Векторное произведение векторов

Определение 13.1. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму вектору осуществляется против (по) часовой стрелки (стрелке).

Замечание. Иногда о правой тройке векторов говорят, что они направлены по правилу «правой руки». Это означает, что если векторы тройки приведены к общему началу, и указательный палец правой руки мы направляем по первому вектору, средний — по второму, то большой палец будет указывать направление третьего вектора данной тройки.

Аналогично для векторов левой тройки выполняется правило «левой руки».

Правая тройка векторов Левая тройка векторов

Рис. 17

Замечание. Координатные векторы образуют правую тройку векторов.

Определение 13.2. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где — угол между векторами и ;

2) ;

3) векторы образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение обозначается или .

Свойства векторного произведения

1) (антикоммутативность);

2) (дистрибутивность векторного умножения относительно сложения);

3) ;

4) .

Замечание. В частности, векторное произведение вектора на себя равно нуль-вектору, т.е. .

В справедливости свойств 1, 3, 4 несложно убедиться, воспользовавшись определением векторного произведения 13.2 и свойствами функции синус. Доказательство свойства 2 приведем ниже, используя координатное представление векторного произведения.

Теорема 13.1 (координатное представление векторного произведения). Ес­ли векторы относительно ортонормированного базиса { } заданы свои­ми координатами , , то векторное произведение имеет координаты

(13.1)

или их можно записать в виде определителей 2-го порядка

(13. )

Доказательство. Воспользуемся разложением векторов по базису и найдем координаты векторного произведения этих векторов

Согласно последнему замечанию, имеем: Учитывая определение векторного произведения 13.2, его антикоммутативность и, принимая во внимание, пример 13.1, находим: . Окончательно, получим

. ▲

Замечание. Координатное представление вектора можно также получить, вычисляя определитель 3-го порядка

(13. )

Данный определитель удобно вычислять, раскладывая его по первой строке.

Замечание. Из (13. ) видно, что свойства векторного произведения непосредственно следуют из соответствующих свойств определителей.

Докажем свойство 2 векторного произведения.

Рассмотрим векторы , и . Найдем координаты вектора , складывая соответствующие координаты векторов: . Вычислим векторное произведение , составив определитель

Здесь при вычислении определителя воспользовались правилом сложения определителей.▲

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов и равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е.

Это утверждение непосредственно следует из п. 1 определения 13.2 и формулы нахождения площади параллелограмма, известной из школьного курса геометрии.

Физический смысл векторного произведения. Если вектор изображает силу, приложенную к точке А, то момент силы относительно некоторой точки O представляет собой вектор .

Смешанное произведение векторов

Определение 14.1. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторов и . Обозначается или .

Таким образом,

. (14.1)

Замечание. Для векторов и имеет место следующее тождество:

. (14.2)

По этой причине смешанное произведение векторов определяют так же и как скалярное произведение векторов и , а в обозначении опускают знаки векторного и скалярного умножений.

Замечание. Если хотя бы один из векторов нулевой или в тройке имеется пара коллинеарных векторов, то смешанное произведение таких векторов согласно формулам (14.1), (14.2) равно нулю.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: