Обобщенное линейное уравнение (уравнение Бернулли)

Уравнение Я. Бернулли имеет вид

(1.39)

где и (в случае уравнение (1.39) превращается в уравнение с разделяющимися переменными, а в случае — в линейное уравнение).

Решение уравнения (1.39) осуществляется тем же методом Бернулли, что и линейное уравнение (1.23), то есть реализуется следующая схема.

1. Ищем решение в виде произведения двух функций

. (1.40)

2. Подставляем функцию (1.40) в уравнение (1.39), получаем уравнение

(1.41)

и требуем, чтобы была частным решением уравнения

. (1.42)

Тогда

. (1.43)

3. Подставляем найденную функцию (1.43) в уравнение (1.41) и получаем для определения уравнение с разделяющимися переменными

. (1.44)

4. Находим общий интеграл уравнения (1.44). Для этого разделяем переменные и получаем

.

Тогда

(1.45)

5. Находим общий интеграл уравнения (1.39). При этом удобно в (1.45) заменить функцию по формуле

,

полученной из (1.40). Общий интеграл имеет вид

. (1.46)

Пример 1.7. Найти общее решение уравнения

. (1.47)

Решение. Это – уравнение Бернулли с . Применяем метод Бернулли и ищем решение в виде . Тогда уравнение (1.47) приобретает вид

. (1.48)

Требуем, чтобы удовлетворяла уравнению

В примере 1.4 показано, что решением этого уравнения является функция . Тогда из (1.48) получаем уравнение для нахождения :

или

. (1.49)

Интегрируем (1.49):

или

. (1.50)

Учитывая, что , получим из (1.50) общий интеграл (1.47) в виде

или

. (1.51)

Пример 1.8. Найти общее решение уравнения

. (1.52)

Решение. Это – уравнение Бернулли, где . Согласно методу Бернулли полагаем . Тогда уравнение (1.52) принимает вид

. (1.53)

Требуем, чтобы удовлетворяла уравнению

При решении примера 1.5 показано, что решением этого уравнения является функция . Тогда из (1.53) получаем уравнение для нахождения :

или

. (1.54)

Интегрируем (1.54). Получаем

. (1.55)

Найдем . Для этого представим правильную дробь в виде суммы простейших дробей

.

Определим коэффициенты и из тождественного равенства многочленов

,

откуда

или . Таким образом,

.

Тогда формула (1.55) приобретает вид

.

Учитывая, что , а значит , получим

,

откуда

.

Пример 1.9. [4] Найти общее решение уравнения

. (1.56)

Решение. Это – уравнение Бернулли, где . Ищем его решение в форме . Тогда уравнение (1.56) приобретает вид

. (1.57)

Требуем, чтобы удовлетворяла уравнению

(1.58)

Решаем уравнение (1.58) как уравнение с разделяющимися переменными:

,

,

,

Подставляем найденную функцию в (1.57). Получаем

или

. (1.59)

Интегрируем (1.59):

. (1.60)

Найдем первообразную, стоящую в правой части (1.60), интегрируя по частям. Положив , найдем и . Тогда

.

Формула (1.60) принимает вид

. (1.61)

Учитывая, что или , определим из (1.61) общий интеграл уравнения (1.56) в виде

.

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть приведено к виду

(1.62)

Чтобы найти общее решение (или общий интеграл) уравнения (1.62), введем новую функцию , так что . Тогда и уравнение (1.62) можно записать в виде

. (1.63)

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными:

.

Проинтегрируем его:

;

. (1.64)

Получен общий интеграл уравнения (1.63). После определения первообразной, стоящей в левой части (1.64), и замены на получим общий интеграл уравнения (1.62).

Пример 1.10. Найти общее решение уравнения

. (1.65)

Решение. Уравнение (1.65) можно записать в виде

, (1.66)

поделив числитель и знаменатель его правой части на . Вводим новую функцию , и уравнение (1.66) приобретает вид

.

Преобразуем его:

,

или

.

Разделяя здесь переменные, получаем

. (1.67)

Интегрируем (1.67). Тогда

,

откуда

,

или

.

Отсюда

.

Заменяя здесь на , находим окончательно

.

Это общий интеграл уравнения (1.65).

Пример 1.11. Найти общее решение уравнения

. (1.68)

Решение. Сделаем замену искомой функции по формуле и запишем уравнение (1.68) следующим образом:

или

,

откуда

.

Значит

или

.

Отсюда находим, что

при , или .

Таким образом, общее решение уравнения (1.68) имеет вид

.

Пример 1.12. [3] Найти общее решение уравнения

. (1.69)

Решение. Уравнение (1.69) является однородным. Действительно, преобразуем его к виду

. (1.70)

Теперь сделаем замену . Получим

или

. (1.71)

«Разделим» переменные в уравнении (1.71) и проинтегрируем его. Это дает

. (1.72)

Вычислим первообразную, стоящую в левой части (1.72). Заметим, что

.

Тогда

.

В результате формула (1.72) приобретает вид

или

.

Это общий интеграл уравнения (1.71). Заменяя в нем на и на , находим общий интеграл уравнения (1.69):

.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: