ГАРМОНИЯ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ

Музыка и математика... Сегодня эти два слова редко стоят вместе. Между тем в пифагорейской «математе» именно музыке суждено было стать первым и, пожалуй, единственным физическим свидетелем, подтверждавшим справедливость пифагорейского тезиса: «Все есть число». Именно в музыке впервые была обнаружена таинственная направляющая роль чисел в природе. В свою очередь, родство с арифметикой в пифагорейской «математе» обогатило музыку методами построения ее фундамента — музыкальной гаммы, фундамента, на котором и было возведено прекрасное здание искусства музыки. За два с половиной тысячелетия этот математический фундамент музыки, заложенный пифагорейцами, настолько глубоко «врос в землю», что о его существовании почти забыли. А ведь без него рухнуло бы все здание музыки. Но по порядку...

Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия — консонансы (от лат. consonantia — созвучие) — получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четверки, т. е. как

. При этом также было замечено, что, чем меньше число n в отношении

, тем созвучнее интервал. Это открытие потрясло Пифагора. Еще бы: ведь столь эфемерное физическое явление, как звук и тем более приятное созвучие, поддавалось числовой характеристике! Именно это открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе, и именно оно послужило отправной точкой в развитии пифагорейской философии. Вот почему день, когда было сделано это открытие, немецкий физик А. Зоммерфельд назвал днем рождения математической физики.

Столь счастливый день, разумеется, был окружен ореолом красивых легенд. Вот как описывает его в «Трактате о музыке» римский философ и сенатор Северин Боэций (480 — 524): «И вот однажды, под влиянием какого-то божественного наития, проходя мимо кузницы, он слышит, что удары молотков из различных звуков образуют некое единое звучание. Тогда, пораженный, он подошел вплотную к тому, что долгое время искал, и после долгого размышления решил, что различие звуков обусловлено силами ударяющих, а для того, чтобы уяснить это лучше, велел кузнецам поменяться молотками. Однако выяснилось, что свойство звуков не заключено в мышцах людей и продолжает сопровождать молотки, поменявшиеся местами. Когда, следовательно, Пифагор это заметил, то исследовал вес молотков. Этих молотков было пять, причем обнаружилось, что один из них был вдвое больше другого и эти два отвечали друг другу соответственно созвучию октавы. Вес вдвое большего был на

больше веса третьего, а именно того, с которым он звучал в кварту...»

Далее Боэций рассказывает, что Пифагор, придя домой, взял четыре одинаковые, вертикально подвешенные струны и нагрузил их тяжестями, относящимися как

(т. е. как

). В итоге четвертая струна зазвучала на октаву выше первой, третья — на квинту выше первой, а вторая — на кварту. К сожалению, мы должны констатировать, что здесь Боэций заблуждался. Сегодня известно, что частота колебания струны (или высота тона, которая есть отражение в сознании частоты колебания звучащего тела) пропорциональна не натяжению, а корню квадратному из натяжения струны (см. с. 199). Поэтому, если уж Пифагор и проводил описываемые Боэцием опыты, то, чтобы получить, например, созвучие октавы, он должен был брать грузы не в отношении

, а в отношении

И тем не менее закон целочисленных отношений в консонансах был открыт Пифагором верно. Просто он неверно был описан Боэцием. Скорее всего, Пифагор ставил эксперименты, не меняя натяжение струны с помощью различных грузов, а меняя длину струны на монохорде.

Монохорд (μονο-κορδον — однострунный) был одним из первых музыкальных инструментов древних греков. Он представлял собой длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна. Снизу струна поджималась передвижной подставкой. Таким образом, струна имела постоянное натяжение, но разную длину. Позднее под струной укрепили шкалу делений, которая позволяла точно отмерять звучащую часть струны. Конечно, как музыкальный инструмент монохорд был слишком примитивным. Зато, снабженный шкалой делений струны, он стал прекрасным физическим прибором и учебным пособием для изучения законов звучащих тел.

Видимо, на монохорде и было впервые обнаружено, что струна, вдвое короче данной струны, звучит на октаву выше. Но полной ясности в том, каков физический смысл чисел n в отношении

, определяющем консонанс, у древних долгое время не было.

Одни толковали их как силу натяжения струны, другие — как длину струны, третьи — как высоту тона, хотя никто не знал, что такое высота тона. Ясность в этом вопросе наступила, пожалуй, только после Архита, который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе ее натяжения (ведь один и тот же тон можно получить на струнах разной длины и разного натяжения), а в скорости ее движения, т. е. в скорости ударения струны по частичкам воздуха. Сегодня эту «скорость движения» мы называем частотой колебания струны. Далее Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине. Что касается истинной роли натяжения струны в высоте тона, то она была до конца выяснена лишь после «великой научной революции» XVI — XVII вв.

Два закона легли в основу пифагорейской теории музыки:

1. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число

, т. е. как

. При этом интервал тем созвучнее, чем меньше число n в отношении

2. Высота тона определяется частотой колебания струны ω, которая обратно пропорциональна длине струны l:

В дальнейшем нам потребуются некоторые понятия теории музыки. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков (ступеней звукоряда) некоторой музыкальной системы, расположенных начиная от основного звука (основного тона) в восходящем или нисходящем порядке. (Название «гамма» происходит от греческой буквы Γγ (гамма), которой в средние века обозначали крайний нижний тон звукоряда, а затем и весь звукоряд.) Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а интервальным коэффициентом

двух тонов — отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего:

Интервальные коэффициенты (3.1.1) и соответствующие им интервалы в средние века были названы совершенными консонансами и получили латинские названия[49]:

Звуки в музыкальной системе связаны между собой определенными зависимостями. Одни из них являются неустойчивыми и тяготеют к другим — устойчивым. В каждой музыкальной системе существует наиболее устойчивый, основной тон, именуемый тоникой, с которого начинается данная система. Помимо связей между отдельными тонами музыкальная система в целом имеет некую общую характеристику, называемую наклонением. Наклонений два — мажорное и минорное; первое как бы окрашено в светлые тона, а второе — в пасмурные, хотя эти оценки и весьма условны. Так мы приходим к краеугольному понятию всего музыкознания — понятию лада. Ладом называется приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых, и прежде всего от тоники, и имеющая определенный характер звучания — наклонение. Наиболее распространенные лады состоят из семи основных ступеней. Наконец, математическое выражение системы звуковысотных отношений (лада) называется музыкальным строем.

Пифагорейцев и интересовал прежде всего музыкальный строй, ибо, как свидетельствует Плутарх, «почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства ее должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии, и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы».

Исходя из закона целочисленных отношений для консонансов и учения о пропорциях, пифагорейцы блестяще справились с задачей математического построения различных музыкальных ладов, т. е. нашли их музыкальный строй. С тех пор четверка чисел 1, 2, 3, 4 — тетрада (τετράδιον), лежащая в основе закона консонансов (3.1.1), а значит, и всей теории музыки, была наделена пифагорейцами магическими свойствами и считалась ниспосланной людям богами: «Что такое Дельфийский оракул? Тетрада! Ведь она — гамма, по которой поют сирены». Пифагорейская клятва гласила: «Клянусь именем Тетрады, ниспосланной нашим душам. В ней источник и корни вечно цветущей природы».

Вслед за благозвучными интервалами — консонансами — пифагорейцы спешили увидеть тетраду в основе всего мироздания: четверка геометрических элементов — точка, линия, поверхность, тело (точке — «геометрическому атому» — соответствовала единица — «числовой атом»; линии — число 2, означавшее уход в бесконечность по прямой линии; поверхности — число 3, определяющее треугольник или плоскость двух измерений; телу — число 4 — пирамида, первое пирамидальное число, дающее представление о пространстве трех измерений); четверка физических элементов — земля, вода, огонь, воздух (это учение мы рассмотрим в п.4.3). Сумма чисел, образующих тетраду, составляла священную десятку и олицетворяла всю Вселенную.

Не стоит спешить упрекать пифагорейцев в числовой мистике. Гармония целочисленных отношений и сегодня поражает каждого, кто впервые открывает ее для себя. Что же говорить о пифагорейцах, которые на заре цивилизации стали боготворить числа, управляющие музыкой. «Это считается чем-то вроде суеверия древних греков. Но далеко ли ушел наш современный научный интерес к количественным отношениям? — спрашивает в своих знаменитых лекциях лауреат Нобелевской премии американский физик Ричард Фейнман. — Открытие Пифагора, помимо геометрии, было первым примером установления числовых связей в природе. Поистине, должно быть, было удивительно вдруг неожиданно обнаружить, что в природе есть факты, которые описываются простыми числовыми отношениями».

Итак, гармония целочисленных отношений послужила первым «экспериментальным» подтверждением пифагорейской мысли о рациональном устройстве природы по точному математическому плану. Восторг пифагорейцев перед этим законом был безграничен. Пифагорейцы объявили, что «Все есть число» и распространили закон целочисленных музыкальных отношений всюду, где это представлялось возможным, в том числе и на строение Вселенной. О знаменитой пифагорейской «музыке сфер» мы расскажем в п.4.2, а сейчас нам предстоит увидеть, как с помощью закона целочисленных отношений и учения о пропорциях строилась пифагорейцами музыкальная гамма.

В основу музыкальной шкалы — гаммы — пифагорейцы положили интервал октавы. Октава настолько созвучный консонанс, что верхний звук кажется уменьшенной копией нижнего, поэтому его и принято называть октавным повторением нижнего тона и обозначать той же нотой. Далее октаву предстояло разделить на какие-то благозвучные части. И здесь пифагорейцы, страстные поклонники пропорций (вспомним слова Платона на с. 138), прежде всего, конечно, обратились к средним величинам.

Составляя арифметическое среднее для основного тона

и его октавного повторения

мы обнаруживаем прекрасный результат: это арифметическое среднее дает следующий совершенный консонанс — квинту. При этом длина струны

согласно (3.1.2) и (1.4.6) будет средней гармонической длин струн

Но если теперь среднее гармоническое взять для частот основного тона

и октавы

то оно даст последний совершенный консонанс — кварту. Ясно, что длины струн будут при этом связаны арифметической средней:

Итак, квинта есть среднее арифметическое частот основного тона и октавы , а кварта — среднее гармоническое и . Или квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона и октавы , а кварта — среднее арифметическое и .

Но произведение среднего арифметического на среднее гармоническое равно произведению исходных величин:

откуда, разделив обе части на

, получим второй важный вывод:

т. е. октава делится на два неравных консонансных интервала — квинту и кварту или интервальный коэффициент октавы равен произведению интервальных коэффициентов квинты и кварты.

Разделив же (3.2.1) на

, мы получим музыкальную пропорцию (1.4.10):

или октава относится к квинте, как кварта к основному тону.

Наконец, найдем интервальный коэффициент между струнами квинты

и кварты

, который вместе со своим интервалом называется тоном (не следует путать тон-интервал и тон-звук данной высоты):

т. е. тон-интервал равен отношению квинты к кварте.

Полученные результаты, известные из сохранившихся фрагментов сочинений Архита, собраны на рисунке 75, где интервалы, которые целая струна монохорда

образует со своими частями

, показаны двойными стрелками.

Рис. 75. Деление струны монохорда (

) на части, образующие с ней совершенные консонансы: октаву (

), квинту (

) и кварту (

) и соотношения между ними.

Заметим, что в отличие от обычного расстояния на прямой

, определяемого как разность координат конца и начала, интервальный коэффициент — высотное расстояние — определен как отношение составляющих его тонов:

. Тогда три тона

, отстоящих друг от друга на равных интервалах I, образуют геометрическую прогрессию

в отличие от трех точек на прямой

, расположенных на равных расстояниях r и образующих арифметическую прогрессию

. Поэтому интервальные коэффициенты складываются и вычитаются «геометрически», а сами интервалы — «арифметически», как обычные расстояния, а именно:

сумма двух интервалов равна произведению их интервальных коэффициентов:

разность двух интервалов равна частному их интервальных коэффициентов:

n -я часть интервала I равна корню степени n из его интервального коэффициента:

Решение задачи деления октавы подсказало Архиту «музыкальное доказательство» иррациональности

. В самом деле, если разделить октаву на два равных интервала I, то, полагая в (3.2.2)

, имеем

Но при таком соотношении длин струн прослушивается явный диссонанс. Поскольку же консонанс определяется отношением целых чисел вида

, то напрашивается мысль, что число

не может быть выражено отношением двух целых чисел, т. е. является иррациональным.

Но вернемся к построению музыкальной гаммы. Интервал между квинтой и квартой (3.2.4), или тон-интервал, и был принят пифагорейцами в качестве основной ладообразующей ступеньки гаммы. Оставалось только отложить от тоники (

) тон-интервал (

), затем еще один тон-интервал (

) а оставшийся интервал между вторым тоном и тоном кварты (

) назвать полутоном:

Название это вполне оправдано, так как деление тона-интервала пополам по формуле (3.2.7) дает

, а

, т. е. полутон практически равен половине тона. Так был построен тетрахорд (τετρά-χορδον) — четырехструнный звукоряд в пределах кварты — основа всей древнегреческой музыки. Имеется только три возможности для помещения полутона в пределах тетрахорда, что и определило характер и название тетрахорда:

Названия тетрахордов указывали на области Греции и Малой Азии, каждая предпочитала свой лад и свой тетрахорд.

Поскольку октава уже разделена на квинту и кварту или на две кварты и тон-интервал между ними, то в пределах октавы умещались два тетрахорда, соединенные интервалом в тон. Два одноименных тетрахорда вместе с разделительным тоном и составляли гамму, или, как говорили пифагорейцы, гармонию (’αρμονία — связь, согласие, гармония). По числу тетрахордов основных гармоний получалось три (1 — обозначает тон, 1/2 — полутон, разделительный тон обведен кружком):

Античные гармонии почти без изменений перешли в современные гаммы. В самом деле, каждый, знакомый с азами музыкальной грамоты, узнает в лидийской гармонии обычный натуральный мажор (2 тона — полутон, 3 тона — полутон, или на белых клавишах фортепиано до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до), а в дорийской и фригийской — чуть измененный натуральный минор.

Зная размеры интервалов, образующих, например, лидийскую гармонию, и правила действия с ними, легко получить математическое выражение этой гаммы, или ее музыкальный строй. Приняв частоту нижнего тона за единицу

, находим первый тетрахорд:

. Второй тетрахорд получается сдвигом первого на квинту:

Окончательно для интервальных коэффициентов имеем

Это и есть музыкальный строй лидийской гаммы, называемый также пифагоровым строем или каноном Пифагора (рис. 76).

Рис. 76. Пифагоров строй лидийской гаммы и его математические характеристики.

По преданию, Орфей настраивал лиру по канону Пифагора. А доподлинно известно, что в античной лире четыре струны тон-кварта-квинта-октава имели постоянную настройку по тетраде, или как числа

, а остальные струны перестраивались в зависимости от лада, в котором предстояло на ней играть.

Пифагорейцы владели и другим способом построения музыкальной гаммы, который был более практичным и до сих пор применяется при настройке музыкальных инструментов. Оказывается, гамму можно построить, пользуясь лишь двумя совершенными консонансами — квинтой и октавой. Суть этого метода состоит в том, что от исходного звука, например до,

, мы движемся по квинтам вверх и вниз и полученные звуки собираем в одну октаву. Так, мы получим

Располагая эти звуки и их интервальные коэффициенты по порядку, находим пифагоров строй лидийской гаммы (3.2.8).

Однако, двигаясь по квинтам вверх и вниз, мы никогда не получим в точности октавного повторения исходного звука. Лишь 12 квинт приближенно равны 7 октавам, а разделяющий их интервал называется пифагоровой коммой (κόμμα — часть предложения, отрезок):

Несмотря на свою малость, пифагорова комма на протяжении столетий портила кровь музыкантам вплоть до начала XVIII в., когда немецкий органист Андреас Веркмейстер (1645 — 1706) построил равномерно-темперированную музыкальную гамму, в которой пифагорова комма разделилась на 12 частей и стала практически незаметной. Впрочем, здесь мы уже выходим далеко за рамки нашей книги, а те, кого заинтересуют эта и другие математичекские изюминки музыкальной гаммы, могут их найти в книге автора «Математика и искусство» (М.: Просвещение, 1992).

Пифагорейцы умели также и по-другому располагать тетрахорды в октаве. Они «склеивали» тетрахорды так, что верхний звук одного тетрахорда являлся нижним звуком второго. Дополняющий до октавы тон помещали внизу или наверху такой системы. В первом случае к названию тетрахорда прибавляли приставку гипо (под), а во втором — приставку гипер (над). Так, получалось еще 6 гармоник, среди которых две пары (гипофригийская — гиперлидийская и гиподорийская — гиперфригийская) оказывались одинаковыми. Отбросив их, оставалось семь основных ладов по числу основных ступеней лада.

Вспоминая, что сегодня в музыке господствуют только два лада — мажор и минор, остается только удивляться тому, насколько утонченным было античное музыкальное сознание. Каждый лад пифагорейцы наполняли определенным этико-эстетическим содержанием — этосом (ήθος — нрав, натура), устанавливая ясную связь между музыкальными образами и состоянием души. Вообще, музыке пифагорейцы приписывали врачующие и даже магические функции, но особое значение придавалось музыке как средству воспитания. Просто поразительно, сколь созвучны этим мыслям пифагорейцев были слова древнекитайского философа Конфуция (ок. 551 — 479), который в это же время на другом конце Земли говорил: «Если хотите знать, как страна управляется и какова ее нравственность — прислушайтесь к ее музыке». Здесь мы находим прекрасное подтверждение удивительного родства образа мысли древнегреческих и древнекитайских мыслителей, о котором шла речь на с. 8).

Пифагорейское учение об этосе ладов развили Платон и Аристотель. Платон для мирной жизни оставляет строгий дорийский лад, считая его подлинно греческим, мужественным, способным сопровождать на подвиг и на смерть. Для чрезвычайных событий он предпочитает фригийский лад как наиболее страстный и возбуждающий. Лидийский же лад Платон называет печальным и соответствующим более женской, а не мужской психике. Остальные лады как слишком утонченные Платон отбрасывает, проводя в воспитании принцип строгости и простоты.

Аристотель судит о ладах, пожалуй, еще строже Платона, признавая только дорийский лад как лад, способный тренировать психику. Тем не менее Аристотель делает подробную классификацию ладов. Прекрасное описание этоса греческих ладов мы находим во «Флоридах» Апулея: «Жил когда-то флейтист по имени Антигенид. Сладостен был каждый звук в игре этого музыканта, все лады были знакомы ему, и мог он воссоздать для тебя, по твоему выбору, и простоту эолийского лада, и богатство ионийского, и грусть лидийского, и приподнятость фригийского, и воинственность дорийского».

Впрочем, стоп! Нет ли здесь противоречия? Дорийский лад называется воинственным, а ведь по существу это наш минор?! Поскольку же дорийский лад считался истинно греческим, то получается, что основной характер греческой музыки печальный, минорный? Для греков же дорийский лад является выражением бодрости, жизнерадостности и даже воинственности. Вот как объясняет это кажущееся противоречие А. Ф. Лосев: «Греческое искусство — неизменное жизнеутверждение. Благородная сдержанность и даже печаль не оставляют грека и тогда, когда он веселится, когда он бодро строит жизнь, когда он воюет и погибает. «Веселые» же лады так или иначе тяготеют к этому прекрасному, благородному, бодрому, важному и в то же время величественно-печальному ладу — дорийскому. Дорийский лад — это скульптурный стиль греческой музыки... Так задумчива, печальна и благородна вся греческая скульптура».

Итак, пифагорейцы не только нашли строгие математические методы построения музыкальных ладов, которые практически без изменения вошли в современную музыку, но и заложили основы учения об этосе каждого лада. В пифагорейской теории музыки был достигнут союз математики и искусства, союз, принесший неоценимую пользу и науке математике, и искусству музыки.

«Природу и силу числа можно видеть в преизбытке не только в духовных и божественных вещах, но и во всех человеческих делах и мыслях, везде, даже в произведениях искусств и в музыке». Так писал пифагореец Филолай.

На этом можно было бы расстаться с пифагорейской теорией музыки. Но читатель вправе спросить: какова природа столь удивительного и загадочного закона целочисленных отношений консонансов, закона одновременно физико-математического и эстетического, закона, который составляет основу всей этой теории? Сегодня математика способна ответить и на это вопрос.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: