Свойства скалярного произведения

1) (коммутативность);

2) (дистрибутивность);

3) ;

4) Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: ;

5) Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны, т.е. и .

Свойства 1, 3-5 непосредственно следуют из определения 11.1 и свойств косинуса.

Докажем свойство 2.

Учитывая формулу (11.2) и свойства проекций, получим

Замечание. По аналогии с операцией умножения на множестве чисел в случае скалярного умножения вектора на себя будем писать вместо . На практике удобно использовать формулу для нахождения длины вектора, которая легко получается из свойства 4:

(11.3)

Определение 11.2. Два ненулевых вектора и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Теорема 11.1 (координатное представление скалярного произведения). Если векторы и относительно ортонормированного базиса { } заданы своими координатами, т.е. , , то скалярное произведение векторов и равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, т.е.

. (11.4)

Доказательство. Запишем разложения векторов и по базису: , . Найдем скалярное произведение этих векторов

Так как и , то по определению скалярного произведения имеем: . Учитывая эти равенства и свойство коммутативности скалярного произведения, окончательно находим:

.▲

Следствие 11.1. Скалярные произведения вектора , заданного в ортонормированном базисе { } координатами , на соответствующие базисные векторы равны координатам этого вектора, т.е.

Следствие 11.2. .

Это непосредственно следует из формул (11.3) и (11.4).

Следствие 11.3. Косинус угла между ненулевыми векторами и , заданными в базисе { } координатами , , вычисляется по формуле

. (11.5)

Что непосредственно следует из формул (11.1), (11.4) и следствия 11.2.

Замечание. Косинусы углов между вектором и базисными векторами и есть направляющие косинусы вектора , о которых шла речь в определении 10.1. При подстановке координат векторов , в формулу (11.5) получаются формулы для нахождения направляющих косинусов вектора , аналогичные равенствам (10.2).

Следствие 11.4. Проекция вектора на направление, определяемое вектором , находится по формуле

. (11.6)

В справедливости формулы легко убедиться, используя формулы (11.2), (11.4) и следствие 11.2.

Геометрический смысл скалярного произведения. Угол между двумя ненулевыми векторами острый (тупой), если скалярное произведение этих векторов есть число положительное (отрицательное). Угол между двумя ненулевыми векторами прямой, если скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Это утверждение непосредственно следует из формулы 11.1 и свойств косинуса.

Физический смысл скалярного произведения. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец некоторого вектора , то работа А этой силы определяется равенством

. (11.7)

Замечание. В этом параграфе мы определили скалярное произведение векторов трехмерного пространства при помощи длин векторов и угла между ними. Это не единственный способ задания скалярного произведения векторов. Например, в произвольном линейном пространстве, где нет понятия длины вектора или угла между векторами, понятие скалярного умножения можно вводить аксиоматически, т.е. при помощи некоторых свойств, которыми скалярное произведение, как мы видим на примере трехмерного пространства, обладает. В этом случае длина вектора и угол между векторами могут быть, в свою очередь, определены через скалярные произведения. Подробнее об этом пойдет речь в следующем параграфе.

§12. Евклидово пространство*: основные понятия

Рассмотрим действительное линейное пространство L.

Определение 12.1. Будем говорить, что в линейном пространстве L задано скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие действительное число так, что выполняются следующие условия:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , причем равенство нулю имеет место лишь для нулевого вектора .

Определение 12.2. Линейное пространство L, в котором определено скалярное произведение, будем называть евклидовым пространством и обозначать E.

Если n -мерное линейное пространство — евклидово, то будем называть его евклидовым n-мерным пространством, а базис линейного пространства — базисом евклидова пространства.

Дадим определения длины вектора и угла между векторами в евклидовом пространстве E.

Определение 12.3. Длиной вектора называется величина

.

Определение 12.4. Углом между векторами называется угол , косинус которого равен

Определение 12.5. Два вектора евклидова пространства E называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

.

Пусть в евклидовом пространстве задан некоторый ортонормированный базис , т.е. при и при . Если векторы относительно данного базиса имеют разложения , , то несложно показать, что скалярное произведение будет определяться формулой

. (12.1)

Замечание. Длину вектора и угол между векторами с учетом (12.1) можно вычислять по формулам

(12.2)

(12.3)

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: