И ЗАДАНИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

РУКОВОДСТВО

К ВЫПОЛНЕНИЮ УПРАЖНЕНИЙ

И ЗАДАНИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебно-методическое пособие

для студентов всех специальностей

и форм обучения

РОСТОВ-НА-ДОНУ

Составители: Ю.А. Акименко, Л.А. Соловьянюк, М.В. Савенков, О.П. Чередниченко

УДК 514.18(076.1)

.

РУКОВОДСТВО К ВЫПОЛНЕНИЮ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАНИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей и форм обучения.

/Ростов-на-Дону; Издательский центр ДГТУ, 2012, 50 с.

Дан теоретический обзор изучаемых тем, представлены многочисленные и подробные примеры решения типовых задач по основополагающим разделам начертательной геометрии.

Для студентов всех форм обучения по дисциплинам “Начертательная геометрия”, “Инженерная графика”.

Научный редактор

Доктор технических наук, профессор Г.А. Кузин

Рецензент

Профессор В.И. Зубков

p - Донской государственный технический университет, 2012

Введение

Начертательная геометрия является важнейшей дисциплиной, закладывающей и развивающей пространственное воображение. Пространственное мышление, в частности, выражается в умении создавать виртуальные модели геометрических и иных, более сложных объектов. Этим качеством в полной мере обладают выдающиеся конструкторы, проектировщики, дизайнеры – творцы новой, высокоорганизованной современной техники. Настоящие указания к выполнению упражнений и заданий помогут быстро и надёжно овладеть проекционными методами начертательной геометрии, научиться решать метрические, позиционные и др. задачи, уметь преобразовывать комплексные чертежи, строить развёртки и наглядные (аксонометрические) изображения геометрических тел и, в итоге, существенно расширить пространственные представления о мире, в котором мы живём.

.

ЛИТЕРАТУРА

Стандарты оформления чертежей

1. ЕСКД. Общие правила выполнения чертежей:/Сборник/ ГОСТ 2.301-68 и др. М.: Изд-во стандартов, 1991.

Начертательная геометрия

2. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. Уч. пособие для втузов. 24-изд. М.: Наука, 2000.

3. Начертательная геометрия. Теория и практика: учеб. Для вузов/ Л.Г.Нартова, в.И.Якунин. – М.: Дрофа, 2008. – 302[2]с.: ил.

4. Бородин Д.Н., Козырев Э.В. Начертательная геометрия и основы проекционного черчения. Ч 2. Учеб. пособие для вузов/Под ред. проф. Д.Н.Бородина. РГАСХМ, 2007 – 174 с.

5. Соломин А.Н., Савенков М.В., Ананченко А.И. Начертательная геометрия: учеб. пособие. Ростов н/Д:: Издательский центр ДГТУ, 2008. – 70 с.

6. Зубков В.И. Начертательная геометрия. Конспект лекций: Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2010 – 122 с.

7. CDO.DSTU.LOCAL\Desktop\ersh\ЦДО ДГТУ Курс начертательной геометрии в инженерной графике. Соловьянюк Л.А. Электронный учебник.

8. CDO.DSTU.LOCAL\Desktop\ersh\ЦДО ДГТУ Начертательная геометрия. Зубков В.И. Лекционный курс.

9. CDO.DSTU.LOCAL\Desktop\ersh\ЦДО ДГТУ Практикум по начертательной геометрии. Эпюрные задания из рабочей тетради. Савенков М.В., Соловьянюк Л.А., Якунин В.И. Практикум.

Инженерная графика

10. Черчение: /Зубков В.И., Савенков М.В., Цорданиди Г.Г.- Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2008.-94с.

11. Савенков М.В., Ананченко А.И., Гришин С.А., Пятницкая О.А. Оформление машиностроительного чертежа. Сопряжения: Метод. указания к выполнению практических работ по дисциплине «Инженерная графика».: Издательский центр ДГТУ, 2010 – 29с.

12. Болтухин А.К., Васин С.А., Вяткин Г.П.. Пуш А.В. Инженерная графика. Конструкторская информатика в машиностроении: Учебник для втузов. 3-е изд. Перераб. и доп. М.: Машиностроение, 2005. – 555 с.;ил.

13. Левицкий В.С. Машиностроительное черчение и автоматизация выполнения чертежей: Учеб. Для втузов. Изд.5-е.-М.:Высшая школа, 2001, -429с.

14. Акименко Ю.А. Проекционное черчение: учеб. пособие/ГОУ, РГАСХМ, Ростов/Д, 2010.-133 с.

Основы начертательной геометрии

Начертательная геометрия (НГ) разрабатывает методы построения черте­жей пространственных объектов и способы решения задач, возникающих при про­ектировании этих объектов.

Основным методом решения задач в НГ является графический метод.

Все многообразие задач в НГ можно свести к двум основным:

Прямая задача - построение чертежа объекта;

Обратная задача - чтение чертежа (воссоздание объекта по его чертежу).

Основоположник начертательной геометрии

Основоположником начертательной геометрии, как науки, является француз­ский инженер и математик Гаспар Монж (1746-1818 гг.). В 1798 г. вышел труд по начертательной геометрии, в котором он обобщил и привел в стройную систему накопленный до него опыт в области построения чертежей пространственных объектов.

Основные понятия

Геометрические примитивы (элементарные объекты) и их обозначение:

Точка - нульмерный объект (т.е. не имеет измерений: длины, ширины, высоты): A, В, C, D,….

Линия - одномерный объект (имеет только длину): a, b, c, d, e, f, ….

Отрезок прямой - часть прямой линии, ограниченная двумя точками: АВ, СD,... или 12, 34,....

Поверхность (плоскость) - двумерный объект (не имеет толщины, напр. оболочка любого материального тела): D- дельта, S- сигма, G- гамма, Q-тэта, F-фи, W-омега ….

Плоскости проекций: P₁ - горизонтальная, P₂ - фронтальная, P₃ - профильная.

Проекции геометрических объектов имеют цифровой индекс соответствующей плоскости проекций: напр. A₂ ; b₁ ; S₃ .

Основные определения:

· Плоская геометрическая фигура - часть плоскости, ограниченной замкнутой линией.

· Геометрическое тело - часть пространства, ограниченного замкнутой поверх­ностью.

· Элементарные тела - призма, пирамида, цилиндр, конус, сфера, тор.

· Составное (комплексное) тело - тело, состоящее из нескольких элементарных тел;

· Проекция - <в переводе с латинского - бросание вперёд> изображение геометрического

тела на плоскости, полученное методом проецирования;

· Измерения - протяжённость объекта в трёх взаимно-перпендикулярных направлениях (длина, ширина, высота).

Символы математической логики:

= - результат геометрического действия, º - совпадение,

║ - параллельность, ^ - перпендикулярность,

∩ - пересечение, Î - принадлежность,

Ù - знак угла между геометрическими элементами, ∸ - скрещивание.

Требования, предъявляемые к чертежу

Чертёж должен быть:

1. Обратимым - полностью определять форму и размеры изображенного объекта;

2. Наглядным - вызывать пространственное представление об объекте;

3. Простым и точным в исполнении.

Выбор направления проецирования на объект

Или ориентация объекта относительно плоскостей проекций

существенно влияет на искажение его размеров на чертеже и его наглядность (кроме сферы). Так, например, для прямоугольного параллелепипеда при совпадении направления проецирования с одним его измерением (высотой), два других его измерения (длина и ширина) проецируются без искажений, образуя двумерное (плоское) адекватное объ­екту изображение, но недостаточно наглядное (рис. 2, в). Такие проекции объекта называют вырожденными (одно измерение равно нулю). Из таких изображений, как правило, формируются комплексный чертёж. Если же направление про­ецирования не совпадает ни с одним измерением объекта, то формируются его трехмерное (объемное) изображение, но с искажениями размеров. Такие изо­бражения объекта называются наглядными или аксонометрическими (рис. 2, г).

Комплексный чертЁж

Чертёж, со­стоящий из одной двумерной проекции объекта, не явля­ется обратимым, так как отражает только два измерения объекта из трёх. Этот недос­таток можно устранить, если использовать чертежи с числовыми отметками (например, топографические), или проецировать объект на несколько плоскостей проекций, располагая его в квадранте или октанте (рис. 3). Две взаимно-перпендикулярные плоскости проекций П₁ - горизонтальная и П₂ - фронтальная де­лят пространство на четыре части, называемые квадрантами (рис. 3, а). Три взаимно-перпендикуляр­ные плоскости проекций (добавлена П₃ - профильная) делят пространство на восемь час­тей - октантов (рис. 3, б).

ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ

Это прямые, совпадающие с направлением проецирования, а, следовательно, перпендикулярные к одной и параллельные двум другим плоскостям проекций. Одна её проекция вырождается в точку и обладает замечательным собирательным свойством. Две другие проекции равны натуральной её величине. Эти прямые одноимённы перпендикулярной к ним плоскости проекций и получили названия:.

ПРЯМЫЕ УРОВНЯ

Если прямая параллельна только одной из плоскостей проекций, то она называется прямой уровня. На параллельную ей плоскость проекций прямая уровня и углы её наклона к двум другим плоскостям проекций проецируются в натуральную величину. Две другие её проекции располагаются перпендикулярно к проекциям направлений проецирования (линиям связи)

А) б)

Рис. 22

Призма

─ выпуклый многогранник, боковые рёбра которого параллельны между собой. Нижняя и верхняя грани ─ равные многоугольники, определяющие количество боковых рёбер, называются основаниями призмы. Призма называется правильной, если в основании правильный многоугольник, и прямой, если боковые рёбра перпендикулярны к основанию. В противном случае призма наклонная. Боковые грани прямой призмы прямоугольники, а наклонной ─ параллелограммы. Боковая поверхность прямой призмы относится к проецирующим объектам и вырождается в многоугольник на перпендикулярную боковым рёбрам плоскость проекций. Проекции точек и линий, расположенных на боковой поверхности призмы, совпадают с её вырожденной проекцией.

Типовая задача 3 (рис. 29): Построить комплексный чертёж прямой призмы с размерами: l- сторона основания (длина призмы); b- высота равнобедренного треугольника основания (ширина призмы); h- высота призмы. Определить положение рёбер и граней относительно плоскостей проекций. На гранях ABB’A’ и ACC’A’ задать фронтальные проекции соответственно точки M и прямой n и построить их недостающие проекции.

1. Мысленно располагаем многогранник в системе плоскостей проекций так, чтобы его основание D ABC║P₁;а ребро АС║P₃ (рис. 29, а).

2. Мысленно вводим базовые плоскости: S║P₁ и совпадающую с основанием (D ABC); D║P₂ и совпадающую с задней гранью АСС’А’. Строим базовые линии S₂, S₃ , D₁, D₃ (рис. 29, б).

3. Строим горизонтальную, затем фронтальную и, наконец, профильную проекции призмы, используя базовые линии D₁, D₃ (рис. 29, в).

4. Анализируем положение рёбер и граней на комплексном чертеже пирамиды, учитывая исходные данные и классификаторы положения прямых и плоскостей (с. 11,14).

Рёбра: АВ, ВС ─ горизонтали; АС ─ профильно-проецирующая; AS, SC, SB ─ горизонтально-проецирующие. Грани: ABC A'B’C’ ─ горизонтальные уровня; ABВ’А’, BCС’В’ ─ горизонтально-проецирующие; ACC'А’ ─фронтальная уровня..

5. Построение горизонтальных проекций точек, лежащих на боковых гранях призмы, выполняем с использованием собирательного свойства проецирующего объекта: все проекции точек и линий, расположенных на боковой поверхности призмы, совпадают с её вырожденной (горизонтальной) проекцией. Профильные проекции точек (например М) строим откладывая по горизонтальным линиям связи их глубины (Y_M) от D₃, которые измеряются на горизонтальной проекции от D₁ (см. также с. 8, 17). На прямой n задаём точки 1, 2 и строим эти точки на поверхности призмы, аналогично точке М. Определяем видимость методом конкурирующих точек. Выполнение задания "Призма с вырезом" см. в [14].

а) б) в)

Рис. 29

Пирамида

многогранник, одной из граней которого является многоугольник (основание пирамиды), определяющий число боковых граней, а остальные грани (боковые) ─ треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды. Пирамида правильная, если в основании правильный многоугольник и прямая, если вершина проецируется в центр основания. Боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой. Если вершина пирамиды проецируется вне её основания, - то пирамида наклонная.

Типовая задача 4 (рис. 30-32): Построить комплексный чертёж прямой правильной пирамиды с размерами: l- сторона основания (длина); b- высота треугольника основания (ширина); h- высота пирамиды. Определить положение рёбер и граней относительно плоскостей проекций. Задать фронтальную и горизонтальные проекции точек M и N принадлежащих соответственно граням ASB и ASC и построить их недостающие проекции.

1. Мысленно располагаем многогранник в системе плоскостей проекций так, чтобы его основание D ABC║P₁;а ребро АС║P₃ (рис. 31).

2. Мысленно вводим базовые плоскости: S║P₁ и совпадающую с основанием (D ABC);

D║P₂ и совпадающую с ребром АС. Строим базовые линии S₂, S₃ , D₁, D₃ (рис. 32).

3. Строим горизонтальную, затем фронтальную и, наконец,

профильную проекции пирамиды (см. рис. 32).

4. Анализируем положение рёбер и граней на комплексном чертеже пирамиды, учитывая исходные данные и классификаторы положения прямых и плоскостей (с. 11,14).

Рёбра: АВ, ВС ─ горизонтали; АС ─ профильно-проецирующая; AS, SC ─ общего положения; SB ─ профильная уровня. Грани: ASB, BSC ─ общего положения; ABC ─горизонтальная уровня; ASC ─ профильно-проецирующая.

5. Построение недостающих проекций точек, лежащих на гранях пирамиды, выполняем с использованием признака «принадлежности точек плоскости». В качестве вспомогательных прямых используем горизонтали или произвольные прямые. Профильные проекции точек строим откладывая по горизонтальным линиям связи глубины точек (в направлении оси Y), которые измеряются на горизонтальной проекции (см с. 8, 17).

Рис. 30 Рис. 31 Рис. 32

ЦИЛИНДР

Цилиндр вращения образуется вращением прямоугольника вокруг одной из сторон. На комплексном чертеже (рис. 33) представлен цилиндр, ось которого перпендикулярна пл. П₁ . Боковая поверхность цилиндра Q занимает проецирующее положение и вырождается на пл. П₁ в окружность. В соответствии с собирательным свойством горизонтальные проекции всех точек, расположенных на боковой поверхности цилиндра Q, будут совпадать с окружностью. Построение профильных проекций точек (например, К₃ , рис. 33), принадлежащих поверхности цилиндра, удобно делать с помощью базовой плоскости D, совпадающей с пл. его симметрии. Типовая задача 5 (рис. 33): Определить видимость проекций точек, расположенных на поверхности цилиндра.

Для этого используем метод конкурирующих точек (см. с. 9). Например, для определения видимости точек на профильной проекции цилиндра в направлении r ^П₃ следует рассмотреть горизонтальные проекции цилиндра и вектора r₁ (см. рис. 33). Ближайшей к наблюдателю (стрелке r₁) будет левая половина цилиндра, поэтому точки, расположенные на ней (D, A, L, C) ─ видимые на профильной проекции. Очерковые образующие цилиндра, проходящие через точки D и C, являются границами видимости его поверхности на профильной проекции. Аналогично, для определения видимости точек на фронтальной проекции цилиндра в направлении t ^П₂ следует рассмотреть горизонтальные проекции цилиндра и вектора t₁ . Ближайшей к наблюдателю (стрелке t₁) будет обращённая к нему половина цилиндра, поэтому точки, расположенные на ней (A, L, C, B) ─ видимые на фронтальной проекции. Очерковые образующие цилиндра, проходящие через точки A и B, являются границами видимости его поверхности на фронтальной проекции.

Рис. 33

КОНУС

Конус вращения (рис. 34) образуется вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Коническая поверхность образуется вращением образующей SB вокруг оси, в данном случае перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций.

Рис. 34

Типовая задача 6 (рис. 34): По заданной фронтальной проекции точкиК(К₂), расположенной на конической поверхности, построить её недостающие проекции. Для этого необходимо: 1) провести на поверхности конуса через заданную проекцию точки удобную для построения вспомогательную линию, привязывающую точку к поверхности (образующую S₂1₂ или окружность m₂ ); 2)построить другую проекцию вспомогательной линии (например S₁1₁ или m₁); 3) от (∙)К₂ провести вертикальную линию связи до пересечения с построенной вспомогательной линией, где и будет располагаться искомая проекция точки К₁. Как видно из чертежа, оба решения совпадают. Для построения профильной проекции точки К использовать базовую плоскость D(D₁,D₃).

Рис. 40 Рис. 41

ПОВЕРХНОСТИ

Поверхность - это двухпараметрическое мно­жество то­чек. Поверхность можно представить как общую часть двух смежных пространств. Порядок гра­фической поверхности определяется по числу точек пересечения её прямой линией.

В начертательной геометрии используется ки­нематический принцип представления по­верхности как совокупности всех последовательных по­ложений неко­торой перемещающейся в пространстве ли­нии l _i, на­зываемой образующей (рис. 52). Траектория m, по ко­торой перемещается образующая линия, называется Рис. 52

направляющей линией. Образующие и направляющие линии одной поверхности можно менять местами. В качестве направляющей линии часто задают линию, по которой данная поверх­ность пересекает пл. П₁ .

Способы задания поверхностей на чертеже

Определитель поверхности – задаваемая совокупность независимых условий, однозначно определяющих поверхность. Определитель состоит из двух частей: геометрической и алгоритмической. В геометрическую часть входит совокупность геометрических фигур.

В алгоритмическую часть — сведения о характере образующей и законе образования поверхности. Первую часть заключают в круглые скобки, вторую — в квадратные. Например: определитель конической поверхности вращения F имеет вид (рис. 53):

F (l, g, S); [l_i ∩ g=S, l_i ↺ g], где: S - вершина конуса, l - образующая, g - ось конуса.

С помощью этого определителя по заданной фронтальной проекции точки М(М₂ )Î F, построена её горизонтальная проекция М₁ . Графическая лаконичность определителя поверхности не отличается наглядностью.

Каркас – упорядоченное множество линий, принадлежащих поверхности. Он может быть простым - состоять из линий одного семейства (рис. 52), или сетчатым – из линий двух семейств (рис. 54). Линии, составляющие каркас, это последовательные положения образующей при её движении по направляющей, а также линии сечения поверхности пучками плоскостей: параллельных или проходящих через ось (для тел вращения). Например, сетчатый каркас конической поверхности вращения составляют два семейства линий (см. рис. 54):

1) l_i – образующие – прямые, проходящие через вершину S; 2) m_i - окружности переменного радиуса с центром на оси конической поверхности. Плотность каркаса определяется дискретами: линейным d или угловым dу - промежутками между смежными линиями каркаса. Каркасный способ отличается хорошей наглядностью, позволяет легко строить недостающие проекции точек, расположенных на его линиях, но достаточно трудоёмок в исполнении.

Рис. 53 Рис. 54 Рис. 55

Условные проекции поверхности – проекции очерка отсека (части) поверхности, включающего в себя, кроме проекций линий контура (очертания), также проекции линий обреза (рис. 55). Очертания проекций поверхности изображают с отсечёнными частями, что позволяет увеличить масштаб её изображения и чёткость чертежа. Этот способ, ввиду простоты и наглядности задания поверхностей, применяется наиболее часто (рис. 66).

Поверхности различа­ются по: форме образующей, закону её движения, при­знаку раз­вёртываемости, закону изменения формы обра­зующей, закону образования поверхности и др. признакам.Любую поверхность можно получить разными способами. На практике выбирают самый простой.

Поверхности линейчатые развертываемые: гранные, цилиндрические, конические, торсовые.

Образующая линия – прямая.

Рис. 56 Рис. 58

Гранная поверхность - это совокупность плоскостей. Такую поверхность имеют все многогранники. На рис. 56 представлена гранная призматическая поверхность. Цилиндрическая поверхность (рис. 57) образуется параллельным движением прямой линии l, проходящей последова­тельно через все точки некоторой кривой на­правляющей линии m. Коническая поверхность (рис. 58) об­разуется прямой линией l, проходящей последовательно через все точки кривой направляю­щей линии m и через неподвижную точку, называемой вершиной конической поверхности S. Торс(рис. 59) образуется движением прямолинейной образующей l, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой m, называемой ребром возврата, которое делит торс на две полости. Коническую и цилиндрическую поверхности можно рассматривать как частные случаи поверхности торса, когда её ребро возврата вырождается в точку (конечную или бесконечно удалённую).

Рис. 57 Рис. 59

Поверхности вращения

Рис. 64 Рис. 66 Рис. 68 Рис. 70 Рис. 72 Рис. 74

образуются в общем случае вращением некоторой обра­зующей l вокруг оси g (рис. 64). Все точки образующей описы­вают в про­странстве окружности с цен­тром на оси вращения – параллели. Наи­большая и наименьшая параллель назы­ваются соот­ветственно экватор и горло. Плоскости, проходящие через ось поверхности вра­щения, называются ме­ридиональными, а линии, по которым они пересекают по­верхность – меридианами. Меридиональ­ная плоскость, параллельная плоскости проекций, даёт в сечении главный мери­диан. Прямолинейная образующая l, в за­висимости от её положения относи­тельно оси вращения g, может образо­вывать линейчатые поверхности: 1) цилиндрическую - если l∥g (рис. 65); 2) коническую - если l∩g (рис.66); 3) однополостного гиперболоида - если l∸g (рис. 67). Эта поверхность может быть также образована вращением ги­перболы вокруг мнимой оси g.Эта по­верхность, в отличии от цилиндрической и конической, - неразвёртывае­мая. В качестве криволинейных образующих для получения поверхностей вращения часто используют кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, параболу, гиперболу и др. Окружность и её части, в зависи­мости от расположения оси вращения, образуют следующие поверхности: Тор открытый (кольцо) при R<t (рис. 68). Тор закрытый замкнутый при R=t (рис.69). Тор закрытый самопересекающийся при R>t (рис. 70). Сфера при t=0 (рис. 71). Поверхности,образованные вращением кривых 2-го порядка вокруг их осей симметрии: эллипсоид сжатый(рис. 72),эллипсоид вытянутый(рис. 73),гиперболоид однополост­ный(рис. 74), гиперболоид двуполостный(рис. 75)парабо­лоид(рис. 76). Рис. 75

Рис. 65 Рис. 67 Рис. 69 Рис. 71 Рис. 73 Рис. 76

Циклические поверхности

Рис. 77

образуются перемещением окружности, центр которой перемещается по заданной направляющей линии. Если образующая окружность постоянного радиуса, то формируются трубчатые циклическиеповерхности (рис. 77), если окружности переменного радиуса, то – каналовые циклические поверхности (рис. 78).

Рис. 78

Топографические поверхности

- поверхности не подчиняющиеся какому-либо геометрическому закону. Это поверхности земной коры, корпуса судов, обшивка самолётов, автомобилей. Они задаются на чертежах с помощью простого кар­каса (географическая карта) или сетчатого каркаса (корпуса судов).
Рис. 79	Типовая задача 13(рис. 79): По заданной проек­ции точки М(М2 )Î F построить её другую проекцию — М1. Используется признак: Точка принадлежит по­верхности, если она принадлежит линии, принадле­жащей поверхности. Алгоритм: 1) Анализ поверхности; 2) Через заданную проекцию точки провести вспомогательную для построения линию (обра­зующую, направляющую (окружность для тел вращения)); 3) Построить другую проекцию вспомогательной линии; 4) Проведя линию связи через заданную проекцию точки до пересечения с проекцией вспомогательной линии, найти искомую проекцию точки. Алгоритм подходит для построения точек на всех поверхностях, в том числе и на плоскости.	Рис. 80

Решение (рис. 80): 1) Поверхность Ф является конической вращения. Для привязки заданной точки к поверхности используем образующую или окружность; 2) Проводим через точку М₂ образующую l₂ или окружность m₂. 3) Строим горизонтальную проекцию образующей l₁ или окружности m₁. 4) От точки М₂ , проведя вертикальную линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией образующей или окружности, получаем горизонтальную проекцию точки М₁ Как видно из рис. 80, оба решения совпали.

Позиционные задачи

- это задачи на определение взаимного положения геометрических объектов. Их 3 группы:

1. Задачи на взаимный пор ядок (размещение объектов в ограниченном пространстве (в ракетах, подводных лодках), определение видимости конкурирующих элементов).

2. Задачи на взаимную принадлежность (точек и линий плоскости или поверхности).

3. Главные позиционные задачи (ГПЗ) – задачи на построение точек пересечения линий с поверхностями или линий пересечения поверхностей.

В зависимости от вида объектов и их положения различают 3 случая ГПЗ.

1-й случай (ГПЗ-1) – оба пересекающихся объекта занимают проецирующее положение ( ^, ^ ).

Возможны 2 варианта: ГПЗ-1 а – объекты перпендикулярны одной и той же пл. проекций;

ГПЗ-1б - объекты перпендикулярны разным плоскостям проекций;

2-й случай (ГПЗ-2) – один из 2-х пересекающихся объектов занимает проецирующее

положение ( ^, ^ ).

3-й случай (ГПЗ-3) – оба пересекающихся объекта не занимают проецирующее положение

(общий случай решения позиционных задач) ( ^, ^ ).

Проецирующие объекты

- это объекты, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций и одноимённые ей.

Существует 4 вида проецирующих объектов:

Свойства проецирующих объектов:

1. Одна из проекций этих объектов вырождается в точку или линию.

2. Одна из проекций точек или линий, принадлежащих проецирующему объекту, совпадает с его вырожденной проекцией.

Частный случай пересечения

поверхностей вращения

Форма линии пересечения и её распо­ложение зависят от соотношения размеров поверхностей. Для сравнения: если наиболь­шей поверхностью, в которую вписывается минимальная сфера, будет конус, то линия пересечения, расположится иначе (рис. 98).

Частный случай: Если обе поверхности вращения описаны вокруг общей для них сферы, то пространствен­ная линия пересечения распадается на две пло­ские кривые – эл­липсы (рис. 99).

Рис. 98 Рис. 99

Аксонометрические проекции

применяют для получения наглядных изображений.

Сущность аксонометрического проецирования заключается в том, что задают направление проецирования на объект, не совпадающее ни с одним из его измерений и проецируют его вместе с осями локальной системы координат на одну плоскость, называемую аксонометрической или картинной.

Направление проецирования с аксонометрической плоскостью проекций может составлять прямой или острый углы, что соответствует названиям: прямоугольная или косоугольная аксонометрия. Элементы объекта при аксонометрическом проецировании искажаются. Мерой таких искажений являются коэффициенты искажения, которые всегда меньше единицы. На практике используют приведенные коэффициенты искажения, равные 1 или 0,5 (в зависимости от вида аксонометрии и направления осей). При этом размеры аксонометрических изображений будут несколько больше размеров объекта.

Параллельность, существующая между различными элементами объекта, например, ребрами, ребрами и осями локальной системы координат сохраняется в аксонометрии.

ГОСТ 2.317—69 рекомендует к применению пять видов аксонометрий: две прямоугольные (изометрическую и диметрическую) и три косоугольных (фронтальную и горизонтальную изометрические и фронтальную диметрическую).

Прямоугольная аксонометрия

Изометрическая проекция. Аксонометрические плоскости равно наклонены к координатным осям и являются гранями октаэдра. Положение аксономет­рических осей на рис. 100. Углы между аксоно­метрии-ческими осями равны, со­ставляют 120° и строятся с по­мощью циркуля. Приведенные ко­эффициенты ис­кажения: k_x= k_y= k_z=1. Масштаб изображения— 1,22:1.

Диметрическая проекция. Положение аксономет­рических осей приве­дено на рис. 101. Оси и строят как гипоте­нузы прямо­уголь­ных треугольников с от­но­шением кате­тов соот­ветственно 1:8 и 7:8. Приведенные коэффи­ци­енты искажения: k_x=k_z=1; k_y=0,5k_x=0,5. Масштаб изобра­же­ния при этом — 1,06:1.

Примечание. В скобках даны значения коэффициентов искажения.

Рис. 100 Рис. 101

Окружности, расположенные в координатных и им па­раллельных плоскостях, изображаются в прямоугольной аксонометрии в виде эллипсов, большие оси которых располагаются перпендикулярно оси, отсутствующей в плоскости окружности.

Размеры эллипсов и расположение осей: в изометрии (рис. 102), в диметрии (рис. 103).

Эллипс в изометрии можно приближенно заменить четырёхцен­тровым овалом.

Рис. 102 Рис. 103

Косоугольная аксонометрия

Направление проецирования не пер­пендикулярно аксонометрической плоскости, которая располагается параллельно одной из основных плоскостей проекций, определяющее её название. Элементы объекта, расположенные парал­лельно этой плоскости проекций, не искажаются. Если аксонометрическая плоскость параллельна фрон­тальной плоскости проекций, то имеет место косоугольная фронтальная изометрия или диметрия, если параллельна го­ризонтальной плоскости проекций то — горизонтальная изометрия.

Фронтальная изометрическая проекция (рис. 104): k_x=k_y=k_z=1.

Горизонтальная изометрическая проекция (рис. 105): k_x=k_y=k_z=1.

Фронтальная диметрическая проекция (рис.106): k_x=k_z=1; k_y=0,5k_x=0,5 (строит. чертежи).

Рис. 104 Рис. 105 Рис. 106

РАЗВЁРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Если рассматривать поверхность как тонкую, гибкую, нерастяжимую плёнку, то, неко­торые из поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью развёртки без раз­рывов и складок. Поверхности, обладающие этим свойством, называют развёртывающимися (по­верхности многогранников, цилиндрические, кон

123456789Следующая ⇒

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: