|
Обобщенное линейное уравнение (уравнение Бернулли)Уравнение Я. Бернулли имеет вид (1.39) где и (в случае уравнение (1.39) превращается в уравнение с разделяющимися переменными, а в случае — в линейное уравнение). Решение уравнения (1.39) осуществляется тем же методом Бернулли, что и линейное уравнение (1.23), то есть реализуется следующая схема. 1. Ищем решение в виде произведения двух функций . (1.40) 2. Подставляем функцию (1.40) в уравнение (1.39), получаем уравнение (1.41) и требуем, чтобы была частным решением уравнения . (1.42) Тогда . (1.43) 3. Подставляем найденную функцию (1.43) в уравнение (1.41) и получаем для определения уравнение с разделяющимися переменными . (1.44) 4. Находим общий интеграл уравнения (1.44). Для этого разделяем переменные и получаем . Тогда (1.45) 5. Находим общий интеграл уравнения (1.39). При этом удобно в (1.45) заменить функцию по формуле , полученной из (1.40). Общий интеграл имеет вид . (1.46) Пример 1.7. Найти общее решение уравнения . (1.47) Решение. Это – уравнение Бернулли с . Применяем метод Бернулли и ищем решение в виде . Тогда уравнение (1.47) приобретает вид . (1.48) Требуем, чтобы удовлетворяла уравнению В примере 1.4 показано, что решением этого уравнения является функция . Тогда из (1.48) получаем уравнение для нахождения : или . (1.49) Интегрируем (1.49): или . (1.50) Учитывая, что , получим из (1.50) общий интеграл (1.47) в виде или . (1.51) Пример 1.8. Найти общее решение уравнения . (1.52) Решение. Это – уравнение Бернулли, где . Согласно методу Бернулли полагаем . Тогда уравнение (1.52) принимает вид . (1.53) Требуем, чтобы удовлетворяла уравнению При решении примера 1.5 показано, что решением этого уравнения является функция . Тогда из (1.53) получаем уравнение для нахождения : или . (1.54) Интегрируем (1.54). Получаем . (1.55) Найдем . Для этого представим правильную дробь в виде суммы простейших дробей . Определим коэффициенты и из тождественного равенства многочленов , откуда или . Таким образом, . Тогда формула (1.55) приобретает вид . Учитывая, что , а значит , получим , откуда . Пример 1.9. [4] Найти общее решение уравнения . (1.56) Решение. Это – уравнение Бернулли, где . Ищем его решение в форме . Тогда уравнение (1.56) приобретает вид . (1.57) Требуем, чтобы удовлетворяла уравнению (1.58) Решаем уравнение (1.58) как уравнение с разделяющимися переменными: , , , Подставляем найденную функцию в (1.57). Получаем или . (1.59) Интегрируем (1.59): . (1.60) Найдем первообразную, стоящую в правой части (1.60), интегрируя по частям. Положив , найдем и . Тогда . Формула (1.60) принимает вид . (1.61) Учитывая, что или , определим из (1.61) общий интеграл уравнения (1.56) в виде .
Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть приведено к виду (1.62) Чтобы найти общее решение (или общий интеграл) уравнения (1.62), введем новую функцию , так что . Тогда и уравнение (1.62) можно записать в виде . (1.63) Мы получили уравнение с разделяющимися переменными: . Проинтегрируем его: ; . (1.64) Получен общий интеграл уравнения (1.63). После определения первообразной, стоящей в левой части (1.64), и замены на получим общий интеграл уравнения (1.62). Пример 1.10. Найти общее решение уравнения . (1.65) Решение. Уравнение (1.65) можно записать в виде , (1.66) поделив числитель и знаменатель его правой части на . Вводим новую функцию , и уравнение (1.66) приобретает вид . Преобразуем его: , или . Разделяя здесь переменные, получаем . (1.67) Интегрируем (1.67). Тогда , откуда , или . Отсюда . Заменяя здесь на , находим окончательно . Это общий интеграл уравнения (1.65). Пример 1.11. Найти общее решение уравнения . (1.68) Решение. Сделаем замену искомой функции по формуле и запишем уравнение (1.68) следующим образом: или , откуда . Значит или . Отсюда находим, что при , или . Таким образом, общее решение уравнения (1.68) имеет вид . Пример 1.12. [3] Найти общее решение уравнения . (1.69) Решение. Уравнение (1.69) является однородным. Действительно, преобразуем его к виду . (1.70) Теперь сделаем замену . Получим или . (1.71) «Разделим» переменные в уравнении (1.71) и проинтегрируем его. Это дает . (1.72) Вычислим первообразную, стоящую в левой части (1.72). Заметим, что . Тогда . В результате формула (1.72) приобретает вид или .
Это общий интеграл уравнения (1.71). Заменяя в нем на и на , находим общий интеграл уравнения (1.69): .
Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|