И линейно независимых систем векторов

В этом параграфе рассмотрим примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов пространства . Предварительно приведем следующие теоремы.

Теорема 5.1. Если векторы и коллинеарные, то существует единственное число такое, что .

Теорема 5.2. Если векторы , и компланарные, то существуют единственные числа такие, что .

Теоремы 4.1, 4.2, 5.1, 5.2 позволяют сформулировать следующие утверждения:

1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда он нулевой.

2. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима, тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

3. Система, состоящая из трех векторов, линейно зависима, тогда и только тогда, когда данные три вектора компланарны.

Теорема 5.3. Пусть в пространстве даны три некомпланарных вектора , и , тогда любой вектор этого пространства можно разложить по данным векторам, причем единственным образом.

Доказательство. I. Покажем существование чисел , таких, что

. (5.1)

Рассмотрим следующие случаи:

1. Вектор коллинеарен одному из трех векторов , и , например, вектору . Тогда, согласно теореме 5.1, вектор можно представить: , где .

2. Векторы , и — компланарные. Тогда, согласно теореме 5.2: , где . Аналогично можно рассмотреть случаи, когда компланарными являются векторы , , или , , .

3. Вектор произвольный. Отложим от некоторой точки О пространства векторы и (см. рис. 8). Проведем прямую через точку А параллельно вектору . Прямая пересекает плоскость QOP в точке К. По правилу треугольника сложения векторов (2.1) имеем:

. (5.2)

Так как векторы принадлежат одной плоскости QOP, т.е. являются компланарными, то по теореме 5.2: , где . По построению , тогда согласно теореме 5.1: . Таким образом, подставляя найденные выражения векторов в (5.2), найдем: .

Рис. 8

II. Покажем единственность чисел в разложении (5.1). Для этого воспользуемся методом «от противного». Предположим, что существуют такие числа , причем выполняется, по крайней мере, одно из неравенств , и

. (5.3)

Вычитая из равенства (5.3) равенство (5.1), находим

(5.4)

Согласно нашему предположению, хотя бы один из коэффициентов в (5.4) отличен от нуля, а это означает, что векторы , и линейно зависимы, а значит компланарны. Мы получили противоречие с условием теоремы. Следовательно, наше предположение неверно. Таким образом, коэффициенты в разложении (5.1) единственные.▲

Следствие 5.1. Любые четыре (или более) вектора пространства линейно зависимы.

§6. Базис. Координаты* вектора в базисе

Определение 6.1. Базисом векторов на прямой называется любой линейно независимый вектор, принадлежащий этой прямой. Базисом векторов на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов, принадлежащих этой плоскости. Базисом векторов в трехмерном пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов этого пространства.

Из определения базиса и утверждений 1–3 предыдущего параграфа следует, что: 1) базисом векторов на прямой является любой ненулевой вектор , лежащий на этой прямой; 2) базисом векторов на плоскости является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов , принадлежащих этой плоскости; 3) базисом векторов в трехмерном пространстве является любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов этого пространства. Такие базисы называют аффинными базисами векторов прямой, плоскости и трехмерного пространства соответственно.

Введем понятие координат вектора трехмерного пространства в данном бази­се. Пусть — аффинный базис векторов пространства, — произвольный вектор пространства. Согласно теореме 5.3 и определению базиса векторов трех­мерного пространства, вектор можно разложить по базисным векторам, т.е. пред­ставить в виде

, (6.1)

причем каждому вектору ставится в соответствие единственная тройка чисел и наоборот.

Определение 6.2. Коэффициенты в разложении (6.1) вектора по базису называются координатами (аффинными координатами) вектора в данном базисе (относительного данного базиса). Число называют первой координатой, — второй координатой, а — третьей координатой вектора .

Вектор можно задавать его координатами: .

Замечание. Коэффициенты одного и того же вектора в разложениях по разным базисам различны.

Замечание. Координаты вектора можно также записывать в виде строчной или столбцевой матриц. Поэтому очень часто под вектором понимают соответствующую сточную (столбцевую) матрицу и наоборот: при необходимости любую матрицу рассматривают как вектор с соответствующими координатами. Строчные(столбцевые) матрицы частоназывают вектор-строкой (вектор-столбцом).

Замечание. Базисные векторы в базисе имеют координаты:

Определение 6.3. Если базисные векторы пространства являются единичными и взаимно перпендикулярными, то базис называется прямоугольным декартовым, или ортонормированным, а сами векторы — ортами.

Векторы ортонормированного базиса трехмерного пространства принято обозначать . Вектор относительно декартового базиса задается в виде:

. (6.2)

Определение 6.4. Координаты вектора относительно ортонормированного базиса будем называть прямоугольными.

Замечание. Аналогично определяются координаты вектора на плоскости или прямой. Вектор на плоскости относительно некоторого аффинного базиса однозначно задается упорядоченной парой чисел , т. е. . Вектор, лежащий на прямой, относительно некоторого базиса однозначно задается одним числом , т. е. .

Рассмотрим понятие базиса для произвольного линейного пространства L.

Определение 6.5. Базисом линейного пространства L называется любая упорядоченная система линейно независимых векторов этого пространства таких, что каждый вектор представим в виде линейной комбинации этих векторов, т.е.

. (6.3)

Выражение (6.3) называется разложением вектора по базису , а числа { }() называются координатами вектора относительно данного базиса.

В пространстве L существует много различных базисов, однако все они состоят из одного и того же числа векторов. Количество векторов в базисе называется размерностью линейного пространства. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L (от французского слова dimension — размерность). Пространство L размерности n будем называть n - мерным и писать

Замечание. Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность будем считать равной нулю.

Замечание. Множество векторов прямой образует одномерное, плоскости — двумерное, обычного пространства — трехмерное векторные пространства. Выше мы обозначили их через соответственно. Здесь нижний индекс означает размерность пространства.

Пространства, в которых нельзя указать базис, состоящий из конечного числа векторов, называются бесконечномерными. Примером бесконечномерного про­странства может служить множество С [ a, b ] непрерывных на отрезке [ a, b ] функций f(t), для которых операции сложения и умножения на число определены естественным образом.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса можно свести к линейным операциям над числами — координатами этих векторов относительно данного базиса. Об этом и пойдет речь в следующем параграфе.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: