Уравнение с разделяющимися переменными

Так называются уравнения вида

. (1.11)

Чтобы получить общее решение (общий интеграл) уравнения (1.11), следует воспользоваться тем, что , а затем “разделить” переменные, т.е. записать уравнение (1.11) в виде

или

.

Деля обе части (1.11) на , можно потерять решения вида , где является решением уравнения . Эти решения после получения общего решения следует рассмотреть отдельно. Может оказаться, что они не являются частными решениями (1.11).

Если дифференциалы двух функций равны, то сами функции могут отличаться друг от друга лишь на постоянное слагаемое. (См. теорему о первообразных учебного пособия [2].) Следовательно,

. (1.12)

Формула (1.12) и даёт общее решение (общий интеграл) уравнения (1.11). Заметим, что простейшее дифференциальное уравнение (1.10) является частным случаем у равнения с разделяющимися переменными (1.11), когда .

Пример 1.1. Найти общее решение уравнения

(1.13)

Решение. Правую часть этого уравнения можно разложить на множители:

Следовательно, уравнение (1.13) можно переписать в виде

или

(1.14)

и «разделить» в нём переменные:

.

Отсюда

или

.

Тем самым получен общий интеграл уравнения (1.13). Его можно переписать в виде

.

Пример 1.2. Найти общее решение уравнения

. (1.15)

Решение. Перепишем уравнение в виде

и “разделим” переменные, получив

. (1.16)

Отсюда

.

Здесь произвольная постоянная выбрана в виде (). После вычисления интегралов получаем

или

.

Тем самым получен общий интеграл исходного уравнения (1.15).

Пример 1.3. [1]. Дано дифференциальное уравнение

. (1.17)

а. Найти его общее решение.

б. Решить для него задачу Коши с начальным условием

. (1.18)

Решение.

а. Запишем уравнение (1.17) в виде

. (1.19)

Проинтегрируем (1.19). Получим

или

. (1.20)

Получен общий интеграл уравнения (1.17). Легко видеть, что геометрически формула (1.20) определяет семейство полупарабол: (см. рисунок).

б. Чтобы решить задачу Коши (1.17), (1.18), подставим в формулу (1.20) начальные данные и . Получим

.

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

. (1.21)

График функции (1.21) отмечен на рисунке жирной линией.

Линейные уравнения

Линейным уравнением называется уравнение вида

. (1.22)

Заметим, что искомая функция и ее производная входят в уравнение (1.22) только в первой степени и между собой не перемножаются.

Общее решение этого уравнения будем искать методом Бернулли. Согласно этому методу решение ищется в виде произведения двух функций

, (1.23)

где функция выбирается произвольно, а функция определяется при известной уже так, чтобы была решением (1.22).

Подставим функцию (1.23) в уравнение (1.22). Получим

,

или

. (1.24)

Потребуем, чтобы удовлетворяла уравнению

. (1.25)

Здесь мы воспользовались возможностью произвольно выбрать . Уравнение (1.25) – уравнение с разделяющимися переменными. Поэтому представим его в виде

. (1.26)

Проинтегрируем (1.26). Получим

или

,

откуда

. (1.27)

Нам нужна лишь одна, любая функция, удовлетворяющая (1.25), поэтому произвольную постоянную при интегрировании положим равной нулю.

Подставив функцию в уравнение (1.24), получим для определения простейшее уравнение

.

Его общее решение имеет вид

.

Тогда

,

где определяется по формуле (1.27).

Пример 1.4. Найти общее решение уравнения

. (1.28)

Решение. Ищем решение в виде . Тогда (1.28) запишется следующим образом

. (1.29)

Функцию ищем как решение уравнения

или

.

Тем самым выражение в уравнении (1.29) обращается в ноль. Интегрируя последнее равенство, получаем

или

.

Подставляем найденную функцию в уравнение (1.29). Получаем

или

Тогда

.

Общее решение (1.28) имеет вид

.

Пример 1.5. Найти общее решение уравнения

. (1.30)

Решение. Ищем решение уравнения (1.30) в виде . Тогда (1.30) принимает вид

. (1.31)

Требуем, чтобы функция была решением уравнения

(1.32)

или

.

Интегрируя это равенство, получаем

,

откуда

.

(Мы воспользовались свойством: .)

Подставляем найденную функцию в (1.31). Получаем

,

откуда

или

.

Общее решение уравнения (1.30) имеет вид

.

Пример 1.6. Решить задачу Коши:

, (1.33)

. (1.34)

Решение. Прежде всего, следует получить общее решение уравнения (1.33). Ищем решение в виде . Подставим его в (1.33). Получим

. (1.35)

Потребуем, чтобы . Тогда

. (1.36)

Решаем (1.36) как уравнение с разделяющимися переменными:

,

,

,

. (1.37)

Подставляем функцию из (1.37) в уравнение (1.35). Получаем

,

откуда

.

Отдельно найдем первообразную, стоящую в правой части, с помощью замены :

.

Таким образом,

,

и общее решение уравнения (1.33) имеет вид

. (1.38)

Теперь, чтобы найти постоянную , подставим значения x и y из начального условия (1.34) в общее решение (1.38). Получим

.

Следовательно, и решение задачи (1.33), (1.34) имеет вид

.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: