Примеры линейных пространств

1. . Такое линейное пространство называется нулевым, или тривиальным.

2. Множество свободных векторов, лежащих на одной прямой (плоскости или в обычном пространстве). Эти пространства мы будем обозначать , и соответственно. Смысл нижних индексов выяснится позднее в §6.

3. Множество прямоугольных матриц одного и того же размера.

4. Множество решений однородной системы линейных алгебраических урав­нений.

5. Множество, элементами которого являются упорядоченные наборы n действительных чисел: , если операции сложения элементов и умножение на действительное число определить следующим образом:

, .

6. Множество С [ a, b ] непрерывных на отрезке [ a, b ] функций f(t), если для этих функций естественным образом определены операции сложения и умножения на число.

7. Совокупность всех многочленов степени не выше n: , для которых обычным образом определены операции сложения и умножения на действительное число.

Определение 3.2. Линейным подпространством линейного пространства называется непустое подмножество векторов из L, которые сами образуют линейное пространство относительно уже введенных в L операций сложения и умножения на число, т.е. такое подмножество , для которого выполнены 2 условия:

1.

2.

Тривиальными примерами линейных подпространств пространства L могут служить само пространство L а также множество, состоящее из одного нулевого элемента (нулевое подпространство).

В пространстве L ₃совокупность векторов, лежащих в какой-нибудь плоскости или какой-нибудь прямой, которые проходят через начало координат, будут образовывать линейные подпространства.

Множества диагональных и верхних треугольных (нижних треугольных) матриц являются подпространствами линейного пространства, образованного множеством квадратных матриц одного и того же порядка.

§4. Линейная зависимость и независимость системы n векторов

Пусть дана система n векторов и n действительных чисел .

Определение 4.1. Линейной комбинацией векторов будем называть вектор следующего вида

.

Если , то получаем

. (4.1)

Определение 4.2. Система из n векторов называется линейно неза­висимой, если из равенства (4.1) следует, что все коэффициенты равны нулю, т. е.

.

Определение 4.3. Система из n векторов называется линейно зависимой, если из равенства (4.1) следует, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, т.е.

.

Отметим следующие три свойства линейно зависимых систем векторов.

Теорема 4.1. Если среди векторов хотя бы один вектор является нулевым, то такая система векторов линейно зависима.

Доказательство. Пусть, например, . Тогда можно составить линейную комбинацию векторов

А это и означает, что векторы линейно зависимы.▲

Теорема 4.2. Система n () векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Доказательство.

Необходимость. Пусть система векторов линейно зависима. Согласно определению 4.3 в равенстве (4.1) существует, по крайней мере, один коэффициент (). Для определенности будем считать, что . Тогда из (4.1) можно выразить вектор :

.

А это и означает, по определению 4.1, что вектор является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Достаточность. Пусть один из векторов системы, например вектор , можно представить в виде линейной комбинации остальных:

.

Перенося все слагаемые в правую сторону, получим

.

Так как в данной линейной комбинации коэффициент , то по определению 4.3 мы имеем линейно зависимую систему векторов. ▲

Теорема 4.3. Если среди векторов имеется хотя бы одна подсистема линейно зависимых векторов, то вся система линейно зависима.

Доказательство. Пусть среди векторов имеется k (k < n) линейно зависимых. Можно считать, что первые k векторов линейно зависимы (если это не так, то векторы всегда можно перенумеровать), т. е.

,

где, например, . Равенство не изменится, если мы добавим в его левую часть остальные (n–k) векторов с нулевыми коэффициентами:

.

Мы имеем равную нулевому вектору линейную комбинацию n векторов , и при этом . Следовательно, система векторов линейно зависи­ма.▲

Примеры линейно зависимых

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: