Вторая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.

Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. (Вот если человеческим русским языком всё это сформулировать, то получится: Если в Системе имеется нерешаемая в ней Проблема, то нужно её вынести в большую Систему, где с помощью больших Ресурсов она будет Решена. Но здесь неправильна сама постановка Вопроса. Во-первых, в СИСТЕМЕ не бывает ПРОБЛЕМ. Но если Человек создаёт её себе сам, то достаточно неправильную Формулировку Вопроса – ПРОБЛЕМУ переформулировать, Правильно. И в этой Формулировке будет Решение Вопроса. А во-вторых, поскольку Теорема имеет Формулировку Дурацкую, то она и является по нашему Определению ПРОБЛЕМОЙ не имеющей Решения – не доказуемой. Ещё раз повторю, как можно что-то делать, не понимая, что делаешь?) Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т.д. (Правильно. Потому что это есть Принцип – СИСТЕМА. Система Систем и Система в Системе. И так Бесконечно.)

Эта теорема имеет широкие последствия как для математики, так и для философии, в частности, для онтологии и философии науки.

Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна. (Это не учёные, это Невежи, по-гречески – Идиоты.)

В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? (Что такое, в данном случае, Самодостаточность?) Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения. (В СИСТЕМЕ нет Противоречий… И что такое АКСИОМА? Не требующее доказательств, или принимаемое без доказательств. Разница понятна? Если это всем понятно, то оно не требует доказательств. А без доказательств можно принять всякую Ахинею. Но из неё нельзя создать СИСТЕМУ. Система есть Пропорциональные Отношения Элементов. Пропорция – Равенство, Баланс, Гармония. И она обязательна Прогрессивна.)

Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе. (Правильно, это и есть Дуализм – Объективно Действующий Закон – Принцип. Два Экстремума. Между ними бесконечное количество Вариантов, неравных этим Экстремумам.)

И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот, Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:

«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A». (Какая Собачья Чушь!!! Абсолютное отсутствие ЛОГИЧНОСТИ – Логической Деятельности. Настоящие Математики просто КРЕТИНЫ. Что такое СВОЙСТВО? Что такое СИСТЕМА? Что такое А? Под А можно понимать всё, что угодно. А уж не-А вообще «не пришей кобыле хвост». Или звезде рукав… Вот это и есть та НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ, о которой мы и говорим. Любимое математиками Приближение. У них и Бесконечность имеет Эквивалент. УЖАС…)

Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо». То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (т.е. любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива. (Значит, это не Система. Какие СВОЙСТВА имеет СИСТЕМА? Назовите. ВсеОбщие, Общие и Основные. А ВсеОбщие Свойства Объекта, это какие Свойства? Так же и Общие с Основными? Каков здесь ПРИНЦИП? Не скажете…)

Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходиться мириться (А если всё это Определить? То тогда и мириться нет нужды…) с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть. (Тогда такой пример. Один Экстремум ПРАВДА. Другой Экстремум – ЛОЖЬ. Экстремум – крайняя точка. Между ними Бесконечное количество Вариантов. С одной стороны это Неправда. С другой стороны это Неложь. И ни один из этих Вариантов не равен Экстремумам. Возьмём любой из Вариантов, и скажем, что то, что сказано – не ложь. Но и не Правда. Т.е. всё-таки НЕПРАВДА… Так это и есть та самая Теорема Гёделя – НЕПРАВДА. Не следует НЕДОУМИЕ принимать за ГЕНИАЛЬНОСТЬ. Так же и Гриша Перельман…)

Итак, формулировка первой, или слабой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)». (Вот меня давно удивляет такая формулировка вопроса: Доказал, что ни доказать, ни опровергнуть невозможно. Чушь собачья! Как можно Доказать Недоказуемое? Или Если нельзя, но очень хочется, то можно? Кстати, в той самой Системе Аксиом ZF Аксиомами являются недоказанные теоремы. Вот при помощи такой теоремы – недоказанной, Гёдель и Доказал свою Теорему. Удивляться не приходится…)

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически (Какой придурок научил этому придурка написавшего сей текст? Компьютер не может действовать Логически. Компьютер просто МАШИНА-ДУРА, в которую заложили ПРОГРАММУ, и она действует Адекватно этой Программе. А Программу пишет Человек, который сам не знает, что такое Логичность, Логика и ЛОГИЯ. Он не имеет Интеллекта…) и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта. (Человек и сегодня ещё живёт высказываниями Г.Фреге об Истинности Мысли. Тоже чушь… Мысль принадлежит Индивиду. А как он её Отразит? Правильно или Неправильно? Значит, что мы обсуждаем? Непонятно что… Мы не знаем даже, как он её отразил. Так же, как мы не знаем его МЫСЛЬ. Так какой разговор об Истинности, и чего?) По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.

Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?

Австрийский, затем американский математик. (Почему австрийский, и почему американский? Это же чистый еврей...) Родился в г.Брюнн (Brünn, ныне Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где и остался преподавателем кафедры математики (с 1930 года — профессором). В 1931 году опубликовал теорему, получившую впоследствии его имя. (Как Эйнштейн… Тот тоже был аполитичен до «своей» теории, которая пошла только тогда, когда он стал Сионистом.) Будучи человеком сугубо аполитичным, крайне тяжело пережил убийство своего друга и сотрудника по кафедре студентом-нацистом и впал в глубокую депрессию, рецидивы которой преследовали его до конца жизни. (Психически неустойчив… Значит, БезДуховен. Духовность – Образованность. Духоведение – Образоведение-Образование. ДУХ – ОБРАЗ. Когда люди говорят о Духовности, то подразумевается, что все знают, что это такое. Однако, нет, не знают.) В 1930-е годы эмигрировал было в США, но вернулся в родную Австрию и женился. В 1940 году, в разгар войны, вынужденно бежал в Америку транзитом через СССР и Японию. Некоторое время проработал в Принстонском институте перспективных исследований. К сожалению, психика ученого не выдержала, и он умер в психиатрической клинике от голода, отказываясь принимать пищу, поскольку был убежден, что его намереваются отравить. (Какой из него Учёный? Шиза… Вот так же и Гриша Перельман. Живёт на мамину пенсию.)

БУЛЬ (Boole) Джордж (2 ноября 1815, Линкольн, Великобритания — 8 декабря 1864, Баллинтемпль, Ирландия), английский математик и логик, один из основоположников математической логики. Разработал алгебру логики (булеву алгебру) («Исследование законов мышления», 1854), основу функционирования цифровых компьютеров.

Родился в бедной рабочей семье. Первые уроки математики получил у отца. Хотя мальчик посещал местную школу, в общем, его можно считать самоучкой. В 12 лет знал латынь, затем овладел греческим, французским, немецким и итальянским языками. В 16 лет уже преподавал в деревенской школе, а в 20 открыл собственную школу в Линкольне. В редкие часы досуга зачитывался математическими журналами Механического института, интересовался работами математиков прошлого — Ньютона, Лапласа, Лагранжа, проблемами современной алгебры.

Начиная с 1839, Буль стал посылать свои работы в новый Кембриджский математический журнал. Его первая работа «Исследования по теории аналитических преобразований» касалась дифференциальных уравнений, алгебраических проблем линейной трансформации и концепции инвариантности. В своем исследовании 1844, опубликованном в «Философских трудах Королевского общества», он коснулся проблемы взаимодействия алгебры и исчисления. В том же году молодой ученый был награжден медалью Королевского общества за вклад в математический анализ.

Вскоре, после того как Буль убедился, что его алгебра вполне применима к логике, в 1847 он опубликовал памфлет «Математический анализ логики», (Дилетантское издевательство над Логикой… Здесь вполне применимо выражение: «Бытие Определяет Сознание». Софистика. Что здесь первично? Бытие или Сознание? Что создаёт что? Алгебра к Логике или Логика к Алгебре. Доказывая – Опровергаю. Опровергая – Доказываю. Аксиома пояснения Логики. Математика оперирует Знаками. Но с помощью ЛОГИКИ. Применяя ЛОГИЮ. Логия = Понятие/Определение. Каждый ЗНАК получает Понятие-ИМЯ как Объект и Определяется перечислением Свойств этого Объекта. Это Логично. Но математики работают вне Логики. Как и вне ВРЕМЕНИ… И вне Качества. Их Знаки не имеют Понятий и не имеют Определений. Математики уподобляются Церкви. Работают Догматично. Применяют СИМВОЛЫ – пустые Знаки. И это их уводит в Виртуальность. Здесь может возникнуть вопрос – но ведь работает? Да, работает. Но Где и Как? С какими ЗАТРАТАМИ? Каков Коэффициент Отношения Затраты/Выпуск? Вот вам Функция… Она НеЛинейная. Выпуск не соответствует Затратам. Что здесь применено – Математика в Экономике или Экономика в Математике? В.В. Леонтьев… И как здесь применить ЛОГИКУ? Опять целая лекция…) в котором высказал идею, что логика более близка к математике, чем к философии. Эта работа была чрезвычайно высоко оценена английским математиком Августом Де Морганом. Благодаря этой работе Буль в 1849 получил пост профессора математики Куинз-колледжа в графстве Корк, несмотря на то, что он даже не имел университетского образования.

В 1854 опубликовал работу «Исследование законов мышления, базирующихся на математической логике и теории вероятностей». Работы 1847 и 1854 дали рождение алгебре логики, или булевой алгебре. Буль первым показал, что существует аналогия между алгебраическими и логическими действиями, так как и те, и другие предполагают лишь два варианта ответов — истина или ложь, нуль или единица. Он придумал систему обозначений и правил, (А за ним последовали Цермело и Френкель. Правила придуманные бывают только ложные. Правило – Закон. А Правдивые Законы только те, что Действуют Объективно в Естественной Деятельности-Функции. Функции Линейной. Четвёртая теорема Гильберта – кратчайшее расстояние между двумя точками – Прямая. В Искусственной Деятельности каждая точка, как возникшая Мысль, есть ИДЕЯ. И достижение её с наименьшими Затратами только по Прямой. ТехноЛогично. И т.д.) пользуясь которыми можно было закодировать любые высказывания, (Кодировка есть НеЛинейная Функция. В Естественной Деятельности таковой нет. Значит, и в Искусственной Деятельности нет в ней Нужды-Интереса. Манипуляция есть Обман.) а затем манипулировать ими как обычными числами. Булева алгебра располагала тремя основными операциями — И, ИЛИ, НЕ, которые позволяли производить сложение, вычитание, умножение, деление и сравнение символов и чисел. Таким образом, Булю удалось подробно описать двоичную систему счисления. (Чем занимаются т.н. математики? Они придумали ИГРУ и упражняются в ней, придумывая всё новые частности. Они подменили Определение Понятия АКСИОМА. Сначала нам это Понятие Определяли как «выражение не требующее доказательства». Потом стали говорить, что это «выражение, принимаемое без доказательств». Изобрели специальный «ящик» Цермело-Френкеля - ZF, куда складывают все неподдающиеся им к доказательству теоремы, для использования их в дальнейшем как Аксиом… УЖАС. Где Логика? И на этой основе Гёдель «доказал» свою теорему о неполноте… Т.е. он провёл банальное «доказательство», что 2х2=5. Так же и «двоичная система счисления». Система не может быть двоичной. Тем более с применением нуля. СИСТЕМА есть Пропорциональные Отношения Элементов-ЗНАКОВ. Минимальная Система есть Треугольник. Пусть математики вспомнят свою собственную Теорему СИНУСОВ… a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Вот это СИСТЕМА. Отношения Пропорциональные – РАВЕНСТВО. А что такое Синус угла? Это есть Отношения сторон-Элементов Треугольника. Всё построено на ОТНОШЕНИЯХ - Движении. Никаких тебе Связей – Прямых и Обратных. Математики в своей науке Математике занимаются подгонкой решения задачи к ответу. Как плохой школьник пятого класса. Они решают частные вопросы вне Единого Целого. Как Логистики – Анализом частного-Элемента хотят познать Целое. По одной Проекции увидеть Объект… Глупости. ИДИОТИЯ – Невежество.) В своей работе «Законы мышления» (1854) Буль окончательно сформулировал основы математической логики. Он также попытался сформулировать общий метод вероятностей, с помощью которого из заданной системы вероятных событий можно было бы определить вероятность последующего события, логически связанного с ними.

В 1857 Буль был избран членом Лондонского Королевского общества. Его работы «Трактат о дифференциальных уравнениях» (1859) и «Трактат о вычислении предельных разностей» (1860) оказали колоссальное влияние на развитие математики. В них нашли свое отражение наиболее важные открытия Буля.

Идеи Буля нашли применение в таких областях, о которых он не мог и мечтать: в использующих двоичный код цифровых компьютерах и в телефонной связи.

АЛГЕБРА ЛОГИКИ, система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач; в узком смысле — табличное, матричное построение логики высказываний, определяющее логические операции над ними.

(Ужасная Формулировка… Здесь нет необходимости повторять сказанное о Системе. Могу добавить только о решении логических задач. РЕШЕНИЕ содержится в правильно сформулированном вопросе. Нет необходимости что-то Решать. А Правильно сформулирован Вопрос может быть только с помощью ЛОГИКИ. Нелогических Задач не бывает. Это есть ПРОБЛЕМА. А для Решения Проблемы применяется вывод Гёделя – вынесение Проблемы в Большую Систему для применения Больших Затрат Ресурсов. И «стоит ли овчинка выделки»? И т.д.

«Логика высказываний и Логические операции над ними». Ужасно. И нет слов.)

Основа Основ, Определяющая ВСЁ. Вся Физика в одной Формуле. (Мечта Фейнмана)

ПРАВДА есть Состояние Правдивой Деятельности. Правдивая Деятельность = Правдивое Движение/Правдивое Состояние

Правдивая Деятельность есть Естественная Деятельность – Линейная Функция (Кратчайшее расстояние между двумя точками – ПРЯМАЯ.), Основой, ПРИНЦИПОМ которой являются Объективно Действующие Законы – Пропорция в Отношениях - Равенство. Отсюда вывод.

Правда как Состояние Правдивой Деятельности есть Объективно Действующий ЗАКОН.

ПРАВДА – ИСТИНА – Отражение Действительности как ЗНАК – ОБРАЗ - ИНФОРМАЦИЯ.

Любой Знак-Состояние Естественной Деятельности есть

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: