|
Примеры различных уравнений, допускающих понижение порядка ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 Пример 2.5. Решить задачу Коши , (2.40) . (2.41) Решение. Уравнение (2.40) не содержит ни аргумента, ни искомой функции. Положим . Тогда и уравнение (2.40) приобретает вид или . (2.42) Общий интеграл уравнения (2.42) имеет вид . (2.43) Подставим в (2.43) начальные значения и , доставляемые формулами (2.41). Получим . Подставив значение в (2.43), получим уравнение первого порядка или . Его общее решение имеет вид . Снова используем формулы (2.41). Получим , откуда . Итак, решение задачи Коши (2.40), (2.41) имеет вид или . Пример 2.6. [3]. Найти общее решение уравнения . (2.44) Решение. Уравнение (2.44) не содержит искомой функции. Введем функцию . Уравнение (2.44) приобретает вид . (2.45) Это – однородное уравнение. Осуществим замену . Тогда и . Уравнение (2.45) преобразуется к виду или . (2.46) Проинтегрировав (2.46), получим или . Отсюда или . Тогда или . (2.47) Уравнение (2.47) – простейшее уравнение первого порядка. Найдем непосредственным интегрированием. Получаем . Общее решение (2.44) имеет вид Пример 2.7. Решить задачу Коши , (2.48) . (2.49) Решение. Уравнение (2.48) не содержит аргумента . Будем рассматривать переменную как новую независимую переменную. Введем новую функцию . Тогда , и уравнение (2.48) принимает вид . (2.50) Отметим, что является решением уравнения (2.50). Оно не удовлетворяет начальным условиям (2.49). Так что интересующее нас решение задачи Коши удовлетворяет уравнению или . (2.51) Проинтегрируем (2.51): . (2.52) Подставим начальные значения и из условий (2.49). Получим, что . Тогда из (2.52) следует, что или . (2.53) Интегрируя (2.53), получаем (2.54) Подставляя значения и из условий (2.49) в (2.54), получаем, что . Таким образом, искомое решение имеет вид .
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка Общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка таков: . (3.1) Если , то уравнение (3.1) называется однородным. В противном случае оно называется неоднородным. Рассмотрим линейное однородное уравнение . (3.2)
Свойство суперпозиции решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если функции являются решениями линейного однородного уравнения (3.2) на промежутке , то любая функция вида , (3.3) где – произвольные постоянные, тоже является решением уравнения (3.2) на промежутке . Доказательство. Вычислим первую и вторую производные от функции (3.3): Подставим функцию и ее производные в левую часть уравнения (3.2). Получим (3.4) Перегруппируем слагаемые в правой части равенства (3.4). Тогда . (3.5) Выражения, стоящие в фигурных скобках в правой части (3.5), обращаются в ноль, поскольку являются решениями уравнения (3.2). Следовательно, при любых справедливо тождество , и функция (3.3) при любых является решением (3.2). Теорема доказана. Вронскиан и его свойство Снова рассмотрим линейное однородное уравнение (3.2). Пусть – два его частных решения на промежутке . Определитель вида называется вронскианом решений (по имени польского математика Ю.Вронского). Конкретный вид функции определяется видом решений . Однако, каковы бы ни были , функциям присуще одно общее свойство. Теорема 2. Либо вронскиан тождественно равен нулю при всех из промежутка , либо он ни при одном значении в ноль не обращается. Доказательство. Запишем в виде (3.6) и продифференцируем эту функцию: = . (3.7) Составим теперь уравнение, связывающее и . Для этого проведем следующие рассуждения. Справедливы тождества , (3.8) . (3.9) Умножим тождество (3.8) на , а (3.9) – на и сложим полученные тождества. В результате получим . Из равенств (3.6), (3.7) следует тогда, что удовлетворяет уравнению . (3.10) Уравнение (3.10) является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение. Запишем (3.10) в виде или . Отсюда (3.11) или . (3.12) Тогда . (3.13) Заметим, что в формулах (3.11) и (3.12) мы должны предположить, что . Однако в итоговой формуле (3.13) это ограничение можно снять, так как очевидным образом является решением уравнения (3.10). Из формулы (3.13) следует, что либо функция нигде в ноль не обращается (при ), либо (при ). Теорема доказана. Ясно, что обращение или не обращение вронскиана в ноль зависит от того, на каких решениях он построен. В следующем пункте мы выделим в отдельные классы пары решений , для которых и пары, для которых нигде не обращается в ноль.
ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|