О доказательствах в математике

Математика --- точная наука, требующая строгости рассуждений. (Эту строгость мы с вами уже увидели…) Но что означает строго доказать какое-либо утверждение? Это означает вывести его из аксиом - исходных положений, принимаемых без доказательства. (Это есть определение понятия аксиома, которое даёт современная «Наука». «Учёные» подменили Понятие Аксиома, а Определение ей они правильно никогда не давали. Тогда мы хотим знать аксиому как Определение Понятия «исходное положение». Что такое положение, из чего оно исходит… И т.д. Вот отсюда начинаются ПРОБЛЕМЫ. Проблема есть неточная Формулировка. Формулировка есть совокупность, комплект аксиом, простейших отражений Объекта – Проекций. Аксиома есть пояснение простейшими, всем известными словами Проекций – Бритва Оккама. Т.е. это есть Образ – ИНФОРМАЦИЯ. Следовательно: Аксиома есть Информация. Следовательно: современная «Наука» выводя утверждение из Информации создаёт Дезинформацию. Это и есть ПРОБЛЕМА. Потом пытается решить то, что нерешаемо.)

Конечно, в выборе аксиом, которые закладываются в основу теории, есть некоторый произвол. (Волюнтаризм – что хочу, то и делаю.) Но обычно аксиомы возникают естественным путем, из познания действительности. В теории множеств, частью которой являются конструкции, описанные в предыдущих разделах, тоже имеется общепризнанная система аксиом Цермело---Френкеля. (О, это очень интересная «Система»… Мы будем на неё ссылаться.)

Оказалось, что первая проблема Гильберта имеет совершенно неожиданное решение.

В 1963 году американский математик Паул Коэн доказал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. (Ну, вот, пожалуйста. Ещё один идиотизм. Как можно доказать недоказуемое – то, что нельзя доказать. Это уже Маразм!!! Дегенерация!!!)

Это означает, что если взять стандартную систему аксиом Цермело---Френкеля (ZF) и добавить к ней континуум-гипотезу в качестве еще одной аксиомы, то получится непротиворечивая система утверждений. Но если к ZF добавить отрицание континуум-гипотезы (т.е. противоположное утверждение), то вновь получится непротиворечивая система утверждений. (Вот если бы нам господа Математики дали Определение Понятия СИСТЕМА… Но мы уже знаем, что такового нет.)

Таким образом, ни континуум-гипотезу, ни ее отрицание нельзя вывести из стандартной системы аксиом. (Система Стандартная… Значит, бывает Система Нестандартная? О, Математики…)

Этот вывод произвел очень сильный эффект и даже отразился в литературе (см. эпиграф).

Как же поступать с этой гипотезой? Обычно ее просто присоединяют к системе аксиом Цермело---Френкеля. Но каждый раз, когда что-либо доказывают, опираясь на континуум-гипотезу, обязательно указывают, что она была использована при доказательстве. (Как можно доказывать что-то недоказуемым? Дурдом… И мы знаем доказательство – Гёдель… А ещё Гриша Перельман…)

ГЁДЕЛЬ (Gödel) Курт (1906 - 1978) - математик и логик, член Национальной Академии наук США и Американского философского общества, автор фундаментального открытия ограниченности аксиоматического метода и основополагающих работ в таких направлениях математической логики (???), как теория моделей, теория доказательств и теория множеств.

В 1924 Гёдель поступил в Университет Вены. Доктор математики (1930). Приват-доцент Университета Вены, член Венского кружка (1933-1938). Эмигрировал в США (в 1940, с 1953 - профессор Принстонского института перспективных исследований). Основные труды: " Полнота аксиом логического функционального исчисления " (докторская диссертация, 1930), "О формально неразрешимых предложениях Principia mathematica и родственных систем" (1931), "О интуиционистском исчислении высказываний" (1932), "О интуиционистской арифметике и теории чисел" (1933), "Одна интерпретацияинтуиционистского исчисления высказываний" (1933), "Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств" (1940), "Об одном еще не использованном расширении финитной (интуитивной) точки зрения" (1958).

В конце 1920-х Гильбертом и его последователями были получены доказательства полноты некоторых аксиоматических систем. Полнота аксиоматической системы рассматривалась ими как свойство системы аксиом данной аксиоматической теории, характеризующее широту охвата этой теорией определенного направления математики. (Полнота Аксиоматической Системы… Вот Формулировка очень Необразованного человека. Он не знает, что такое Система, но говорит об одном её Свойстве – Полнота. Значит, Система может быть Полной и Неполной? Но мы с вами уже знаем, что такое Система. Она не имеет такого Свойства. Опять Математики Врут…) В математических теориях, конструируемых на основаниях материальной аксиоматики, значения исходных терминов аксиоматической теории даны с самого начала (т.е. определенную интерпретацию данной теории полагают фиксированной??? – В.Т.). В рамках такой теории стали возможны рассуждения о выводимости ее утверждений из аксиом и рассуждения об истинности таких утверждений. Полнота системы аксиом в данном случае соответствовала совпадению этих понятий. (Пример аксиоматики такого вида - аксиоматика геометрии Евклида.) В математических теориях, конструируемых на основаниях формальной аксиоматики, значения исходных терминов аксиоматической теории остаются неопределенными во время вывода теорем из аксиом. В данном случае система аксиом называлась полной относительно данной интерпретации, если из нее были выводимы все утверждения, истинные в этой интерпретации (???). Наряду с таким понятием полноты определялось и другое ее понятие, являвшееся внутренним свойством аксиоматической системы (не зависимым ни от одной из ее интерпретаций): систему аксиом называли дедуктивно полной, если всякое утверждение, формулируемое в данной теории, может быть либо доказанной (являясь в таком случае теоремой), либо опровергнутой (в смысле возможности доказательства его отрицания). При этом, если аксиоматическая теория полна относительно некоторой интерпретации, то она является дедуктивно полной; и наоборот, если теория дедуктивно полна и непротиворечива (т.е. все теоремы истинны) относительно данной интерпретации, то она является полной относительно этой интерпретации. Понятие дедуктивной (внутренней) полноты - " удобная характеристика " аксиоматической теории при конструировании ее в виде формальной системы. На таком основании Гильбертом была выстроена искусственная система, включающая часть арифметики, с доказательствами ее полноты и непротиворечивости. (Вот к этой Формулировке, да ещё бы Бубен… Камлание…)

Подход Гёделя в целом относится к конструктивному направлению математики: в интуиционистской трактовке истинности высказывания истинной он считал только рекурсивно реализуемую формулу (сводимую к функции от чисел натурального ряда). Тем самым интуиционистская арифметика становилась расширением классической. Одновременно конструируя и логику, и арифметику, Гёдель вынужденно отказался от логицистского тезиса Фреге о полной редуцируемости математики к логике. Гёдель обосновывал математику разработанным им же методом арифметизации метаматематики, заключающимся в замене рассуждений о выражениях любого логико-математического языка рассуждениями о натуральных числах. Этот метод Гёдель поместил в основу доказательства " теоремы Гёделя о полноте " исчисления предикатов (свойств) классической логики предикатов (первого порядка), а позднее - в две важнейшие теоремы о неполноте расширенного исчисления предикатов, известных под общим названием " теорема Гёделя о неполноте ". Гёдель в своей докторской диссертации (1930) доказал теорему о полноте исчисления классической логики предикатов: если предикатная формула истинна в любой интерпретации, то она выводима в исчислении предикатов (другими словами, любая формула, отрицание которой невыводимо, является выполнимой). Являясь одной из базисных теорем математической логики, теорема Гёделя о полноте показывает, что уже классическое исчисление предикатов (свойств) содержит все логические законы, выражаемые предикатными формулами. Усиление теоремы о полноте классического исчисления логики предикатов утверждает, что всякая счетная последовательность формул, из которой нельзя вывести противоречия, выполнима. При этом, если из множества предикатных формул P невозможно вывести противоречие в рамках предикатного исчисления, то для множества P существует модель, т.е. интерпретация, в которой истинны все формулы множества Р.

Доказательство полноты исчисления классической логики предикатов породило в школе Гильберта некоторые надежды на возможность доказательства полноты и непротиворечивости всей математики. Однако уже в следующем, 1931, году была доказана теорема Гёделя о неполноте.

Первая теорема о неполноте утверждает, что если формальная система арифметики непротиворечива, то в ней существует как минимум одно формально неразрешимое предложение, т.е. такая формула F, что ни она сама, ни ее отрицание не являются теоремами этой системы. Иными словами, непротиворечивость рекурсивной арифметики делает возможным построение дедуктивно неразрешимого предложения, формализуемого в исчислении, т.е. к существованию и недоказуемой, и неопровержимой формулы. Такая формула, являясь предложением рекурсивной арифметики, истинна, но невыводима, несмотря на то, что по определению она должна быть такой. Следовательно, непротиворечивость формализованной системы ведет к ее неполноте. (В этой работе говорится о том, что Гёдель есть математик и логик. Но тот, кто говорит о логике, не понимает, что такое Логика. В соответствии с фундаментальной формулой определяющей ВСЁ – Деятельность = Движение/Состояние, Логическая Деятельность = Логическое Движение/Логическое Состояние. Т.е. Логичность = Логика/Логия. Логика является Логическим Движением – доказывая - опровергаю, опровергая - доказываю. Логичность есть объективно действующий ЗАКОН во ВСЁм. Доказательство Гёделем теоремы о неполноте, есть в принципе (основе) доказательство при помощи «логики» отсутствие логики. Абсурд – Алогичность – Софистика. Софистика есть диаметрально противоположный экстремум Логики. Теорему Гёделя я формулирую человеческим языком – Аксиоматично таким Образом: «В определённой Системе может существовать Функция, которую невозможно ни доказать, ни опровергнуть». Но ведь всеми это признано как Доказательство… Т.е. применение Логической Деятельности. Т.е. присутствие Логики. Хочешь - не хочешь, в человеческой Деятельности обязательно образуется определённое Состояние, в котором существует двуединство Логичности и Софистичности. И человек применяет одно из двух. В данном случае Гёдель применил Софистику, принимая её за Логику, т.к. он не знал об истинной Логике. И в своих работах он это показывает. Логика, как Логическое Движение создаёт Логическое Состояние – Логию. Логия = Понятие/Определение. В соответствии с двумя первыми «аксиоматичными» законами формальной логики Аристотеля Понятие и его Определение должны быть однозначны. А Гёдель применяет интерпретацию – многозначность, а это Софистика. Софистичность Гёделя заключается в том, что он «Доказывает» отсутствие Логичности. Моё решение. Если в определённой Системе имеется Проблема, т.е. вопрос, который не решается в данной системе, то его можно решить, применив определённые ресурсы большей системы. Это есть Системный подход решения Проблем. Но Проблема есть неправильно сформулированный вопрос. Мораль – формулируй правильно.)

Усилением первой теоремы о неполноте является вторая теорема о неполноте, утверждающая, что в качестве формулы F возможен выбор формулы, естественным образом выражающей непротиворечивость формальной арифметики, т.е. для непротиворечивого формального исчисления, имеющего рекурсивную арифметику в качестве модели, формула F выражения этой непротиворечивости невыводима в рамках данного исчисления. Согласно теореме Гёделя о неполноте, например, любая процедура доказательства истинных утверждений (???) элементарной теории чисел (аддитивные и мультипликативные операции над целыми числами) заведомо неполна. Для любых систем доказательств существуют истинные утверждения, которые даже в таком достаточно ограниченном направлении математики останутся недоказуемыми. Б.В. Бирюков пишет о методологическом значении теоремы Гёделя о неполноте: "...если формальная арифметика непротиворечива, то непротиворечивость нельзя доказать средствами, формализуемыми в ней самой, т.е. теми финитными средствами, которыми Гильберт хотел ограничить метаматематические исследования...". Следовательно, (внутреннюю) непротиворечивость любой логико-математической теории невозможно доказать без обращения к другой теории (с более сильными допущениями, а следовательно менее устойчивой). (И все говорят о Системе… Подобные вещи даже назвать нечем, только руки развести…)

Фон Нейман читал в момент публикации работы Гёделя лекции по метаматематической программе Гильберта, однако сразу после прочтения этой работы он перестроил курс, посвятив Гёделю все оставшееся время.

Теорема Гёделя о неполноте - важнейшая метатеорема математической логики - показала неосуществимость программы Гильберта в части полной формализации определяющей части математики и обоснования полученной формальной системы путем доказательства ее непротиворечивости (финитными методами). Однако теорема Гёделя о неполноте, демонстрируя границы применимости финитного (интуитивного?) подхода в математике, не может свидетельствовать об ограниченности логического знания.

Э. Нагель и Дж. Ньюмен о значении открытий Гёделя для сравнительной оценки возможностей человека и компьютера пишут, что

"...для каждой нашей конкретной задачи, в принципе, можно построить машину, которой бы эта задача была под силу; но нельзя создать машину, пригодную для решения любой задачи. Правда, и возможности человеческого мозга могут оказаться ограниченными, так что и человек тогда сможет решить не любую задачу. Но даже если так, структурные и функциональные свойства человеческого мозга пока еще намного больше по сравнению с возможностями самых изощренных из мыслимых пока машин... Единственный непреложный вывод, который мы можем сделать из теоремы Гёделя о неполноте, состоит в том, что природа и возможности человеческого разума неизмеримо тоньше и богаче любой из известных пока машин...". (Математики хреновы!!! Машину создаёт Человек, вкладывая в неё программу-алгоритм на уровне своей возможности мышления. Никакая машина не сможет прогрессировать в ОБРАЗОВАНИИ, потому что она не умеет мыслить. Машина только перебирает варианты, заложенные в неё человеком в программе-алгоритме, на его собственном уровне.)

Гёдель также внес значительный вклад в аксиоматическую теорию множеств, два базисных принципа которой - аксиома выбора Э.Цермело и континуум-гипотеза - долгое время не поддавались доказательству, однако вследствие значимости их логических следствий исследования в этих направлениях продолжались. В аксиоме выбора Э.Цермело постулируется существование множества, состоящего из элементов, выбранных "по одному" от каждого из непересекающихся непустых множеств, объединение которых составляет некое множество. (Из аксиомы выбора Э.Цермело выводимы следствия, противоречащие "интуиции здравого смысла". Например, возникает возможность разбиения трехмерного шара на конечное количество подмножеств, из которых возможно движениями в трехмерном пространстве реконструировать два точно таких же шара. (Шар есть идеальная форма Состояния – Система Систем, которые представляют из себя тоже Состояния – Системы с идеальной формой – Шар.))

Континуум-гипотеза - это утверждение о том, что мощность континуума (мощность, которую имеет, например, множество всех действительных чисел) есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел. Обобщенная континуум-гипотеза (Неточная, неоднозначная. Не имеющая единственного наилучше правильного решения. Так же, как и теорема Ферма.) гласит, что для любого множества М первая мощность, превосходящая мощность этого множества, есть мощность множества всех подмножеств множества Р. Эта проблема (высказанная Кантором в 1880-х) была включена в знаменитый список 23 проблем Гильберта. (Если рассматривать понятие континуум по тому определению, которое это понятие имеет в словарях и справочниках, как непрерывную совокупность всех точек отрезка, то, во-первых, непонятно, почему эта совокупность непрерывна? Во-вторых, отрезок в пространстве-времени есть определённая функция, имеющая свои экстремумы, определяемые координатами в определённой Системе. Если говорить о совокупности всех точек прямой, то это тоже непонятно, т.к. прямая не имеющая экстремума есть функция, стремящаяся к бесконечности – Движение. Как тогда можно говорить о совокупности (комплекте) если Движение есть продолжающаяся Деятельность, которая стремится к бесконечности, а значит, у неё нет совокупности. Ну, и т.д. Математическая Софистика.)

В 1936 Гёдель доказал, что обобщенная континуум-гипотеза совместима с одной естественной системой аксиоматической теории множеств и, следовательно, не может быть опровергнута стандартными методами. (Если эти две Системы совместимы, то тогда, т.н. Обобщённая континуум-гипотеза как Система является одной единственной тоже.)

В 1938 Гёдель доказал непротиворечивость аксиомы выбора и континуум-гипотезы (интеграция их в заданную систему аксиом теории множеств не вела к противоречию). Для решения этих проблем была редуцирована аксиоматическая система П. Бернайса, на основе которой, а также предположения о конструктивности каждого множества Гёдель выстроил модель, адекватную системе аксиом без аксиомы выбора, и такую, что в ней все множества обладали свойством полной упорядочиваемости. В этой модели аксиома выбора оказалась истинной (выполнимой) и, следовательно, совместимой с исходной системой аксиом, следовательно, непротиворечивой. В этой модели оказалась истинной и континуум-гипотеза. Дальнейшие работы в этом направлении позволили Гёделю разработать конструкции для исследования "внутренних механизмов" аксиоматической теории множеств.

Кроме работ в указанных направлениях, Гёдель предложил в 1949 новый тип решения одного важного класса уравнений общей теории относительности, который был расценен Эйнштейном как "...важный вклад в общую теорию относительности..." и был удостоен Эйнштейновской премии (1951).

(Одним словом, Гёдель является математическим Софистом, как и Эйнштейн. Все их доказательства есть доказательства софистические, применение Софизмов – уловка, мнимое, ложное доказательство. Как 2х2=5. Современная Математика в принципе Софистична. Она основывается на одних приближениях – аппроксимация, логарифм, дифференциал, интеграл, коэффициенты, приближения и прочее множество. Это есть неточность. Почему Математика считается точной наукой?!)

Теорема Гёделя о неполноте (Курт Гедель). Теорема о неполноте и доказательство, утверждает примерно следующее: при определенных условиях в любом языке существуют истинные, но недоказуемые утверждения. (И вот это хвалёная Математика – Точная Наука… Даже Сформулировать не может по-человечески.)

Использовать эту теорему для доказательства того, что разумная деятельность не сводится к вычислениям, пытались многие. Например, еще в 1961 году известный логик Джон Лукас (John Lucas) выступал с подобной программой. Его рассуждения оказались довольно уязвимыми - однако он и задачу ставил более широко. Роджер Пенроуз использует несколько другой подход, который излагается в книге полностью, "с нуля".

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: