Аффинная и прямоугольная декартова системы координат

Рассмотрим трехмерное пространство.

Определение 8.1. Под аффинной системой ко­ор­динат в трехмерном пространстве будем понимать геометрический образ, состоящий из фиксированной точки О и аффинного базиса .

Аффинную систему координат будем обозначать . Точка О называется началом координат, а векторы — координатными векторами.

Аналогично под прямоугольной декартовой системой координат будем понимать геометрический образ, состоящий из фиксированной точки О — начала координат и прямоугольного декартового базиса .

Направленные прямые, проходящие через начало координат и па­рал­лельные координатным векторам, называются координатными ося­ми. Оси, параллельные векторам (или векторам ), называются соответственно осями абсцисс, ор­ди­нат и аппликат и обозначаются Ox, Oy, Oz. Плоскости, опре­де­ляемые осями Ох и Оy, Ox и Oz, Oy и Oz, называются координатными плоскостями и обозначаются соответственно через Oxy, Oxz, Oyz. Систему кординат (или ) обозначают также Oxyz.

В дальнейшем все рассуждения будем вести в прямоугольной декартовой системе координат.

Пусть — прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим произвольную точку А трехмерного пространства.

Определение 8.2. Направленный отрезок называется радиус-вектором точки А.

Заметим, что между точками пространства и их радиус-векторами существует взаимно однозначное соответствие.

Определение 8.3. Координатами (прямоугольными декартовыми координатами) точки А трехмерного пространства называется тройка чисел (x, y, z), где x, y, z — координаты радиус-вектора в ортонормированном базисе , т.е.

. (8.1)

Аналогично названию координатных осей первую координату называют абсциссой, вторую — ординатой и третью — аппликатой точки.

Для построения точки А в прямоугольной декартовой системе координат воспользуемся формулой (8.1). Отложим от точки O векторы , , . Построим прямоугольный параллелепипед так, что его три измерения равны , тогда вектор совпадает с диагональю параллелепипеда. В справедливости вышесказанного несложно убедиться, поочередно складывая векторы , а затем векторы по правилу параллелограмма. Конец вектора и есть искомая точка (см. рис. 9).

Рис. 9

Рассмотрим некоторые задачи, которые пригодятся нам в дальнейшем.

Задача 1 (о нахождении координат вектора по координатам его начала и конца).

Рассмотрим две точки А и В, причем , . Найдем координаты вектора (см. рис. 10).

Рис.10

Решение. Из рисунка 10 видно, что . С учетом (8.1), имеем: , . Используя следствие 7.1, получим:

. (8.2)

Таким образом, для того чтобы найти координаты вектора с известными координатами его начала и конца, нужно от координат конца вычесть координаты начала.

Задача 2 (о делении отрезка в данном соотношении). Рассмотрим отрезок , причем и . Пусть данный отрезок точкой M делится в соотношении . Найдем координаты точки М.

Рис. 11

Решение. Из рисунка 11 видно, что справедливо векторное равенство

.

Предположим, что точка M имеет координаты . Находя по формуле (8.2) координаты векторов и учитывая теорему 7.1, получим равенства:

Выражая из первого равенства x, из второго — y, а из третьего — z, находим координаты точки М:

(8.3)

В случае, если , т. е. , получаем формулу координат середины отрезка

(8. )

Замечание. На плоскости (в двумерном пространстве) можно так же задать прямоугольную систему координат Oxy. С помощью введенной системы координат любую точку или ее радиус-вектор можно представить парой чисел (x, y). Все соотношения, полученные нами ранее для координат векторов и точек трехмерного пространства, будут справедливы и на плоскости с той лишь разницей, что из них нужно всюду убрать третью координату z. Аналогичные рассуждения можно повторить и для произвольной прямой (одномерного пространства).

Проекция вектора на ось

Определение 9.1. Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором (ортом), задающим положительное направление на прямой.

На рисунке ось будем изображать в виде направленной прямой.

Пусть в пространстве задана ось l и точка А, не принадлежащая оси.

Определение 9.2. Основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую l, точка , называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось.

В случае, если точка А принадлежит оси l, то проекция точки на ось совпадает с самой точкой А.

Пусть задан некоторый вектор . Находя проекции начала и конца вектора на ось l, получимвектор , где — соответственно проекции точек А, В на ось l.

Определение 9.3. Проекцией вектора на ось l будем называть положи­тельное число, равное , если вектор и ось l направлены одинаково (см. рис. 12) и отрицательное число , если вектор и ось l направлены противопо­лож­но (см. рис. 13).

Рис. 12 Рис. 13

Проекцию вектора на ось l будем обозначать . Таким образом, согласно определению или .

Замечание. Если или , то .

Теорема 9.1. Проекция вектора на ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью l, где под углом понимается наименьший из двух углов, образуемых вектором и осью.

Таким образом,

. (9.1)

Доказательство. В зависимости от величины угла возможны следующие случаи (см. рис. 14):

1. Если , то .

2. Если , то .

3. Если , то . ▲

Рис. 14

Следствие 9.1. Проекция вектора на ось есть число положительное, если угол между вектором и осью острый, и отрицательное, если угол тупой. Если угол прямой, то проекция вектора на ось равна нулю.

Следствие 9.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: