|
|
Векторное произведение векторов ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 Определение 13.1. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму вектору осуществляется против (по) часовой стрелки (стрелке). Замечание. Иногда о правой тройке векторов говорят, что они направлены по правилу «правой руки». Это означает, что если векторы тройки приведены к общему началу, и указательный палец правой руки мы направляем по первому вектору, средний — по второму, то большой палец будет указывать направление третьего вектора данной тройки. Аналогично для векторов левой тройки выполняется правило «левой руки».
Правая тройка векторов
Рис. 17
Замечание. Координатные векторы Определение 13.2. Векторным произведением двух векторов 1) 2) 3) векторы Векторное произведение обозначается
Свойства векторного произведения 1) 2) 3) 4) Замечание. В частности, векторное произведение вектора на себя равно нуль-вектору, т.е. В справедливости свойств 1, 3, 4 несложно убедиться, воспользовавшись определением векторного произведения 13.2 и свойствами функции синус. Доказательство свойства 2 приведем ниже, используя координатное представление векторного произведения. Теорема 13.1 (координатное представление векторного произведения). Если векторы
или их можно записать в виде определителей 2-го порядка
Доказательство. Воспользуемся разложением векторов
Согласно последнему замечанию, имеем:
Замечание. Координатное представление вектора
Данный определитель удобно вычислять, раскладывая его по первой строке. Замечание. Из (13. Докажем свойство 2 векторного произведения. Рассмотрим векторы
Здесь при вычислении определителя воспользовались правилом сложения определителей.▲ Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов Это утверждение непосредственно следует из п. 1 определения 13.2 и формулы нахождения площади параллелограмма, известной из школьного курса геометрии. Физический смысл векторного произведения. Если вектор
Смешанное произведение векторов
Определение 14.1. Смешанным произведением трех векторов Таким образом,
Замечание. Для векторов
По этой причине смешанное произведение векторов Замечание. Если хотя бы один из векторов
  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Левая тройка векторов 
образуют правую тройку векторов.
и 
называется вектор 
, удовлетворяющий следующим условиям:
, где 
— угол между векторами 
;
;
образуют правую тройку векторов.
или 
.
(антикоммутативность);
(дистрибутивность векторного умножения относительно сложения);
;
.
.
относительно ортонормированного базиса { 
} заданы своими координатами 
, 
, то векторное произведение имеет координаты
(13.1)
(13. 
)
по базису и найдем координаты векторного произведения этих векторов
Учитывая определение векторного произведения 13.2, его антикоммутативность и, принимая во внимание, пример 13.1, находим: 
. Окончательно, получим
. ▲
(13. 
)
) видно, что свойства векторного произведения непосредственно следуют из соответствующих свойств определителей.
. Найдем координаты вектора 
, складывая соответствующие координаты векторов: 
. Вычислим векторное произведение 
, составив определитель
и 
изображает силу, приложенную к точке А, то момент 
силы 
.
называется число, равное скалярному произведению векторов 
или 
.
. (14.1)
и 
имеет место следующее тождество:
. (14.2)
, а в обозначении опускают знаки векторного и скалярного умножений.
нулевой или в тройке имеется пара коллинеарных векторов, то смешанное произведение таких векторов согласно формулам (14.1), (14.2) равно нулю.