|
Решение задачи Коши для различных типов уравнений первого порядкаПример 1.13. [4] Решить задачу Коши:
, (1.73)
. (1.74) Решение. Сначала получим общий интеграл уравнения (1.73). Это – однородное уравнение (его можно рассматривать и как уравнение Бернулли, где ). Введем функцию . Тогда , и уравнение (1.73) примет вид (1.75) или . (1.76) Интегрируя (1.76), получим . Общий интеграл уравнения (1.73) имеет вид . (1.77) Теперь подставим в(1.77) значения и из начального условия (1.74). Получим для определения уравнение , откуда . Тогда искомый частный интеграл уравнения (1.73) имеет вид . Учитывая (1.74), можем утверждать, что решение задачи Коши (1.73), (1.74) имеет вид . Пример 1.14. Решить задачу Коши:
, (1.78)
. (1.79) Решение. У равнение (1.78) является уравнением Бернулли (). Найдем его общее решение. Положим . Уравнение (1.78) приобретает вид . (1.80) Требуем, чтобы функция удовлетворяла уравнению . При решении примера 1.5 показано, что этому уравнению удовлетворяет решение . Тогда из (1.80) получаем уравнение для нахождения : или . (1.81) Интегрируя (1.81), получаем . Тогда, поскольку , общий интеграл уравнения (1.78) имеет вид . (1.82) Подставим начальные значения и из (1.79) в общий интеграл (1.82). Получим . Тогда решение задачи (1.78), (1.79) имеет вид . Пример 1.15. Решить задачу Коши:
, (1.83)
. (1.84) Решение. Преждевсего, определим тип уравнения (1.83). Для этого представим его в виде или . (1.85) Уравнение (1.85) является линейным относительно функции . Ищем его общее решение в виде . Тогда из (1.85) следует . (1.86) Потребуем, чтобы функция удовлетворяла уравнению или . Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его частное решение: , , . (1.87) Подставим (1.87) в (1.86) и получим уравнение для определения : или . Его общее решение имеет вид . Тогда общее решение уравнения (1.85) запишется следующим образом:
. (1.88) Подставим в (1.88) начальные значения и из (1.84). Получим , откуда . Таким образом, частный интеграл для задачи Коши (1.83), (1.84) имеет вид .
Дифференциальные уравнения второго порядка Общий вид дифференциального уравнения второго порядка таков . (2.1) Здесь . Решением уравнения (2.1) на промежутке называется дважды дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение (2.1) обращает его в тождество относительно аргумента на промежутке . Во многих случаях уравнение (2.1) может быть разрешено относительно старшей производной. Тогда оно принимает вид . (2.2) Именно такие уравнения мы и будем рассматривать. Рассмотрим пример уравнения второго порядка: . (2.3) Здесь легко “угадать” решения: . Нетрудно также догадаться, что любая функция вида , где – любые числа, также будет решением данного уравнения. Ещё один пример: . (2.4) Любая функция вида , где – числа, является решением этого уравнения. Действительно, Итак, уравнение второго порядка, так же как и уравнение первого порядка, имеет множество решений. В отличие от уравнений первого порядка, множество решений здесь определяется не одним параметром , а двумя параметрами . Чтобы конкретизировать какую-то функцию из этого множества решений, для уравнения (2.2) задают начальные условия: (2.5) (или ). Функция должна быть определена при . Для уравнения второго порядка (так же как и для уравнения первого порядка) введем понятия общего и частного решений. Общим решением уравнения (2.2) называется семейство функций , зависящих от независимой переменной и двух произвольных постоянных , обладающее свойствами: 1) для любых значений функция является решением (2.2); 2) для любых трёх чисел , таких, что значение определено, существуют такие значения , что удовлетворяет начальным условиям (2.5). Частным решением уравнения (2.2) называется решение, полученное из общего решения при конкретных значениях . Задача Коши для уравнения (2.2) состоит в нахождении его частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (2.5).
2.1. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка Приведем некоторые типы уравнений второго порядка, которые могут быть сведены к уравнениям первого порядка. Простейшее уравнение Его общий вид таков . (2.6) Общее решение этого уравнения получается последовательным интегрированием. Запишем (2.6) в виде уравнения первого порядка относительно : (2.7) и получим общее решение этого простейшего уравнения: . (2.8) Равенство (2.8) снова является простейшим уравнением первого порядка. Его общее решение имеет вид или . (2.9) Приведенное ранее в качестве примера уравнение (2.4) является простейшим уравнением. Пример 2.1. Дано уравнение . (2.10) а. Найти его общее решение. б. Решить задачу Коши для уравнения (2.10) с начальными условиями: . (2.11) Решение. а. Последовательно интегрируем (2.10): или ; (2.12) или . (2.13) б. Подставим значения из начальных условий (2.11) последовательно в (2.12) и (2.13). Из (2.12) получим , откуда . Из (2.13) получим , откуда . Итак, решение задачи Коши (2.10), (2.11) имеет вид .
Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|