Обыкновенные дифференциальные уравнения

В. Б. Смирнова

Л. Е. Морозова

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Санкт-Петербург

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный

Архитектурно-строительный университет

В.Б.Смирнова

Л.Е.Морозова

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Учебное пособие

Санкт-Петербург

УДК 519.95 (075.8)

В.Б.Смирнова, Л.Е.Морозова

Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебное пособие / СПб. гос. архит.-строит. ун-т.; – СПб., 2009. –70 с.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения раздела «Обыкновенные дифференциальные уравнения» студентами специальностей с сокращенным курсом математики. Даны основные определения и теоремы. Приводится методика решения задач. Рассмотрены многочисленные примеры.

Табл. 1. Библиогр.: 6 назв.

Введение

Изучение различных задач геометрии, механики, физики часто приводит к уравнениям, содержащим искомые переменные величины и их производные. Такие уравнения принято называть дифференциальными.

Если искомые величины являются функциями одной переменной, то дифференциальные уравнения называются обыкновенными. Если искомые величины являются функциями нескольких переменных, то уравнения называются дифференциальными уравнениями с частными производными.

В данном учебном пособии изучаются только обыкновенные дифференциальные уравнения. Дадим развернутое определение этого понятия.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство, выражающее зависимость между функцией одной переменной, её аргументом и её производными. Это равенство может не содержать самой функции или её аргумента, оно может не содержать ни функции, ни аргумента, но оно обязательно содержит хотя бы одну производную функции.

Всюду далее обыкновенные дифференциальные уравнения будем называть дифференциальными уравнениями.

Приведем примеры обыкновенных дифференциальных уравнений:

;

;

;

.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей входящей в него производной.

В приведённых выше примерах порядки уравнений, рассматриваемых сверху вниз, таковы: 2; 4; 3; 3.

Простейшее уравнение

Его общий вид таков:

. (1.10)

Его общее решение представляет собой неопределённый интеграл от функции , т.е.

.

Здесь и во всех последующих записях решений дифференциальных уравнений под символом имеется в виду одна (любая) первообразная подынтегральной функции.

Уравнение (1.3) является простейшим.

Решение.

а. Запишем уравнение (1.17) в виде

. (1.19)

Проинтегрируем (1.19). Получим

или

. (1.20)

Получен общий интеграл уравнения (1.17). Легко видеть, что геометрически формула (1.20) определяет семейство полупарабол: (см. рисунок).

б. Чтобы решить задачу Коши (1.17), (1.18), подставим в формулу (1.20) начальные данные и . Получим

.

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

. (1.21)

График функции (1.21) отмечен на рисунке жирной линией.

Линейные уравнения

Линейным уравнением называется уравнение вида

. (1.22)

Заметим, что искомая функция и ее производная входят в уравнение (1.22) только в первой степени и между собой не перемножаются.

Общее решение этого уравнения будем искать методом Бернулли. Согласно этому методу решение ищется в виде произведения двух функций

, (1.23)

где функция выбирается произвольно, а функция определяется при известной уже так, чтобы была решением (1.22).

Подставим функцию (1.23) в уравнение (1.22). Получим

,

или

. (1.24)

Потребуем, чтобы удовлетворяла уравнению

. (1.25)

Здесь мы воспользовались возможностью произвольно выбрать . Уравнение (1.25) – уравнение с разделяющимися переменными. Поэтому представим его в виде

. (1.26)

Проинтегрируем (1.26). Получим

или

,

откуда

. (1.27)

Нам нужна лишь одна, любая функция, удовлетворяющая (1.25), поэтому произвольную постоянную при интегрировании положим равной нулю.

Подставив функцию в уравнение (1.24), получим для определения простейшее уравнение

.

Его общее решение имеет вид

.

Тогда

,

где определяется по формуле (1.27).

Пример 1.4. Найти общее решение уравнения

. (1.28)

Решение. Ищем решение в виде . Тогда (1.28) запишется следующим образом

. (1.29)

Функцию ищем как решение уравнения

или

.

Тем самым выражение в уравнении (1.29) обращается в ноль. Интегрируя последнее равенство, получаем

или

.

Подставляем найденную функцию в уравнение (1.29). Получаем

или

Тогда

.

Общее решение (1.28) имеет вид

.

Пример 1.5. Найти общее решение уравнения

. (1.30)

Решение. Ищем решение уравнения (1.30) в виде . Тогда (1.30) принимает вид

. (1.31)

Требуем, чтобы функция была решением уравнения

(1.32)

или

.

Интегрируя это равенство, получаем

,

откуда

.

(Мы воспользовались свойством: .)

Подставляем найденную функцию в (1.31). Получаем

,

откуда

или

.

Общее решение уравнения (1.30) имеет вид

.

Пример 1.6. Решить задачу Коши:

, (1.33)

. (1.34)

Решение. Прежде всего, следует получить общее решение уравнения (1.33). Ищем решение в виде . Подставим его в (1.33). Получим

. (1.35)

Потребуем, чтобы . Тогда

. (1.36)

Решаем (1.36) как уравнение с разделяющимися переменными:

,

,

,

. (1.37)

Подставляем функцию из (1.37) в уравнение (1.35). Получаем

,

откуда

.

Отдельно найдем первообразную, стоящую в правой части, с помощью замены :

.

Таким образом,

,

и общее решение уравнения (1.33) имеет вид

. (1.38)

Теперь, чтобы найти постоянную , подставим значения x и y из начального условия (1.34) в общее решение (1.38). Получим

.

Следовательно, и решение задачи (1.33), (1.34) имеет вид

.

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть приведено к виду

(1.62)

Чтобы найти общее решение (или общий интеграл) уравнения (1.62), введем новую функцию , так что . Тогда и уравнение (1.62) можно записать в виде

. (1.63)

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными:

.

Проинтегрируем его:

;

. (1.64)

Получен общий интеграл уравнения (1.63). После определения первообразной, стоящей в левой части (1.64), и замены на получим общий интеграл уравнения (1.62).

Пример 1.10. Найти общее решение уравнения

. (1.65)

Решение. Уравнение (1.65) можно записать в виде

, (1.66)

поделив числитель и знаменатель его правой части на . Вводим новую функцию , и уравнение (1.66) приобретает вид

.

Преобразуем его:

,

или

.

Разделяя здесь переменные, получаем

. (1.67)

Интегрируем (1.67). Тогда

,

откуда

,

или

.

Отсюда

.

Заменяя здесь на , находим окончательно

.

Это общий интеграл уравнения (1.65).

Пример 1.11. Найти общее решение уравнения

. (1.68)

Решение. Сделаем замену искомой функции по формуле и запишем уравнение (1.68) следующим образом:

или

,

откуда

.

Значит

или

.

Отсюда находим, что

при , или .

Таким образом, общее решение уравнения (1.68) имеет вид

.

Пример 1.12. [3] Найти общее решение уравнения

. (1.69)

Решение. Уравнение (1.69) является однородным. Действительно, преобразуем его к виду

. (1.70)

Теперь сделаем замену . Получим

или

. (1.71)

«Разделим» переменные в уравнении (1.71) и проинтегрируем его. Это дает

. (1.72)

Вычислим первообразную, стоящую в левой части (1.72). Заметим, что

.

Тогда

.

В результате формула (1.72) приобретает вид

или

.

Это общий интеграл уравнения (1.71). Заменяя в нем на и на , находим общий интеграл уравнения (1.69):

.

Простейшее уравнение

Его общий вид таков

. (2.6)

Общее решение этого уравнения получается последовательным интегрированием. Запишем (2.6) в виде уравнения первого порядка относительно :

(2.7)

и получим общее решение этого простейшего уравнения:

. (2.8)

Равенство (2.8) снова является простейшим уравнением первого порядка. Его общее решение имеет вид

или

. (2.9)

Приведенное ранее в качестве примера уравнение (2.4) является простейшим уравнением.

Пример 2.1. Дано уравнение

. (2.10)

а. Найти его общее решение.

б. Решить задачу Коши для уравнения (2.10) с начальными условиями:

. (2.11)

Решение.

а. Последовательно интегрируем (2.10):

или

; (2.12)

или

. (2.13)

б. Подставим значения из начальных условий (2.11) последовательно в (2.12) и (2.13). Из (2.12) получим

,

откуда . Из (2.13) получим

,

откуда .

Итак, решение задачи Коши (2.10), (2.11) имеет вид

.

Вронскиан и его свойство

Снова рассмотрим линейное однородное уравнение (3.2). Пусть – два его частных решения на промежутке .

Определитель вида

называется вронскианом решений (по имени польского математика Ю.Вронского). Конкретный вид функции определяется видом решений . Однако, каковы бы ни были , функциям присуще одно общее свойство.

Теорема 2. Либо вронскиан тождественно равен нулю при всех из промежутка , либо он ни при одном значении в ноль не обращается.

Доказательство. Запишем в виде

(3.6)

и продифференцируем эту функцию:

= . (3.7)

Составим теперь уравнение, связывающее и . Для этого проведем следующие рассуждения. Справедливы тождества

, (3.8)

. (3.9)

Умножим тождество (3.8) на , а (3.9) – на и сложим полученные тождества. В результате получим

.

Из равенств (3.6), (3.7) следует тогда, что удовлетворяет уравнению

. (3.10)

Уравнение (3.10) является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение. Запишем (3.10) в виде

или

.

Отсюда

(3.11)

или

. (3.12)

Тогда

. (3.13)

Заметим, что в формулах (3.11) и (3.12) мы должны предположить, что . Однако в итоговой формуле (3.13) это ограничение можно снять, так как очевидным образом является решением уравнения (3.10). Из формулы (3.13) следует, что либо функция нигде в ноль не обращается (при ), либо (при ). Теорема доказана.

Ясно, что обращение или не обращение вронскиана в ноль зависит от того, на каких решениях он построен. В следующем пункте мы выделим в отдельные классы пары решений , для которых и пары, для которых нигде не обращается в ноль.

Принцип наложения

Теорема 8. Пусть правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть представлена как сумма двух слагаемых, именно

(4.59)

Тогда уравнение (4.59) имеет частное решение вида

,

где – какое-нибудь частное решением уравнения

, (4.60)

а – какое-нибудь частное решением уравнения

. (4.61)

Доказательство. Подставим в левую часть уравнения (4.59). Учитывая, что удовлетворяет (4.60), а удовлетворяет (4.61), получим цепочку равенств

Тем самым доказано, что удовлетворяет (4.59).

Следствие. Пусть линейное неоднородное уравнение имеет вид

. (4.62)

Тогда его частным решением будет функция

,

где являются решениями уравнений

.

Справедливость этого следствия очевидна.

Опираясь на теорему 8 и ее следствие можно к разным слагаемым правой части неоднородного уравнения применять различные формулы и различные методы для отыскания частных решений.

Пример 4.10. Найти общее решение уравнения

(4.62)

Решение. Составим соответствующее (4.62) однородное уравнение

(4.63)

и характеристическое уравнение

(4.64)

Последнее имеет два вещественных корня . Следовательно, общее решение уравнения (4.63) имеет вид

Правую часть уравнения (4.62) представим в виде суммы трех слагаемых:

Будем последовательно искать частные решения неоднородных уравнений, правые части которых совпадают с одним из указанных слагаемых, а левые части – одинаковые и совпадают с левой частью уравнения (4.63).

1) (4.65)

Это – уравнение со специальной правой частью вида , где , а . Так как совпадает с корнем , то решение (4.65) ищем в виде

.

Ищем число :

Следовательно, и .

Тогда

.

2) (4.66)

Уравнение (4.66) имеет специальную правую часть вида , где , . Так как и , его частное решение следует искать в виде

Определяем коэффициенты и :

Следовательно,

Отсюда

или

Таким образом,

.

3) (4.67)

Это – уравнение со специальной правой частью типа , где , , , . Так как числа не являются корнями (4.64), частное решение (4.67) следует искать в виде

Определяем и :

Тогда из тождественного равенства

получаем систему

откуда находим

Таким образом,

Окончательно, получим

Рекомендуемая литература

1. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – СПб.: «Лань», 2005.

2. Неопределенный интеграл. Учебное пособие / В.Б.Смирнова,Л.Е.Морозова.. – СПб.: СПбГАСУ, 2007.

3. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Минск: «Вышейшая школа», 1977.

4. Под редакцией Тузова. Сборникзадач по дифференциальным уравнениям с решениями и ответами.– СПб.: НПО «Мир и семья – 95»ООО «Интерлан», 1999.

5. Карпиловская Э.Б. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методические указания к выполнению задания для студентов всех специальностей ЛИСИ. – Л.: ЛИСИ, 1984.

6. Ершов Е.К.., Неупокоева М.В. Дифференциальные уравнения. Учебное пособие. – СПб.:СПбГАСУ, 2002.

Содержание

1. Дифференциальные уравнения первого порядка……………………..………..3

1.1. Простейшее уравнение….……………...…………………………………6

1.2. Уравнение с разделяющимися переменными.…………...……………...6

1.3. Линейные уравнения…………………...……….……….....………….10

1.4. Обобщенное линейное уравнение (уравнение Бернулли)………….….14

1.5. Однородные уравнения………………………………………….………19

1.6. Решение задачи Коши для различных типов уравнений первого порядка……………………………………………………………………23

2. Дифференциальные уравнения второго порядка……..……..……….………26

2.1. Уравнения, допускающие понижение порядка………………………..28

2.1.1. Простейшее уравнение……….……………………..………..………..28

2.1.2. Уравнение, в котором отсутствует искомая функция……….…….29

2.1.3. Уравнение, не содержащее независимой переменной……….…….31

2.1.4. Примеры различных уравнений, допускающих понижение порядка..34

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка…..34

3.1. Свойство суперпозиции решений линейного однородного уравнения…………………………………………….………………...….37

3.2. Вронскиан и его свойство………………………………………………...38

3.3. Линейно зависимые и линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения…………..…….……………………40

3.4. Структура общего решения линейного однородного уравнения…………………………………………….……………...…….41

3.5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами…………………………………….…………………….43

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка…………………………………………………...………………………49

4.1. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения………………………...……………………………………….49

4.2. Метод вариации произвольных постоянных……………………………51

4.3. Линейные дифференциальные уравнения со специальными правыми частями……………………………………………………….……………56

4.4. Принцип наложения………………………………………………………65

Рекомендуемая литература…………………………………………………… 69

В. Б. Смирнова

Л. Е. Морозова

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Санкт-Петербург

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: