Примеры различных уравнений, допускающих понижение порядка

Пример 2.5. Решить задачу Коши

, (2.40)

. (2.41)

Решение. Уравнение (2.40) не содержит ни аргумента, ни искомой функции. Положим . Тогда и уравнение (2.40) приобретает вид

или

. (2.42)

Общий интеграл уравнения (2.42) имеет вид

. (2.43)

Подставим в (2.43) начальные значения и , доставляемые формулами (2.41). Получим

.

Подставив значение в (2.43), получим уравнение первого порядка

или

.

Его общее решение имеет вид

.

Снова используем формулы (2.41). Получим

,

откуда

.

Итак, решение задачи Коши (2.40), (2.41) имеет вид

или

.

Пример 2.6. [3]. Найти общее решение уравнения

. (2.44)

Решение. Уравнение (2.44) не содержит искомой функции. Введем функцию . Уравнение (2.44) приобретает вид

. (2.45)

Это – однородное уравнение. Осуществим замену . Тогда и . Уравнение (2.45) преобразуется к виду

или

. (2.46)

Проинтегрировав (2.46), получим

или

.

Отсюда

или

.

Тогда

или

. (2.47)

Уравнение (2.47) – простейшее уравнение первого порядка. Найдем непосредственным интегрированием. Получаем

.

Общее решение (2.44) имеет вид

Пример 2.7. Решить задачу Коши

, (2.48)

. (2.49)

Решение. Уравнение (2.48) не содержит аргумента . Будем рассматривать переменную как новую независимую переменную. Введем новую функцию . Тогда , и уравнение (2.48) принимает вид

. (2.50)

Отметим, что является решением уравнения (2.50). Оно не удовлетворяет начальным условиям (2.49). Так что интересующее нас решение задачи Коши удовлетворяет уравнению

или

. (2.51)

Проинтегрируем (2.51):

. (2.52)

Подставим начальные значения и из условий (2.49). Получим, что . Тогда из (2.52) следует, что

или

. (2.53)

Интегрируя (2.53), получаем

(2.54)

Подставляя значения и из условий (2.49) в (2.54), получаем, что . Таким образом, искомое решение имеет вид

.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка таков:

. (3.1)

Если , то уравнение (3.1) называется однородным. В противном случае оно называется неоднородным.

Рассмотрим линейное однородное уравнение

. (3.2)

Свойство суперпозиции решений линейного однородного уравнения

Теорема 1. Если функции являются решениями линейного однородного уравнения (3.2) на промежутке , то любая функция вида

, (3.3)

где – произвольные постоянные, тоже является решением уравнения (3.2) на промежутке .

Доказательство. Вычислим первую и вторую производные от функции (3.3):

Подставим функцию и ее производные в левую часть уравнения (3.2). Получим

(3.4)

Перегруппируем слагаемые в правой части равенства (3.4). Тогда

. (3.5)

Выражения, стоящие в фигурных скобках в правой части (3.5), обращаются в ноль, поскольку являются решениями уравнения (3.2). Следовательно, при любых справедливо тождество

,

и функция (3.3) при любых является решением (3.2). Теорема доказана.

Вронскиан и его свойство

Снова рассмотрим линейное однородное уравнение (3.2). Пусть – два его частных решения на промежутке .

Определитель вида

называется вронскианом решений (по имени польского математика Ю.Вронского). Конкретный вид функции определяется видом решений . Однако, каковы бы ни были , функциям присуще одно общее свойство.

Теорема 2. Либо вронскиан тождественно равен нулю при всех из промежутка , либо он ни при одном значении в ноль не обращается.

Доказательство. Запишем в виде

(3.6)

и продифференцируем эту функцию:

= . (3.7)

Составим теперь уравнение, связывающее и . Для этого проведем следующие рассуждения. Справедливы тождества

, (3.8)

. (3.9)

Умножим тождество (3.8) на , а (3.9) – на и сложим полученные тождества. В результате получим

.

Из равенств (3.6), (3.7) следует тогда, что удовлетворяет уравнению

. (3.10)

Уравнение (3.10) является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение. Запишем (3.10) в виде

или

.

Отсюда

(3.11)

или

. (3.12)

Тогда

. (3.13)

Заметим, что в формулах (3.11) и (3.12) мы должны предположить, что . Однако в итоговой формуле (3.13) это ограничение можно снять, так как очевидным образом является решением уравнения (3.10). Из формулы (3.13) следует, что либо функция нигде в ноль не обращается (при ), либо (при ). Теорема доказана.

Ясно, что обращение или не обращение вронскиана в ноль зависит от того, на каких решениях он построен. В следующем пункте мы выделим в отдельные классы пары решений , для которых и пары, для которых нигде не обращается в ноль.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: