На сегодня лишь известно, что нечетных совершенных чисел в промежутке Не правда ли, удивительно, как в, казалось бы, невинной забаве с раскладыванием камешков на песке древние пифагорейцы сумели отыскать математическую проблему, которая и по сей день остается нерешенной?! И просто поражает интуиция пифагорейцев, нашедших задолго до нашей эры единственную (пока или навсегда?!) формулу для совершенного числа! ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к еще одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) — проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а ее решения — тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (1.2.1), — называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами x, y и целочисленной гипотенузой z. Рис. 36. Частные решения задачи Пифагора были известны в глубокой древности. В папирусе времен фараона Аменемхета I (ок. 2000 до н. э.), хранящемся в Египетском музее в Берлине, мы находим прямоугольный треугольник с отношением сторон Надо сказать, что с Кантором категорически не согласен другой знаток древней математики — ван дер Варден, хотя сами пропорции древнеегипетской архитектуры свидетельствуют в пользу Кантора. Как бы то ни было, сегодня прямоугольный треугольник с отношением сторон Как отмечалось на с. 76, сохранилась глиняная табличка, относящаяся к древневавилонской эпохе и содержащая 15 строк пифагоровых троек. Помимо тривиальной тройки, получаемой из египетской (3, 4, 5) умножением на 15 (45, 60, 75), здесь есть и весьма сложные пифагоровы тройки, такие, как (3367, 3456, 4825) и даже (12709, 13500, 18541)! Нет никаких сомнений, что эти числа были найдены не простым перебором, а по неким единым правилам. И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (1.2.1) в натуральных числах был поставлен и решен только пифагорейцами. Общая постановка какой бы то ни было математической задачи была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (1.2.1) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона. Попробуем реконструировать эти решения. Рис. 37. Ясно, что уравнение (1.2.1) Пифагор мыслил не в аналитической форме, а в виде квадратного числа Складывая и вычитая эти уравнения, находим решение уравнения (1.2.1): Легко убедиться в том, что полученное решение дает натуральные числа только при нечетных
Заметим, что система (1.2.2) может быть получена и формально из уравнения (1.2.1). В самом деле, откуда, полагая Ясно, что решение Пифагора найдено при достаточно жестком ограничении ( решение которой имеет вид
Легко видеть, что тройки Платона (1.2.4) при нечетных n и после сокращения на 2 дают тройки Пифагора (1.2.3), т. е. решение Платона является более общим. И хотя решение Платона не исчерпывает всего множества решений уравнения (1.2.1), путь получения общего решения теперь просматривается. Найдем это решение. Прежде всего заметим, что искать следует только примитивные пифагоровы тройки Теорема. Если p и q взаимно простые числа разной четности Доказательство 1. Для пифагоровых троек условие В самом деле, если, например, 2. Для любой примитивной пифагоровой тройки 3. Положим для определенности 4. Покажем, что α и β взаимно простые числа разной четности. а) Пусть что противоречит (*). б) Пусть что противоречит (*). в) Аналогично доказывается, что α и β одновременно не могут быть нечетными. 5. Итак, Отсюда легко находим: Теорема доказана. Ясно, что при Около 1630 г. скромный юрист из французского города Тулузы Пьер Ферма (1601 — 1665), проводивший свободное от работы время в математических упражнениях, на полях «Арифметики» Диофанта против того места, где Диофант решает задачу Пифагора, сделал запись: «Наоборот, невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень выше второй нельзя разложить на сумму двух степеней с теми же показателями. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Так, на полях Диофантовой «Арифметики» Ферма сформулировал утверждение, вошедшее в историю математики как великая теорема Ферма: для любого натурального не имеет решений в целых положительных числах x, y, z. Однако общее доказательство теоремы, обещанное Ферма, бесследно исчезло: вместо него в бумагах Ферма было найдено лишь частное доказательство для случая Прошло более 350 лет, в течение которых предпринимались героические усилия для доказательства коварной теоремы. В 1770 г. Л. Эйлер доказал теорему для К настоящему времени с помощью ЭВМ установлено, что Тем не менее, все эти поиски и прежде всего идеи российского математика А. Паршина нельзя назвать бесполезными. Они породили массу новых плодотворных направлений в математике и, таким образом, необычайно обогатили саму математику. Так, начатое Пифагором во времена, когда человечество знало лишь натуральные числа, исследование «безобидного» уравнения привело к сложнейшей проблеме современной теории чисел — исследованию в целых числах уравнения — великой и неприступной на протяжении четырех столетий теореме Ферма. ТАБЛИЦА ПИФАГОРА Кроме теоретической арифметики, ставшей фундаментом современной теории чисел и оставившей ей ряд нерешенных проблем, была у пифагорейцев и другая ветвь арифметики, более близкая современному значению слова, — учение о правилах действия над числами. Этот раздел арифметики назывался у пифагорейцев логистикой (Λογιστικμ — счетное искусство). В состав логистики входили арифметические действия с натуральными числами вплоть до извлечения квадратных и кубических корней, действия с дробями, техника вычислений на счетной доске. Хотя задачи вычислительной арифметики отвечали насущным потребностям жизни — торговле, строительству, расчету метательных орудий, логистика (искусство вычислять) по сравнению с арифметикой (наукой о числах) считалась пифагорейцами наукой второго сорта и развивалась весьма слабо. Как и в теоретической арифметике, числа-камешки играли в логистике значительную роль. Они успешно использовались в первой в истории человечества «вычислительной машине» — абаке. Абак выглядел просто: это была разлинованная плита, в каждой колонке которой камешки имели разные значения: единицы, десятки, сотни и т.д. Сегодня так до конца и не выяснено, откуда произошло слово «абак»: его греческое толкование неговорящий (’Α-βακής — бессловесный), возможно, указывает на молчаливый характер процесса счета, а семитическое — означает дощечка, покрытая слоем пыли. Трудно сказать, где появился первый абак — в Древнем Египте, Древней Греции или Древнем Китае. Ясно лишь, что китайская модель абака — суаньпань — ![]() ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|